正の線形演算子

Concept in functional analysis

数学、より具体的には関数解析において、順序付きベクトル空間から順序付きベクトル空間への正の線型作用素は、のすべての正の元に対してが成り立つようなへの線型作用素である 。言い換えれば、正の線型作用素は、定義域の正の錐を余域の正の錐に写像する。 ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle (Y,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\geq 0,}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$

あらゆる正線型関数は正線型作用素の一種である。正線型作用素の重要性は、リース・マルコフ・角谷表現定理などの結果に見られる。

意味

順序付きベクトル空間上の線形関数 は、次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 正であると呼ばれます。 ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x\geq 0}$暗示する ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. もしそうなら^[1] ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

正錐を持つベクトル空間上のすべての正線型形式の集合は双対錐と呼ばれ、 で表され、 の極に等しい錐である。 双対錐によって 上の線型関数の空間上に誘導される前順序は と呼ばれる。 ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C^{*},}$ ${\displaystyle -C.}$ ${\displaystyle X}$二重予約注文。^[1]

順序ベクトル空間の順序双対は、次のように定義される集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+},}$ ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$

正規順序

とを順序付きベクトル空間とし、をからへのすべての線型写像の空間とします。におけるすべての正線型作用素の 集合は、における順序付きを定義する における錐です。が のベクトル部分空間であり、 が真錐であれば、この真錐は を定義します。 ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle (Y,\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ ${\displaystyle H\cap M}$半順序ベクトル空間にしたときの標準半順序^{。 [2]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

とが順序付き位相ベクトル空間であり、が の有界部分集合の族でその和が を覆う場合、の正錐（ からへのすべての連続線型写像の成す空間）は、 が-位相を備えているとき、 で閉じている。^{[2] が}の真錐であるため には、 の正錐がで全錐であること（つまり、 の正錐のスパンがで稠密であること）で十分である。 が0 より大きい次元の局所凸空間である場合も、この条件は必要である。^[2] したがって、 の正錐が で全錐でありが局所凸空間である場合、によって定義されるの標準順序は正則順序である。^[2] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle (Y,\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

プロパティ

命題：とが順序付き局所凸位相ベクトル空間であり、 がMackey 空間であり、その上ですべての正線型関数が連続であるとする。 の正錐が の弱正規錐であるならば、からへのすべての正線型作用素は連続である。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

命題：が を満たす正錐を持つ樽型順序位相ベクトル空間（TVS）であり、 がである正錐を持つ半反射的順序TVSであるとする。その標準順序を与え、が の上向きの部分集合であり、 が主集合化されている（つまり、 の何らかの元によって上方に有界である）か、または単純に有界であるとする。すると が存在し、セクションフィルタは^[2]の任意のプレコンパクト部分集合上で一様収束する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X=C-C}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle u=\sup {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$

参照

• コーン飽和
• 正の線形関数
• ベクトル格子 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

1. Narici & Beckenstein 2011、pp. 139–153。
2. シェーファー＆ウォルフ1999、225–229ページ。

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

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