Velocity field as the gradient of a scalar function
NACA 0012翼型 周りの ポテンシャル 流線（ 迎え角 11°） 。 上部流管と下部 流管 が示されている。流れは2次元で、翼幅は無限大である。 流体力学 において 、 ポテンシャル流 または 非回転流とは、 渦度 を持たない流体の流れの記述を指します。このような記述は、典型的には 粘性 ゼロの極限 、すなわち 非粘性流体 で流れに渦度が存在しない場合に生じます。
ポテンシャル流は、 速度場を スカラー関数の 勾配、 すなわち速度ポテンシャル として記述します 。その結果、ポテンシャル流は 非回転速度場 によって特徴付けられ、これはいくつかの応用において有効な近似値となります。ポテンシャル流の非回転性は、 スカラー の勾配の 回転が 常にゼロとなることに起因します。
非圧縮性流れ の場合、 速度ポテンシャルは ラプラス方程式を 満たし、 ポテンシャル理論を適用できます。しかし、ポテンシャル流は 圧縮性流れ や ヘレ・ショー流の 記述にも用いられています 。ポテンシャル流アプローチは、定常流と非定常流の両方のモデリングに用いられます。
ポテンシャルフローの応用分野には、翼の 外側の流れ場 、 水面波 、 電気浸透流 、 地下水流などがある。 渦度の 影響が強い流れ（またはその一部）には、ポテンシャルフロー近似は適用できない。 伴流 や 境界層 など 、渦度が重要であることが知られている流れの領域では、ポテンシャルフロー理論では流れの合理的な予測を行うことができない。 [1]しかし、流れの中には非回転性の仮定が有効な広い領域が存在することが多く、 航空機 周りの流れ、 地下水流 、 音響 、 水面波 、 電気浸透流 など、さまざまな用途にポテンシャルフローを使用することができる 。 [2]
説明と特徴 ポテンシャルフローは、単純な 基本フロー を追加し、その結果を観察することによって構築されます。 均一な流れの 中の円筒周りの 非圧縮性ポテンシャル流れの 流線。 ポテンシャル流または非回転流では、渦度ベクトル場はゼロである。すなわち、
ω ≡ ∇ × v = 0 , {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0,}
ここで は速度場、 は 渦度 場である 。回転角がゼロのベクトル場と同様に、速度場はあるスカラーの勾配として表すことができ、例えば 速度ポテンシャル と呼ばれる。これは、 勾配の回転角が常にゼロであるためである。したがって、 [3] v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)} ω ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)} φ ( x , t ) {\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)}
v = ∇ φ . {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}
速度ポテンシャルは一意に定義されません。なぜなら、任意の時間関数 （例えば ）を、関連する物理量 に影響を与えることなく追加できるからです 。この非一意性は通常、 が満たす適切な初期条件または境界条件を適切に選択することで解消されます 。そのため、手順は問題ごとに異なる場合があります。 f ( t ) {\displaystyle f(t)} v {\displaystyle \mathbf {v} } φ {\displaystyle \varphi }
ポテンシャル流においては、 任意の単連結輪郭 の周りの 循環はゼロである。これは ストークスの定理 を用いて示される 。 Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C}
Γ ≡ ∮ C v ⋅ d l = ∫ ω ⋅ d f = 0 {\displaystyle \Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0}
ここで 、 は等高線上の線要素であり、 は等高線で囲まれた任意の面の面積要素である。多重連結空間（例えば、2次元で固体を囲む等高線周辺、または3次元でトーラスを囲む等高線周辺）や、集中渦（いわゆる非 回転渦 や点渦、煙の輪など）が存在する場合、循環は 必ずしもゼロではない。前者の場合、ストークスの定理は適用できず、後者の場合、 等高線で囲まれた領域内では循環はゼロではない。等高線が無限長の円筒を囲み、その円筒と等高線が回ループする等高線周辺では 、循環はゼロではない
。 d l {\displaystyle d\mathbf {l} } d f {\displaystyle d\mathbf {f} } Γ {\displaystyle \Gamma } ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} N {\displaystyle N}
Γ = N κ {\displaystyle \Gamma =N\kappa }
ここで は巡回定数である。この例は2重連結空間に属する。- 重連結空間では、巡回定数が存在する 。すなわち、 κ {\displaystyle \kappa } n {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1} κ 1 , κ 2 , … , κ n − 1 . {\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{n-1}.}
