4ベクトル

特殊相対論において、四元ベクトル（または四元ベクトル、ローレンツベクトルとも呼ばれる）^{[ 1 ]}は、4つの成分を持つ4次元ベクトル空間オブジェクトの要素であり、基底の変化に関してローレンツ変換によって変換される。その大きさは不定二次形式によって決定され、その保存は空間回転やブースト（等速度による別の参照フレームへの変化）を含むローレンツ変換を定義する。^{[ 2 ] : ch1}

4元ベクトルは、例えば、ミンコフスキー空間としてモデル化された時空内の位置x ^μ、粒子の4元運動量p ^μ 、時空内の点xにおける電磁気的 4元ポテンシャルA ^μ ( x )の振幅、ディラック代数内のガンマ行列によって張られる部分空間の要素を記述します。

ローレンツ群は、4 × 4行列Λのセットで表現できます。ローレンツ変換の、一般反変4 元ベクトルX (上記の例のように)への作用は、要素の慣性フレームに関する直交座標を持つ列ベクトルとみなされ、 (行列の乗算) で与えられます。 ここで、プライム付きのオブジェクトのコンポーネントは、新しいフレームを参照します。反変ベクトルとして与えられている上記の例に関連して、対応する共変ベクトルx _μ、p _μ、およびA _μ ( x )もあります。これらは、 ^{T が}行列の転置を 表す規則に従って変換されます 。この規則は上記の規則とは異なります。これは、標準表現の双対表現に対応します。ただし、ローレンツ群では、任意の表現の双対は、元の表現と同等です。したがって、共変インデックスを持つオブジェクトも 4 元ベクトルです。 $${\displaystyle X'=\Lambda X,}$$ $${\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,}$$

特殊相対論における、 4元ベクトルではない、振る舞いの良い4成分オブジェクトの例として、ビスピノルを参照のこと。ビスピノルも同様に定義されるが、ローレンツ変換における変換則が標準表現とは異なる表現で与えられる点が異なる。この場合、規則はX ′ = Π(Λ) Xとなる。ここで、Π(Λ)はΛ以外の4×4行列である。同様のことは、ローレンツ変換において振る舞いの良い、より少ない、またはより多い成分を持つオブジェクトにも当てはまる。これには、スカラー、スピノル、テンソル、スピノルテンソルなどが含まれる。

本稿では、特殊相対論の文脈における四元ベクトルについて考察する。四元ベクトルの概念は一般相対論にも拡張されるが、本稿で述べられている結果の一部は一般相対論における修正を必要とする。

標準構成では、プライムフレームの速度が正のx軸に沿ってuである場合、4ベクトルの変換は^{[ 3 ]} または 慣例に応じて（つまり、イベントがそれぞれ（t、x、y、z）と記述されるか、（ct、x、y、z）と記述されるか）となる。 $${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c^{2}}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u)u}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X,}$$ $${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X,}$$

表記

この記事の表記法は、 3 次元ベクトルの場合は小文字の太字、3 次元単位ベクトルの場合はハット、 4 次元ベクトルの場合は大文字の太字(4 次元勾配演算子を除く)、テンソル インデックス表記です。

4ベクトル代数

実数値基底の4元ベクトル

4元ベクトルAは、「時間的」成分と3つの「空間的」成分を持つベクトルであり、様々な等価な表記法で書くことができる。^{[ 4 ]} ここで、^Aαは成分乗数、Eα_は基底ベクトルである。ベクトルを作るには両方とも必要であり、Aαが単独で見られる場合、^それは厳密にベクトルの 成分を指すことに注意されたい。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}$$

上付き添字は反変成分を表します。ここで標準的な慣習として、ラテン添字は空間成分を表す値を取るためi = 1, 2, 3となり、ギリシャ添字は時間成分と空間成分を表す値を取るためα = 0, 1, 2, 3となり、総和規約が用いられます。時間成分と空間成分の分割は、1つの4元ベクトルと他のテンソル量との縮約を求める際に有用です。例えば、スカラー積におけるローレンツ不変量の計算（以下に例を示します）や、添字の増減などです。

