べき乗法則流体

連続体力学において、べき乗法則流体、またはオストワルド・ド・ヴァーレの関係は、一般化されたニュートン流体の一種です。この数学的関係は単純であるため便利ですが、実際の非ニュートン流体の挙動を近似的にしか説明できません。べき乗法則流体は、流動挙動指標の値に基づいて、擬塑性流体、ニュートン流体、およびダイラタント流体の3つの異なるタイプの流体に分類できます。一次流体は、粘度が温度に対して指数関数的に依存するべき乗法則流体です。円管内のニュートン流体の速度プロファイルが2次関数的であるため、べき乗法則流体ではべき乗法則の速度プロファイルが得られます。

説明

連続体力学において、べき乗法則流体、またはオストワルド・ド・ヴァーレの関係を示す流体は、一般化ニュートン流体（時間に依存しない非ニュートン流体）の一種であり、そのせん断応力 $τ$ は次のように与えられる。 $\tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}$

どこ：

$Kは$ 流動粘稠度指数（SI単位Pa·s ⁿ ）である。
$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠∂ u/∂ y⁠$ はせん断速度またはせん断面に垂直な速度勾配（SI単位s ⁻¹）であり、
$nは$ 流動挙動指数（無次元）である。

数量

$\mu _{\mathrm {eff} }=K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n-1}$

は、せん断速度（SI単位Pa・s）の関数として、見かけ粘度または有効粘度を表します。Kと $n$ の値は、およびのグラフから得られます。傾きは $n$ $- 1$ の値を与え、そこから $nを$ $計算$ できます。における切片は、の値を与えます。 ${\textstyle \log(\mu _{\mathrm {eff} })}$ ${\textstyle \log \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)}$ ${\textstyle \log \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=0}$ ${\textstyle \log(K)}$

ヴィルヘルム・オストワルドとアルマン・ド・ワールにちなんでオストワルド・ド・ワールべき乗法則とも呼ばれるこの数学的関係は、^[1]^[2]その単純さゆえに有用であるが、現実の非ニュートン流体の挙動を近似的にしか記述しない。例えば、 $n が$ 1 未満の場合、べき乗法則によれば、せん断速度が増加するにつれて有効粘度は無限に減少すると予測され、静止時には無限大の粘度を持ち、せん断速度が無限大に近づくと粘度がゼロになる流体が必要となるが、現実の流体は分子レベルの物理化学に依存する最小有効粘度と最大有効粘度を持つ。したがって、べき乗法則は、係数が適合されたせん断速度の範囲全体での流体の挙動を適切に記述するにすぎない。せん断依存流体の全体的な流動挙動をより適切に記述するモデルは他にも多数存在するが、それらは単純さを犠牲にしているため、べき乗法則は依然として流体の挙動を記述し、数学的予測を可能にし、実験データを相関させるために使用されている。

種類

べき乗法則流体は、流動挙動指標の値に基づいて、次の 3 つの異なるタイプの流体に分類できます。

$n$	流体の種類
<1	擬似可塑性
1	ニュートン流体
>1	ダイラタント（あまり一般的ではない）

擬塑性流体

擬塑性流体、あるいはずり流動化流体は、挙動が時間に依存しず、高いずり速度で見かけの粘度が低くなる流体であり、通常は大きな高分子がより小さな分子を含む溶媒に溶解した溶液です。一般的に、大きな分子鎖は低ずり速度ではランダムに転がり、大量の流体に影響を与えますが、徐々にずり速度が増加する方向に整列し、抵抗が減少すると考えられています。

強力なせん断減粘性流体の一般的な例としては、スタイリングジェルが挙げられます。スタイリングジェルは主に水と、酢酸ビニル/ビニルピロリドン共重合体（PVP/PA）などの定着剤で構成されています。片手にヘアジェルのサンプルを持ち、もう片方の手にコーンシロップまたはグリセリンのサンプルを持つと、ヘアジェルは指から流れ落ちにくく（低せん断塗布）、指の間でこすり合わせる際の抵抗がはるかに小さくなります（高せん断塗布）。^[3]