非圧縮流れ 非圧縮性の流れ の場合 （例えば 液体 や 低 マッハ数の 気体 ）、速度 vは 発散 ゼロとなるが、 音波 の場合はそうではない 。 [3]
∇ ⋅ v = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,}
ここに代入すると ラプラス方程式 を満たす ことがわかる [3] v = ∇ φ {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi } φ {\displaystyle \varphi }
∇ 2 φ = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}
ここで 、∇ 2 = ∇ ⋅ ∇は ラプラス演算子 （ Δ と表記されることもある）である 。ラプラス方程式の解は 調和関数 であるため、すべての調和関数は潜在的な流れの解を表す。明らかなように、非圧縮性の場合、速度場は運動 学 、すなわち流れの非回転性と発散ゼロの仮定から完全に決定される。運動量方程式に関連する 力学は、圧力場を計算する場合にのみ後から適用する必要がある。例えば 、ベルヌーイの定理 を用いて翼周りの流れを計算する場合などである 。
非圧縮性流れにおいては、一般的な誤解に反して 、 粘性 項 が
μ ∇ 2 v = μ ∇ ( ∇ ⋅ v ) − μ ∇ × ω = 0 {\displaystyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0}
は完全にゼロです。ポテンシャル流は、特に固体境界付近において、必要な境界条件を満たすことができないため、必要な流れ場を表現することができません。ポテンシャル流が必要な条件を満たす場合、それは非圧縮ナビエ・ストークス方程式の必要な解となります。
2 次元では、調和関数 とその共役調和関数(ストリーム関数) の助けを借りて、非圧縮ポテンシャル フローは、 複素解析 を使用して解析される非常に単純なシステムに縮小されます (以下を参照)。 φ {\displaystyle \varphi } ψ {\displaystyle \psi }
圧縮性流れ
安定した流れ ポテンシャル流理論は、非回転圧縮性流れのモデル化にも用いることができる。 オイラー方程式 からの支配方程式を導出するのは 非常に簡単である。定常流の連続方程式と（ポテンシャル流の）運動量方程式は、次のように与えられる。 φ {\displaystyle \varphi }
ρ ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ ρ = 0 , ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ ∇ p = − c 2 ρ ∇ ρ {\displaystyle \rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho }
ここで最後の式は、流体粒子の エントロピーが一定であり、 音速 の2乗がである という事実から導かれる 。2 つの支配方程式から を消去すると、 c 2 = ( ∂ p / ∂ ρ ) s {\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}} ∇ ρ {\displaystyle \nabla \rho }
c 2 ∇ ⋅ v − v ⋅ ( v ⋅ ∇ ) v = 0. {\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}
非圧縮バージョンは極限で現れる 。ここに代入すると [4] [5] となる。 c → ∞ {\displaystyle c\to \infty } v = ∇ φ {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }
( c 2 − φ x 2 ) φ x x + ( c 2 − φ y 2 ) φ y y + ( c 2 − φ z 2 ) φ z z − 2 ( φ x φ y φ x y + φ y φ z φ y z + φ z φ x ϕ z x ) = 0 {\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0}
ここで 、は速度の大きさの関数として表されます 。 ポリトロープ気体 の場合、 、ここで は 比熱比 、は よどみエンタルピー です 。2次元では、この式は次のように簡略化されます。 c = c ( v ) {\displaystyle c=c(v)} v 2 = ( ∇ ϕ ) 2 {\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}} c 2 = ( γ − 1 ) ( h 0 − v 2 / 2 ) {\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)} γ {\displaystyle \gamma } h 0 {\displaystyle h_{0}}
( c 2 − φ x 2 ) φ x x + ( c 2 − φ y 2 ) φ y y − 2 φ x φ y φ x y = 0. {\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}