特殊相対性理論では、空間的基底E ₁、E ₂、E ₃と成分A ¹、A ²、A ³は、多くの場合、直交座標基底と直交座標成分 です が、もちろん、球面極座標 や円筒極座標、 その他の直交座標、さらには一般曲線座標など、その他の基底と成分を使用することもできます。座標ラベルは常にラベルとして添え字が付けられ、数値を取るインデックスではないことに注意してください。一般相対性理論では、局所基底の局所曲線座標を使用する必要があります。幾何学的には、4 元ベクトルは矢印として解釈できますが、空間だけでなく時空における矢印です。相対性理論では、矢印はミンコフスキー図（時空図とも呼ばれる）の一部として描画されます。この記事では、4 元ベクトルを単にベクトルと呼びます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$

基底を列ベクトルで表すのも慣例です。 つまり、 $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

共変座標と反変座標の関係は、ミンコフスキー計量テンソル（計量と呼ばれる）ηによって表されます。ηは、次のように添字を上げたり下げたりします。 また、様々な等価な表記法において、共変成分は 次 のように表されます。ここで、下げられた添字は共変であることを示します。多くの場合、計量は直交座標の場合（線分を参照）のように対角的ですが、一般の曲線座標ではそうではありません。 $${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}$$

基底は行ベクトルで表すことができるので、 次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{1}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\\[1ex]\mathbf {E} ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$$

上記の規則の理由は、スカラー積がスカラーであることです。詳細については以下を参照してください。

ローレンツ変換

2つの慣性または回転参照フレームが与えられた場合、4元ベクトルはローレンツ変換行列 Λに従って変換される量として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$$

インデックス表記では、反変成分と共変成分はそれぞれ次のように変換されます。 ここで、行列Λは行μと列 νに 成分Λ ^μ _νを持ち、行列( Λ ⁻¹ ) ^Tは行μと列 νに 成分Λ _μ ^νを持ちます。 $${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$$

この変換定義の性質に関する背景情報については、テンソルを参照してください。すべての4次元ベクトルは同じように変換され、これは4次元の相対論的テンソルに一般化できます。特殊相対論を参照してください。

任意の軸を中心とした純粋な回転

単位ベクトル: によって定義される軸を中心に固定角度θだけ回転した2つのフレームについて 、ブースト処理を行わない場合、行列Λ の成分は次のように定義されます。^{[ 5 ]} ここで、δ _ijはクロネッカーのデルタ、ε _ijkは3次元のレヴィ・チヴィタ記号です。4元ベクトルの空間的成分は回転しますが、時間的成分は変化しません。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3}\right)\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\right)\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}}$$

z軸の周りの回転の場合のみ、ローレンツ行列の空間部分はz軸の周りの回転行列に簡約されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}$$

あらゆる方向への純粋なブースト

座標系の標準構成。x方向のローレンツブースト用。

一定の相対3速度v（4速度ではありません。下記参照）で移動する2つのフレームの場合、相対速度をcの単位で次のように表して定義すると便利です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$$

回転がない場合、行列Λは次式で与えられる成分を持つ：^{[ 6 ]。} ここで、ローレンツ因子は次式で定義され、 δ ij_はクロネッカーのデルタである。純粋な回転の場合とは異なり、ブースト下では空間的成分と時間的成分が混合される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$$

x方向のみのブーストの場合、行列は次のように簡約される。^{[ 7 ] [ 8 ]} $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

ラピディティϕの式は双曲線関数で表され、次のように表される。 $${\displaystyle \gamma =\cosh \phi .}$$

このローレンツ行列は、ブーストが 4 次元時空での双曲回転であることを示しています。これは、上記の 3 次元空間での円回転に類似しています。

プロパティ

直線性

4元ベクトルは、 3次元ユークリッドベクトルと同じ線形性を持つ。これらは通常の要素ごとの方法で加算することができる。 同様に、スカラーλによるスカラー乗算は要素ごとに次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)\\&=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3}\right)}$$

