割り切れる数

数学において、多分割数（または魔法数）とは、与えられた基数において数字abcde...を持ち、次のような性質を持つ数である。 ^{[ 1 ]}

1. 最初の数字aは 0 ではありません。
2. 最初の 2 桁abで構成される数は 2 の倍数です。
3. 最初の 3 桁のabcで構成される数は 3 の倍数です。
4. 最初の 4 桁の数字abcdで構成される数は 4 の倍数です。
5. 等

意味

を正の整数とし、を基数bで書かれたnの桁数とする。nが割り切れる数とは、すべてのnに対して、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{b^{k-i}}}\right\rfloor \equiv 0{\pmod {i}}}$。

例

例えば、10801は4を基数とする7桁の割り切れる数であり、

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4096}}\right\rfloor =2\equiv 0{\pmod {1}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-2}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1024}}\right\rfloor =10\equiv 0{\pmod {2}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-3}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{256}}\right\rfloor =42\equiv 0{\pmod {3}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-4}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{64}}\right\rfloor =168\equiv 0{\pmod {4}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-5}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{16}}\right\rfloor =675\equiv 0{\pmod {5}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-6}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4}}\right\rfloor =2700\equiv 0{\pmod {6}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-7}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1}}\right\rfloor =10801\equiv 0{\pmod {7}}.}$

列挙

任意の基数 に対して、割り切れる数は有限個しかありません。 ${\displaystyle b}$

最大割り切れる数

次の表は、いくつかの基数bに対する最大の割り切れる数を示しています。ここで、A〜Z は10 から 35 までの数字の値を表します。

ベース ${\displaystyle b}$	最大倍数（OEIS：  A109032）	b進数の桁数（OEIS：  A109783）
2	10 2	2
3	20 0220 3	6
4	222 0301 4	7
5	40220 42200 5	10
10	36085 28850 36840 07860 36725 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]	25
12	6068 903468 50BA68 00B036 206464 12	28

F _b ( n ) と Σ( b )の推定値

10進数の桁の割り切れる数の数と推定値のグラフ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{10}(n)}$ ${\displaystyle F_{10}(n)}$

を桁数とします。関数 は基数の桁数を持つ多重割り切れる数の個数を求め、関数 は基数 の多重割り切れる数の総数を求めます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \Sigma (b)}$ ${\displaystyle b}$

が を基数とするの倍数割り切れる数である場合、と の間に で割り切れる数があれば、 を 桁の倍数割り切れる数に拡張することができます。 がまたは に等しい場合、常にこの方法で桁の倍数割り切れる数を 桁の倍数割り切れる数に拡張することができ、実際には複数の拡張が考えられます。が より大きい場合、常にこの方法で倍数割り切れる数を拡張できるとは限らず、 が大きくなるにつれて、与えられた倍数割り切れる数を拡張できる可能性は小さくなります。平均して、 桁のそれぞれの倍数割り切れる数は、さまざまな方法で 桁の倍数割り切れる数に拡張できます。これにより、 について次の推定が導かれます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle bk}$ ${\displaystyle b(k+1)-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {b}{n}}}$ ${\displaystyle F_{b}(n)}$

${\displaystyle F_{b}(n)\approx (b-1){\frac {b^{n-1}}{n!}}.}$

nのすべての値を合計すると、この推定値は、割り切れる数の総数がおよそ

${\displaystyle \Sigma (b)\approx {\frac {b-1}{b}}(e^{b}-1)}$

ベース ${\displaystyle b}$	${\displaystyle \Sigma (b)}$	推定 ${\displaystyle \Sigma (b)}$	パーセント誤差
2	2	${\displaystyle {\frac {e^{2}-1}{2}}\approx 3.1945}$	59.7%
3	15	${\displaystyle {\frac {2}{3}}(e^{3}-1)\approx 12.725}$	-15.1%
4	37	${\displaystyle {\frac {3}{4}}(e^{4}-1)\approx 40.199}$	8.64%
5	127	${\displaystyle {\frac {4}{5}}(e^{5}-1)\approx 117.93}$	−7.14%
10	20456 [ 2 ]	${\displaystyle {\frac {9}{10}}(e^{10}-1)\approx 19823}$	-3.09%

特定の拠点

すべての数字は基数で表され、A〜Z を使用して 10 から 35 までの数字の値を表します。 ${\displaystyle b}$

ベース2

長さn	F 2 ( n )	F 2 ( n ) の推定値	割り切れる数
1	1	1	1
2	1	1	10

ベース3

長さn	F 3 ( n )	F 3 ( n ) の推定値	割り切れる数
1	2	2	1、2
2	3	3	11、20、22
3	3	3	110、200、220
4	3	2	1100、2002、2200
5	2	1	11002, 20022
6	2	1	110020, 200220
7	0	0	${\displaystyle \varnothing }$

ベース4

長さn	F 4 ( n )	F 4 ( n ) の推定値	割り切れる数
1	3	3	1、2、3
2	6	6	10、12、20、22、30、32
3	8	8	102、120、123、201、222、300、303、321
4	8	8	10:20、12:00、12:30、20:10、22:20、30:00、30:30、32:10
5	7	6	10202、12001、12303、20102、22203、30002、32103
6	4	4	120012, 123030, 222030, 321030
7	1	2	2220301
8	0	1	${\displaystyle \varnothing }$