妥当性： 現状では、この式は亜音速流か超音速流かに関わらず、あらゆる非粘性ポテンシャル流に対して有効である（例えば プラントル・マイヤー流 ）。しかし、超音速流および遷音速流では衝撃波が発生し、流れにエントロピーと渦度がもたらされ、流れが回転する可能性がある。しかしながら、衝撃波があってもポテンシャル流が優勢となるケースが2つあり、これは（必ずしもポテンシャルではない）以下の運動量方程式によって説明される。
∇ ( h + v 2 / 2 ) − v × ω = T ∇ s {\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}
ここで 、 は 比エンタルピー 、 は 渦度 場、 は温度、 は比エントロピーである。先行衝撃波の前方にはポテンシャル流が存在するため、ベルヌーイの式は が 一定であることを示しており、これは衝撃波の全域にわたって一定である（ ランキン・ユゴニオ条件 ）ため、次のように書ける [4]。 h {\displaystyle h} ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} T {\displaystyle T} s {\displaystyle s} h + v 2 / 2 {\displaystyle h+v^{2}/2}
v × ω = − T ∇ s {\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}
1) 衝撃波の強度が一定である場合、衝撃波を横切るエントロピー不連続も一定であり、したがって渦度生成はゼロである。二次元くさび形または三次元円錐（ テイラー・マッコール流 ）の先端における衝撃波の 強度は一定である。2) 弱い衝撃波の場合、衝撃波を横切るエントロピーの跳躍は衝撃波の強度に関して三次の量であるため、 無視できる。細長い物体内の衝撃波は物体とほぼ平行であり、弱い。 ∇ s = 0 {\displaystyle \nabla s=0} ∇ s {\displaystyle \nabla s}
ほぼ平行な流れ： 細長い物体を過ぎる流れのように、流れが主に一方向で、小さな偏差がある場合、方程式全体はさらに簡略化できます。 主流を とし、この速度場からの小さな偏差を考えます。対応する速度ポテンシャルは次のように表すことができます。 ここで は 一様流からの小さな偏差を特徴づけ、方程式全体の線形化版を満たします。これは次のように与えられます。 U e x {\displaystyle U\mathbf {e} _{x}} φ = x U + ϕ {\displaystyle \varphi =xU+\phi } ϕ {\displaystyle \phi }
( 1 − M 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 = 0 {\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}
ここで、は 一様流に対応する 定数 マッハ数 である。この式は、が1に近くない場合に有効である。 が小さい場合（遷音速流）、次の非線形方程式が成り立つ [4]。 M = U / c ∞ {\displaystyle M=U/c_{\infty }} M {\displaystyle M} | M − 1 | {\displaystyle |M-1|}
2 α ∗ ∂ ϕ ∂ x ∂ 2 ϕ ∂ x 2 = ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 {\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}
ここで、は ランダウ微分 [6] [7] の臨界値であり 、は 比容積 である 。遷音速流は単一のパラメータ によって完全に特徴付けられ 、ポリトロープ気体の場合、このパラメータは値 をとる。 ホドグラフ 変換により 、2次元の遷音速方程式は オイラー・トリコミ方程式 となる。 α ∗ {\displaystyle \alpha _{*}} α = ( c 4 / 2 υ 3 ) ( ∂ 2 υ / ∂ p 2 ) s {\displaystyle \alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}} υ = 1 / ρ {\displaystyle \upsilon =1/\rho } α ∗ {\displaystyle \alpha _{*}} α ∗ = α = ( γ + 1 ) / 2 {\displaystyle \alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2}
不安定な流れ 非定常流れの連続方程式と（ポテンシャル流）運動量方程式は次のように与えられる。
∂ ρ ∂ t + ρ ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ ρ = 0 , ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ ∇ p = − c 2 ρ ∇ ρ = − ∇ h . {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}
（ポテンシャルフロー）運動量方程式の第一積分は次のように与えられる。
∂ φ ∂ t + v 2 2 + h = f ( t ) , ⇒ ∂ h ∂ t = − ∂ 2 φ ∂ t 2 − 1 2 ∂ v 2 ∂ t + d f d t {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}}