減算は加算の逆演算であり、次のように定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)\\&=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}\right)\end{aligned}}}$$

ミンコフスキーテンソル

ミンコフスキーテンソルημν_を2つの4元ベクトルAとBに適用し、その結果をドット積表記で書くと、アインシュタイン表記を使用して次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{\nu }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{\nu }=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$$

特殊相対論では、基底ベクトルのドット積はミンコフスキー計量であり、ユークリッド空間のクロネッカー デルタとは対照的です。定義を行列形式で書き直すと便利です。 この場合、上記のη _{μν は}、正方行列としてのミンコフスキー計量のμ行ν列の要素です。ミンコフスキー計量はユークリッド計量ではありません。なぜなら、それは不定値だからです (計量シグネチャ を参照)。計量テンソルはAまたはBの成分を上げたり下げたりできるので、他のいくつかの式を使用できます。 Aの反変/共変成分とBの共変/反変成分については、次のようになります 。 したがって、行列表記では次のようになります。 一方、共変成分の AとBについては、次のようになります。これ は上記と同様の行列式です。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }}$$

ミンコフスキー テンソルを 4 元ベクトルAとその値そのものに適用すると、次の式が得られます。 これは、場合によっては、ベクトルの長さの 2 乗またはその負の値と見なすことができます。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }}$$

標準基底（本質的には直交座標）における計量テンソルの一般的な選択肢として、以下の2つが挙げられます。直交座標系を用いる場合、計量の空間的部分の対角成分にスケール係数が与えられますが、一般曲線座標系を用いる場合、計量の空間的部分全体は、使用される曲線基底に依存する成分を持ちます。

標準基準、(+−−−)署名

( +−−−)メトリック署名は、「ほとんどマイナス」規則、または「西海岸」規則と呼ばれることもあります。

(+−−−)メトリックシグネチャでは、インデックスの合計を評価すると次のようになります。 行列形式では、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$

特殊相対論において、 ある基準系では式（Cはこの基準系におけるスカラー積の値）をとり、 別の基準系では式（C ′ はこの基準系におけるスカラー積の値）をとるという表現 が繰り返し登場する。スカラー積は不変量であるため、これらは等しくなければならない。 つまり、 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}\\[2pt]&={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}$$

相対論における物理量は4元ベクトルであることを考えると、この式は一見「保存則」のように見えるが、実際には「保存」は含まれていない。ミンコフスキーのスカラー積の最も重要な意味は、任意の2つの4元ベクトルについて、その値がすべての観測者に対して不変であるということであり、座標系を変更してもスカラー積の値は変化しない。4元ベクトルの成分は系によって変化する。AとA ′はローレンツ変換によって結び付けられ、BとB ′も同様に結び付けられるが、スカラー積はすべての系で同じである。しかしながら、この種の表現は、成分の大きさを明示的にローレンツ変換を実行することなく決定できるため、相対論的計算において保存則と同等に利用されている。具体的な例としては、4元運動量ベクトルから導かれるエネルギー・運動量関係におけるエネルギーと運動量が挙げられる（下記も参照）。

この署名には次の内容が含まれています。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}}$$

符号(+−−−)を持つ 4 次元ベクトルは、 A ⋅ A < 0の場合は空間的、A ⋅ A > 0の場合は時間的、A ⋅ A = 0の場合はヌルベクトルに分類できます。

標準基底、(−+++) 署名

( −+++)メトリック署名は、「東海岸」規則と呼ばれることもあります。

一部の著者はηを逆の符号で定義しており、その場合、計量シグネチャは(−+++)となる。このシグネチャを用いて総和を評価すると、 行列形式は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)}$$