5進数

5を基数とする割り切れる数は

1、2、3、4、11、13、20、22、24、31、33、40、42、44、110、113、132、201、204、220、223、242、311、314、330、333、402、421、424、440、443、1102、1133、1322、2011、2042、2200、2204、2231、2420、2424、3113、3140、3144、3302、3333、4022、4211、 4242, 4400, 4404, 4431, 11020, 11330, 13220, 20110, 20420, 22000, 22040, 22310, 24200, 24240, 31130, 31400, 31440, 33020, 33330, 40220, 42110, 42420, 44000, 44040, 44310, 110204, 113300, 132204, 201102, 204204, 220000, 220402, 223102, 242000, 242402, 311300, 314000, 314402, 330204, 333300, 402204, 421102, 424204, 440000, 440402, 443102, 1133000, 1322043, 2011021, 2042040, 2204020, 2420003, 2424024, 3113002, 3140000, 3144021, 4022042, 4211020, 4431024, 11330000, 13220431, 20110211, 20420404, 24200031, 31400004, 31440211, 40220422, 42110202, 44310242, 132204314, 201102110, 242000311, 314000044, 402204220, 443102421, 1322043140, 2011021100, 3140000440, 4022042200

n桁 の5を底とする最小の割り切れる数は

1、11、110、1102、11020、110204、1133000、11330000、132204314、1322043140、なし...

n桁 の5を底とする最大の割り切れる数は

4、44、443、4431、44310、443102、4431024、44310242、443102421、4022042200、なし...

n桁の5進数の割り切れる数は

4、10、17、21、21、21、13、10、6、4、0、0、0...

長さn	F 5 ( n )	F 5の推定値( n )
1	4	4
2	10	10
3	17	17
4	21	21
5	21	21
6	21	17
7	13	12
8	10	8
9	6	4
10	4	2

10進数

10進法で割り切れる数は

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50、52、54、56、58、60、62、64、66、68、70、72、74、76、78、80、82、84、86、88、90、92、94、96、98、102、105、108、120、123、126、129、 141、144、147、162、165、168、180、183、186、189、201、204、207、222、225、228、243、246、249、261、264、267、282、285、288...（OEISの配列A144688）

10を基数とするn桁の最小の割り切れる数は

1、10、102、1020、10200、102000、1020005、10200056、102000564、1020005640、10200056405、102006162060、1020061620604、10200616206046、102006162060465、1020061620604656、10200616206046568、108054801036000018、1080548010360000180、 10805480103600001800、...（OEISの配列A214437）

10を基数とするn桁の最大の割り切れる数は

9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876545, 98765456, 987654564, 9876545640, 98765456405, 987606963096, 9876069630960, 98760696309604, 987606963096045, 9876062430364208, 98485872309636009, 984450645096105672, 9812523240364656789, 96685896604836004260、...（OEISの配列A225608）

10を基数とするn桁 の割り切れる数の数は

9、45、150、375、750、1200、1713、2227、2492、2492、2225、2041、1575、1132、770、571、335、180、90、44、18、12、6、3、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0 、...（OEISのシーケンスA143671）

長さn	F 10 ( n ) [ 5 ]	F 10 ( n ) の推定値
1	9	9
2	45	45
3	150	150
4	375	375
5	750	750
6	1200	1250
7	1713	1786
8	2227	2232
9	2492	2480
10	2492	2480
11	2225	2255
12	2041	1879
13	1575	1445
14	1132	1032
15	770	688
16	571	430
17	335	253
18	180	141
19	90	74
20	44	37
21	18	17
22	12	8
23	6	3
24	3	1
25	1	1

プログラミング例

以下の例では、Pythonで多分割可能な数を検索します。

def find_polydivisible ( base : int ) -> list [ int ]: """割り切れる数を探します。""" numbers = [] previous = [ i for i in range ( 1 , base )] new = [] digits = 2 while not previous == [ ] : numbers.append ( previous ) for n in previous : for j in range ( 0 , base ) : number = n * base + j if number % digits == 0 : new.append ( number ) previous = new new = [ ] digits = digits + 1 return numbers

関連する問題

多重割り切れる数は、レクリエーション数学における次のよく知られた^{[ 2 ]}問題の一般化を表します。

1 から 9 までの数字を、最初の 2 桁が 2 の倍数、最初の 3 桁が 3 の倍数、最初の 4 桁が 4 の倍数、というように並べ、最終的に数字全体が 9 の倍数になるようにします。

この問題の解は、9桁の割り切れる数であり、1から9までの数字がそれぞれ1回ずつ含まれるという条件が追加されます。9桁の割り切れる数は2,492個ありますが、この条件を満たす数は次の1つだけです。

381 654 729 ^{[ 6 ]}

多重割り切れる数に関するその他の問題には次のものがあります。

• 桁数に制限を加えた多重割り切れる数を見つける - 例えば、偶数桁のみを使った最も長い多重割り切れる数は

48 000 688 208 466 084 040

• 回文で割り切れる数を見つける- 例えば、最も長い回文で割り切れる数は

30 000 600 003

• 前述の例の一般的な単純な拡張は、0 から 9 までの数字を同様に並べて 10 桁の数字を作ることです。結果は 3816547290 になります。これはパンデジタルの多重割り切れる数です。

参考文献

1. De, Moloy, MATH'S BELIEVE IT OR NOT
2. パーカー、マット（2014年）「あなたは数字が書けるか？」第四次元で作るもの、やること、Particular Books、pp.  7-8、ISBN 9780374275655– Googleブックス経由
3. ウェルズ、デイビッド（1986年）、ペンギン・ブックス『ペンギンの不思議で興味深い数字辞典』197ページ、ISBN 9780140261493– Googleブックス経由
4. ラインズ、マルコム（1986年）「これらのシリーズはどのように終わるのか？」、A Number for your Thoughts、テイラー・アンド・フランシス・グループ、p. 90、ISBN 9780852744956
5. （ OEISの配列A143671）
6. ラニエ、スージー、9桁の数字

外部リンク

• YouTube - 多重分割可能なパンデジタル数

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