ここでは任意の関数である。 は一意に定義されない ため 、一般性を失うことなく と設定できる 。これらの式を組み合わせると、 f ( t ) {\displaystyle f(t)} f ( t ) = 0 {\displaystyle f(t)=0} φ {\displaystyle \varphi }
∂ 2 φ ∂ t 2 + ∂ v 2 ∂ t = c 2 ∇ ⋅ v − v ⋅ ( v ⋅ ∇ ) v . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}
ここで代入すると 、 v = ∇ φ {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }
φ t t + ( φ x 2 + φ y 2 + φ z 2 ) t = ( c 2 − φ x 2 ) φ x x + ( c 2 − φ y 2 ) φ y y + ( c 2 − φ z 2 ) φ z z − 2 ( φ x φ y φ x y + φ y φ z φ y z + φ z φ x ϕ z x ) . {\displaystyle \varphi _{tt}+(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}
ほぼ平行な流れ: 前述のように、ほぼ平行な流れの場合、(再スケールされた時間を導入した後 )
次のように書くことができます。 τ = c ∞ t {\displaystyle \tau =c_{\infty }t}
∂ 2 ϕ ∂ τ 2 + 2 M ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ τ = ( 1 − M 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}
ただし、マッハ数が 1に近くない場合である。 が小さい場合（遷音速流）、次の非線形方程式が成り立つ [4]。 M {\displaystyle M} | M − 1 | {\displaystyle |M-1|}
∂ 2 ϕ ∂ τ 2 + 2 ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ τ = − 2 α ∗ ∂ ϕ ∂ x ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ∂ 2 ϕ ∂ z 2 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}
音波： 音波では、速度の大きさ （マッハ数）は非常に小さいですが、非定常項は方程式の他の主要項と同程度の大きさになります。したがって、二次以上の高次項をすべて無視し、同じ近似において が 定数（例えばポリトロープ気体 ）であることを考慮すると、次の式が得られます。 [8] [4] v {\displaystyle v} c {\displaystyle c} c 2 = ( γ − 1 ) h 0 {\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}
∂ 2 φ ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 φ , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}
これは速度ポテンシャル φ に関する線形 波動方程式です。ここでも、速度ベクトル v の振動部分 は速度ポテンシャルと v = ∇ φ の関係にあります。また、前述と同様に Δ は ラプラス演算子 、 cは 均質媒質 における平均音速です。この近似では、 圧力 p と 密度 ρ の振動部分もそれぞれ個別に波動方程式を満たすことに注意してください 。
適用範囲と制限 ポテンシャル流は、現実世界で遭遇する流れのあらゆる特性を包含しているわけではありません。ポテンシャル流理論は、 近接したプレート間の流れ を除き 、粘性 内部流 [1] には適用できません。 リチャード・ファインマンは、 ポテンシャル流はあまりにも非物理的であるため、仮定に従う唯一の流体は「乾いた水」（ ジョン・フォン・ノイマンの 言葉を引用）であると考えました。 [9]非圧縮ポテンシャル流はまた、 ダランベールのパラドックス など、多くの誤った予測を導きます。ダランベールのパラドックスとは 、静止している無限の流体中を移動する物体の抗力はゼロであるというものです。 [10]より正確には、ポテンシャル流は 境界層 を含む流れの挙動を説明できません 。 [1] それでもなお、ポテンシャル流を理解することは、流体力学の多くの分野において重要です。特に、 自由渦 や点源などの単純なポテンシャル流（ 基本流と呼ばれる）には、容易に解析解が存在します。これらの解を 重ね合わせること で、様々な境界条件を満たすより複雑な流れを作り出すこと ができます。 これらの流れは、流体力学全体にわたって現実の流れと密接に対応しています。さらに、観測された流れとそれに対応するポテンシャル流れとの間の（しばしばわずかな）偏差を考慮すると、多くの貴重な洞察が得られます。ポテンシャル流れは、航空機設計などの分野で広く応用されています。例えば、 数値流体力学では、 境界層 外側のポテンシャル流れの解と境界層内側の 境界層方程式 の解を連成させる手法が用いられます。境界層の影響がないということは、流れ場を変化させることなく、任意の流線を固体境界に置き換えることができることを意味し、この手法は多くの空力設計手法で用いられています。もう一つの手法は、 リアブチンスキー固体 を用いることです 。 [ 疑わしい – 議論する ]