この場合、一方のフレームでは： であり、もう一方のフレームでは： となる こと に注意してください。これは、 AとBに関して、 上記のCの式と等価です。どちらの表記法でも機能します。上記の2つの方法で定義されたミンコフスキー計量では、共変4ベクトル成分と反変4ベクトル成分の違いは符号のみであり、したがって、符号はどちらの表記法を使用するかによって異なります。 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-C&=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}\\[2pt]&=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}$$

我々は持っています： $${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0}\right)^{2}+\left(A^{1}\right)^{2}+\left(A^{2}\right)^{2}+\left(A^{3}\right)^{2}}$$

署名(−+++)を持つ4次元ベクトルは、A⋅A > 0の場合は空間的、A⋅A < 0の場合は時間的、A⋅A = 0の場合はヌルに分類できます。

二重ベクトル

ミンコフスキー テンソルの適用は、多くの場合、1 つのベクトルの双対ベクトルが他のベクトルに 与える影響として表現されます。 $${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.}$$

ここで、A _{ν は}双対基底におけるベクトルAの双対A *の成分であり、Aの共変座標と呼ばれます。一方、元のA ^ν成分は反変座標と呼ばれます。

4ベクトル計算

微分と微分

特殊相対論（一般相対論ではない）では、4元ベクトルをスカラーλ （不変量）で微分すると、それ自体が4元ベクトルとなる。また、 4元ベクトルの微分d Aをとり、それをスカラーの微分dλで割ることも有用である。 ここで、反変成分は以下の通りであり、 共変成分は以下の通りである。 $${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$$ $${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}$$ $${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}$$

相対論的力学では、4元ベクトルの微分をとり、固有時間の微分で割ることがよくあります（下記参照）。

基本的な4ベクトル

4ポジション

ミンコフスキー空間内の点は、時間と空間の位置であり、「イベント」、または位置4次元ベクトル、4次元位置、または4次元位置と呼ばれることもあり、4つの座標のセットによって何らかの参照フレームで記述されます。 ここで、 rは3次元空間位置ベクトルです。rが同じフレーム内の座標時間tの関数である場合、つまりr = r ( t )である場合、これはtが変化する一連のイベントに対応します。定義R ⁰ = ctは、すべての座標が同じ次元（長さ）と単位を持つことを保証します。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}これらの座標は、イベントの 位置4次元ベクトルの要素です。 $${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$$

変位4 ベクトルは、2 つのイベントをリンクする「矢印」として定義されます。 $${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$$

世界線上の微分四位については、ノルム表記法を使用して、 微分線要素d sと微分固有時間増分 d τを定義しますが、この「ノルム」は 次のようにもなります。 $${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$$ $${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$$ $${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$$

物理現象を考えるとき、微分方程式は自然に生じます。しかし、関数の空間および時間の微分を考えるとき、これらの微分がどの基準系に関して取られているかは不明瞭です。時間微分は固有時 に関して取られることが合意されています。固有時は不変量であるため、任意の 4 元ベクトルの固有時間微分はそれ自体が 4 元ベクトルであることが保証されます。したがって、この固有時間微分と別の時間微分（慣性基準系の座標時間tを使用）との関係を見つけることが重要になります。この関係は、上記の微分不変時空間隔を取り、それを( cdt ) ²で割って次の式を得ることで 得られます。 ここで、 u = d r / dtは、座標x、y、z、および座標時間tと同じ基準系で測定された物体の座標 3-速度であり、 は ローレンツ因子 です。これは、座標時間と固有時の微分間の有用な関係を提供します。 ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$$ $${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$ $${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$$

この関係はローレンツ変換における時間変換からも見出すことができます。

相対性理論における重要な4元ベクトルは、この微分を適用することで定義できる。d/dτ⁠。

4段階

偏微分は線型演算子であることを考慮すると、偏時間微分∂/∂ tと空間勾配演算子∇から4次元勾配を形成できる。標準基底を用いると、指数表記と省略表記において、反変成分は以下のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$$

基底ベクトルを成分の前に配置するのは、基底ベクトルの微分を求めることと、偏微分がこの4元ベクトルの成分であることを示すことの混同を避けるためです。共変成分は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$$

これは演算子なので、「長さ」はありませんが、演算子とそれ自体のスカラー積を評価すると、 ダランベール演算子 と呼ばれる別の演算子が得られます。 $${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$$

運動学

4速

粒子の 4 元速度は次のように定義され ます。 $${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$$

幾何学的には、Uは粒子の世界線に接する正規化されたベクトルである。四元位置の微分を用いることで、四元速度の大きさは次のように得られる。 $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$$

つまり、どの物体に対しても 4 元速度の大きさは常に一定の定数です。 $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}$$

ノルムも次のようになります。 したがって、 これはローレンツ因子 の定義に簡約されます。 $${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$ $${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

四元速度の単位はSI単位系ではm/s、幾何化単位系では1です。四元速度は反変ベクトルです。

4加速

四元加速度は次式で与えられます。 ここで、a = d u / dtは座標三元加速度です。U の大きさは定数なので、四元加速度は四元速度と直交します。つまり、四元加速度と四元速度のミンコフスキー積はゼロです。 これはすべての世界線において当てはまります。四元加速度の幾何学的な意味は、ミンコフスキー空間における世界線の 曲率ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}$$

ダイナミクス

4つの運動量

静止質量（または不変質量）m ₀の質量粒子の場合、4元運動量は次のように与えられます。 ここで、運動粒子の全エネルギーは 次のように与えられ 、全相対論的運動量は次のように与えられます。 $${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$ $${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$$ $${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$$

4元運動量のスカラー積をとると次のようになり、 また次の式も得られる。 これにより、エネルギーと運動量の関係が得られる。 $${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$$ $${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$$

この最後の関係は相対論的力学に役立ち、相対論的量子力学と相対論的量子場理論に不可欠であり、いずれも素粒子物理学に応用されています。

4つの力

粒子に作用する四元力は、ニュートンの第二法則における三元運動量の時間微分として三元力と同様に定義される。 ここで、Pは粒子を動かすために伝達される力、 fは粒子に作用する三元力である。一定不変質量m ₀の粒子の場合、これは次式と等価である。 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$$

上記の結果から、 4元力から導かれる不変量は次のとおりです 。 $${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$$

熱力学

4熱流束

4次元熱流束ベクトル場は、流体の局所フレームにおける3次元熱流束ベクトル場qと本質的に同様である。 ^{[ 13 ]} ここでTは絶対温度、kは熱伝導率である。 $${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$$

4重粒子数フラックス

重粒子のフラックスは^{[ 14 ]} で表され、 ここでnは重粒子流体の局所静止系における重粒子の数密度（重粒子の場合は正の値、反重粒子の場合は負の値）、Uは上記と同じ4元速度場（流体の）である。 $${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$$

4エントロピー

4エントロピーベクトルは次のように定義される: ^{[ 15 ]} ここでsは重粒子あたりのエントロピー、Tは流体の局所静止系における絶対温度である。 ^{[ 16 ]} $${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$$

電磁気

電磁気学における 4 元ベクトルの例には次のものがあります。

4つの電流

電磁気的4元電流（より正確には4元電流密度）^{[ 17 ]}は、電流密度jと電荷密度ρ から形成されることで定義されます 。 $${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$$

4つの潜在性

によって定義される電磁4元ポテンシャル（より正確には4元EMベクトルポテンシャル）は、 ベクトルポテンシャルaとスカラーポテンシャルϕ から形成されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$$

4 次元ポテンシャルはゲージの選択に依存するため、一意に決定されません。

電磁場の 波動方程式では、

• 真空中では、 $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}$$
• 4つの電流源とローレンツゲージ条件 を用いると、 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}$ $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

波

4周波数

光子平面波は、 4元周波数で記述され、次のように定義 されます。 ここで、 νは波の周波数、は波の進行方向の 単位ベクトルです。したがって、 光子の4元周波数は常にヌルベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}$$