2次元非圧縮流れの解析 二次元ポテンシャル流は 、 複素平面 の 変換を用いた 等角写像 を用いて簡単に解析できる。しかし、例えば円筒を過ぎる流体の流れの古典的な解析のように、複素数の使用は必須ではない。 三次元において 複素数 を用いてポテンシャル流を解くことは不可能である。 [11]
基本的な考え方は、 正則関数 （ 解析関数 とも呼ばれる）または 有理型関数 f を用いることです。これは、物理領域 ( x , y ) を変換された領域 ( φ , ψ ) に写像します。 x 、 y 、 φ 、 ψ はすべて 実数値 ですが、複素量を定義すると便利です。
z = x + i y , and w = φ + i ψ . {\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}}
ここで写像 fを [11] のように書くと、
f ( x + i y ) = φ + i ψ , or f ( z ) = w . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}}
そして、 fは正則関数または有理型関数であるため、 コーシー・リーマン方程式 [11] を満たす必要がある。
∂ φ ∂ x = ∂ ψ ∂ y , ∂ φ ∂ y = − ∂ ψ ∂ x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}
（ x 、 y ） 方向の 速度成分 （ u 、 v ）は、それぞれ z について微分することで f から直接得ることができる 。つまり [11]
d f d z = u − i v {\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}
したがって速度場 v = ( u , v )は [11] で指定される。
u = ∂ φ ∂ x = ∂ ψ ∂ y , v = ∂ φ ∂ y = − ∂ ψ ∂ x . {\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}
φ と ψは 両方とも ラプラス方程式 を満たす ： [11]
Δ φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 , and Δ ψ = ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}
したがって、 φは 速度ポテンシャルとして識別され、 ψは 流れ関数 と呼ばれます 。 [11]定数 ψ の線は 流線 として知られており、定数 φ の線は等ポテンシャル線として知られています（ 等ポテンシャル面を 参照 ）。
流線と等電位線は互いに直交する。 [11]
∇ φ ⋅ ∇ ψ = ∂ φ ∂ x ∂ ψ ∂ x + ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ y = ∂ ψ ∂ y ∂ ψ ∂ x − ∂ ψ ∂ x ∂ ψ ∂ y = 0 . {\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}
したがって流れは定数ψ の線に沿って、定数 φ の線に対して直角に発生する 。 [11]
Δ ψ = 0 も満たされ、この関係は ∇ × v = 0 と等価である。したがって、流れは非回転である。自動条件 ∂ 2 Ψ / ∂ x ∂ y = ∂ 2 Ψ / ∂ y ∂ x すると非圧縮性制約 ∇ · v = 0 が与えられます。
2次元非圧縮流れの例 f には任意の微分可能関数を用いることができる 。以下の例では様々な 初等関数 を用いているが、 特殊関数 も用いることができる。 自然対数 のような 多価関数 も用いることができるが、注意すべきは単一の リーマン面 に限定することである。
べき乗則
べき乗則 w = Az n の 等角写像の例（べき乗 nの異なる値について）。z 平面 を示し 、定電位線 φ と流線関数 ψ を示している。w = φ + iψ である。
z = x + iyから w = φ + iψ までの次の べき乗 法則の等角写像を適用する 場合 ： [12]
w = A z n , {\displaystyle w=Az^{n}\,,}
次に、 zを 極座標で z = x + iy = re iθ と書くと、 [12]
φ = A r n cos n θ and ψ = A r n sin n θ . {\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}
右の図には、 n の様々な値の例が示されている。黒線は流れの境界、濃い青線は流線、薄い青線は等電位線である。n の興味深いべき乗には次のようなもの が ある： [12]
n = 1 / 2 : これは半無限板の周りの流れに対応し、 n = 2 / 3 : 右コーナーを回り、 n = 1 : 一様流の単純なケース、 n = 2 : コーナーまたはよどみ点付近を流れ、 n = −1 : ソースダブレットによるフロー 定数 A はスケーリングパラメータです。その 絶対値 | A | によってスケールが決定され、 引数 arg( A ) によって回転が導入されます (ゼロ以外の場合)。
w = Az 1 、つまり n = 1 のべき乗則の場合 、流線（すなわち定数 ψの線）は x 軸に平行な直線の系となります 。これは、実数部と虚数部を使って書くと最も分かりやすくなります。
f ( x + i y ) = A ( x + i y ) = A x + i A y {\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}
したがって、 φ = Ax 、 ψ = Ay となる。この流れは、 x 軸に平行な 一様流 として解釈できる 。
べき乗則 2 n = 2 の場合には w = Az 2 となり 、 ψ の特定の値に対応する流線 は、
ψ = A r 2 sin 2 θ , {\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}
これは直角双曲線 系です 。これは、実数部と虚数部を用いて書き直すことで確認できます。sin 2 θ = 2 sin θ cos θ であることに注目し、 sin θ = と書き直すと、 y / r そして cos θ = × / r （簡略化すると）流線は次のように表されることがわかる。
ψ = 2 A x y . {\displaystyle \psi =2Axy\,.}
速度場は ∇ φ で与えられる、または
( u v ) = ( ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ) = ( + ∂ ψ ∂ y − ∂ ψ ∂ x ) = ( + 2 A x − 2 A y ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}
流体力学では、原点付近の流れ場は よどみ点 に相当します。原点の流体は静止していることに注意してください（これは、 z = 0 で f (z) = z 2 を微分した結果です）。 ψ = 0 の 流線は特に興味深いもので、座標軸、つまり x = 0 と y = 0に沿って 2 つ（または 4 つ）の枝があります。 x 軸を横切る流体は存在しないため 、 x軸は固体境界として扱うことができます。したがって、 y < 0 である下半平面の流れを無視し、上半平面の流れに焦点を当てることができます。この解釈では、流れは、水平な平板に衝突する垂直方向のジェットの流れです。（たとえば） x 、 y < 0 で指定された領域を無視すると、流れは 90 度のコーナーへの流れとしても解釈できます 。
べき乗則 3 n = 3 の場合 、結果として生じる流れは、上で検討した n = 2の場合の六角形バージョンのようなものになります。流線は ψ = 3 x 2 y − y 3 で与えられ 、この場合の流れは60°の角への流れとして解釈できます。
べき乗則 n = −1 : ダブレット n = −1 の場合 、流線は次のように表される。
ψ = − A r sin θ . {\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}
これは、実数部と虚数部の観点から見るとより簡単に解釈できます。 ψ = − A y r 2 = − A y x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + A y ψ = 0 , x 2 + ( y + A 2 ψ ) 2 = ( A 2 ψ ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}
したがって、流線は 原点でx軸に接する 円となる。上半平面上の円は時計回りに流れ、下半平面上の円は反時計回りに流れる。速度成分は r −2 に比例し、原点における値は無限大であることに注意されたい。この流れのパターンは通常、二重流線 または双極子流線 と呼ばれ、無限小の距離に保たれた無限の強度を持つソース・ シンク対 の組み合わせとして解釈できる。速度場は次のように与えられる。
( u , v ) = ( ∂ ψ ∂ y , − ∂ ψ ∂ x ) = ( A y 2 − x 2 ( x 2 + y 2 ) 2 , − A 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2 ) . {\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}
または極座標では:
( u r , u θ ) = ( 1 r ∂ ψ ∂ θ , − ∂ ψ ∂ r ) = ( − A r 2 cos θ , − A r 2 sin θ ) . {\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}
べき乗則 n = −2 : 四重極 n = −2 の場合 、流線は次のように表される。
ψ = − A r 2 sin 2 θ . {\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}
これは四重極子 に関連する流れ場である 。 [13]
ラインソースとシンク 線状のソースまたはシンクの強度 （ ソースの場合はソース、 シンクの場合はシンク）は、ポテンシャルによって与えられる。 Q {\displaystyle Q} Q > 0 {\displaystyle Q>0} Q < 0 {\displaystyle Q<0}
w = Q 2 π ln z {\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}