4波ベクトル

時間tと空間rの逆数は、それぞれ角周波数ωと角波数ベクトルkである。これらは四波数ベクトルまたは波数四ベクトルの成分を形成する。 $${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}$$

波動四ベクトルはSI単位系の逆メートルの一貫した派生単位を持つ。 ^{[ 18 ]}

ほぼ単色光の波束は次のように記述できます。 $${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.}$$

ド・ブロイの関係式は、4 波ベクトルが光波だけでなく 物質波にも適用されることを示しており、および が 生成されます。ここで、ħはプランク定数を2 πで割った値です。 $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right),}$$ ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

ノルムの2乗は、次の通りです。 また、ド・ブロイの関係式により、 エネルギーと運動量の関係式の物質波版が得られます。 $${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$ $${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.}$$

質量のない粒子、つまりm ₀ = 0の場合、次式が成り立つことに注意されたい。 または‖ k ‖ = ω / c 。これは上記の場合と整合している。3次元波動ベクトルが係数ω / cである光子の場合、単位ベクトルによって定義される波動伝播方向において、 $${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}~.}$

量子論

4つの確率の電流

量子力学において、四元確率電流、あるいは確率四元電流は電磁気学の四元電流に類似している。^{[ 19 ]} ここで、ρは時間成分に対応する確率密度関数、 jは確率電流ベクトルである。非相対論的量子力学では、密度と電流の表現が正定値であり、確率解釈が可能であるため、この電流は常に明確に定義される。相対論的量子力学と量子場の理論では、特に相互作用が関与する場合、電流を見つけることが必ずしも可能ではない。 $${\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}$$

4 元運動量においてエネルギーをエネルギー演算子に、運動量を運動量演算子に置き換えると、相対論的波動方程式で使用される4 元運動量演算子が得られます。

4スピン

粒子の四元スピンは、粒子の静止系において次のように定義されます 。 ここで、sはスピン擬ベクトルです。量子力学では、このベクトルの3つの成分すべてが同時に測定可能ではなく、1つの成分のみが測定可能です。時間的成分は粒子の静止系ではゼロですが、他のどの系でもゼロではありません。この成分は、適切なローレンツ変換から求めることができます。 $${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}$$

ノルムの二乗はスピンの大きさの二乗（の負）であり、量子力学によれば、 $${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}$$

この値は観測可能かつ量子化されており、sはスピン量子数（スピンベクトルの大きさではない）です。

その他の処方

物理空間代数における4元ベクトル

4元ベクトルAは、パウリ行列を基底として用いることで定義することもでき、これも同様に様々な等価な表記法で定義できる：^{[ 20 ]} あるいは明示的に 定義できる：そしてこの定式化では、4元ベクトルは実数値の列ベクトルや行ベクトルではなく、エルミート行列（行列の転置と複素共役によって変化しない）として表される。行列の行列式は4元ベクトルの絶対値であるため、行列式は不変である： $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\[1ex]&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

パウリ行列を基底ベクトルとして使用するというこの考え方は、クリフォード代数の一例である物理空間の代数で採用されています。

時空代数における4元ベクトル

クリフォード代数のもう一つの例である時空代数では、ガンマ行列は基底を形成することもできます。（ディラック方程式に現れるため、ディラック行列とも呼ばれます。）ガンマ行列の表現方法は複数あり、詳細はその記事で解説されています。

ファインマンスラッシュ記法は、ガンマ行列と縮約された 4つのベクトルAの略記です。 $${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}$$

ガンマ行列と縮約された四元運動量は、相対論的量子力学および相対論的量子場理論における重要な例である。ディラック方程式やその他の相対論的波動方程式には、 エネルギーEと運動量成分( p _x , p _y , p _z )がそれぞれの演算子に置き換えられた、次のような項が現れる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }&=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}\\[4pt]&={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}\\\end{aligned}}}$$

参照

• 曲がった時空の数学の基礎入門
• ダスト（相対論）数フラックス4ベクトル
• ミンコフスキー空間
• パラベクター
• 相対論的力学
• 波数ベクトル

参考文献

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