ここで 、実際には、ソースまたはシンクを囲む表面を横切る単位長さあたりの体積流束です。極座標における速度場は Q {\displaystyle Q}
u r = Q 2 π r , u θ = 0 {\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}
つまり、純粋な放射状の流れです。
線渦 線渦の強さ は次のように表される。 Γ {\displaystyle \Gamma }
w = Γ 2 π i ln z {\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}
ここで 、渦を囲む任意の単純な閉曲線の周りの循環は 、 極座標における速度場である。 Γ {\displaystyle \Gamma }
u r = 0 , u θ = Γ 2 π r {\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}
つまり、純粋に方位角方向の流れです。
3次元非圧縮流れの解析 3次元の流れの場合、複雑なポテンシャルを得ることはできません。
点源と点シンク 球面極座標における
点状ソースまたはシンクの強度 （ ソースの場合は 、シンクの場合は ） の速度ポテンシャルは次のように表される。 Q {\displaystyle Q} Q > 0 {\displaystyle Q>0} Q < 0 {\displaystyle Q<0}
ϕ = − Q 4 π r {\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}
ここで 、実際には、ソースまたはシンクを囲む閉表面を横切る体積流束である。球面極座標における速度場は Q {\displaystyle Q}
u r = Q 4 π r 2 , u θ = 0 , u ϕ = 0. {\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}
参照
注記 ^ abc バチェラー（1973）378–380頁。 ^ カービー、BJ（2010）、マイクロおよびナノスケール流体力学：マイクロ流体デバイスにおける輸送、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-11903-0 ^ abc バチェラー（1973）99–101頁。 ^ abcde Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). "114". 流体力学 . Landau And Lifshitz: Course of Theoretical Physics. 第6巻. Elsevier. p. 436. ^ アンダーソン, JD (2002). 現代の圧縮性流れ . マグロウヒル. pp. 358– 359. ISBN 0-07-242443-5 。 ^ 1942年、Landau, LD「衝撃波について」J. Phys. USSR 6 229-230 ^ Thompson, PA (1971). 気体力学における基本的な微分. 流体物理学, 14(9), 1843-1849. ^ ラム（1994）§287、pp.492-495。 ^ ファインマン, RP ; レイトン, RB ; サンズ, M. (1964) 『ファインマン物理学講義 』第2巻、アディソン・ウェスリー 、p. 40-3。第40章のタイトルは「 乾いた水の流れ」 です。 ^ バチェラー（1973）404-405頁。 ^ abcdefghi バチェラー (1973) 106–108ページ。 ^ abc バチェラー（1973）409–413頁。 ^ Kyrala, A. (1972). 複素変数の応用関数 . Wiley-Interscience. pp. 116– 117. ISBN 9780471511298 。
参考文献
さらに読む Chanson, H. (2007)、 「Lepotentiel de vitesse pour les écoulements de Fluides réels: la courtesy de Joseph-Louis Lagrange [実際の流体の流れにおける速度ポテンシャル: Joseph-Louis Lagrange の貢献]」 、 La Houille Blanche (フランス語)、 93 (5): 127–131 、 Bibcode :2007LHBl...93..127C、 土井 : 10.1051/lhb:2007072 Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960)、「表面波」、 Flügge, S. ; Truesdell, C. (eds.)、Encyclopedia of Physics, vol. IX、Springer Verlag、pp. 446– 778、2009年1月5日時点のオリジナルよりアーカイブ、2009年3月 29日 取得
外部リンク ウィキメディア・コモンズには、ポテンシャルフロー に関連するメディアがあります 。
「非粘性流体の非回転流れ」 ジェノヴァ大学 工学部. 2009年3月29日 閲覧 。 「コンフォーマルマップギャラリー」. 3D-XplorMath . 2009年3月29日 閲覧。 — 等角地図を探索するためのJavaアプレット ポテンシャルフロー可視化 - インタラクティブWebアプリ
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b9c7c089cdb5f03b26cc8ca14663e89500d586)