この種の挙動は、溶液や懸濁液において広く見られます。これらの場合、大きな分子や微粒子は、任意のせん断速度において安定かつ再現性のある、緩く結合した凝集体または配列群を形成します。しかし、これらの流体は、せん断速度の増加または減少に伴い、急速かつ可逆的に分解または再形成します。擬塑性流体は、広いせん断速度範囲にわたってこの挙動を示しますが、せん断速度が非常に低い場合と非常に高い場合には、ニュートン流体の限界挙動に近づくことがよくあります。これらのニュートン流体領域は、それぞれ粘度とによって特徴付けられます。 $\mu _{0}$ $\mu _{\infty }$

ニュートン流体

ニュートン流体は挙動指数が 1 のべき乗法則流体であり、せん断応力はせん断速度に正比例します。

$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}$

これらの流体は、すべてのせん断速度にわたって一定の粘度μを持ち、水、ほとんどの水溶液、油、コーンシロップ、グリセリン、空気、その他のガスなど、最も一般的な流体の多くが含まれます。

これは比較的低いせん断速度では当てはまりますが、実際にはせん断速度が高い場合、ほとんどのオイルは非ニュートン流体として挙動し、薄くなります。典型的な例としては、自動車のエンジンシェルベアリングの油膜や、程度は低いもののギア歯の接触部などが挙げられます。

ダイラタント流体

ダイラタント流体、またはずり粘稠化流体は、高いずり速度で見かけの粘度が増加します。

ビスカスカップリングは、自動車のビスカスカップリングに広く使用されています。カップリングの両端が同じ回転速度で回転している場合、ダイラタント流体の粘度は最小限に抑えられますが、カップリングの両端の速度が異なる場合、カップリング流体の粘度は非常に高くなります。ビスカスカップリングは、片方の車輪が氷上にいるなど、トラクションが低下した際に、片方の車輪にすべてのトルクが伝わるのを防ぐために使用されます。2つの駆動輪の間にビスカスカップリングを配置することで、両輪が同じ速度で回転し、スリップしていない車輪にトルクが伝達されます。ビスカスカップリングは、四輪駆動乗用車において、前車軸と後車軸の回転速度を一定に保つためにも使用されます。

ダイラタント流体は日常的な場面ではあまり見られません。よくある例としては、コーンスターチと水を混ぜた未加熱のペースト（ウーブレックとも呼ばれます）が挙げられます。高せん断速度下では、水がデンプン分子の間から押し出され、デンプン分子間の相互作用が強くなり、粘度が飛躍的に高まります。

厳密にはダイラタント流体ではありませんが、シリーパティー(粘弾性流体) は、これらの粘度特性を共有する物質の一例です。

一次流体

一次流体は、粘度が温度に対して指数関数的に依存するべき乗法則流体です。

$\mu _{\mathrm {eff} }({\dot {\gamma }},T)=\mu _{0}{\dot {\gamma }}^{n-1}\exp(-bT)$

ここで、はせん断速度、Tは温度、μ ₀、n、およびbは係数です。 ${\dot {\gamma }}$

このモデルは次のように書き直すことができる。

$\mu _{\mathrm {eff} }({\dot {\gamma }},T)=\exp \left(A_{0}+A_{1}\ln {\dot {\gamma }}+A_{2}T\right)$

円管内の速度プロファイル

円形パイプ内のニュートン流体が 2次曲線の速度プロファイルを示すのと同様に、べき乗法則流体はべき乗法則の速度プロファイルを示す。

$u(r)={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {dp}{dz}}{\frac {1}{2K}}\right)^{\frac {1}{n}}\left(R^{\frac {n+1}{n}}-r^{\frac {n+1}{n}}\right)$

ここでu ( r )は（半径方向の）局所軸方向速度であり、⁠dp/dz⁠はパイプに沿った圧力勾配、 Rはパイプの半径です。

参照

参考文献

^ 例、GW スコットブレアら。、Ｊ．Ｐｈｙｓ． Chem .、(1939) 43 (7) 853–864。また、de Waele-Ostwald の法則、たとえばMarkus Reiner ら。、コロイドツァイシュリフト(1933) 65 (1) 44-62
^ オストワルドはそれをド・ウェール・オストワルド方程式と呼んだ: Kolloid Zeitschrift (1929) 47 (2) 176-187
^ Saramito, Pierre (2016). 複雑流体：モデリングとアルゴリズム(PDF) . スイス、シャム：Springer International Publishing Switzerland. p. 65. ISBN 978-3-319-44362-1. 2018年8月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2025年2月20日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

[OdW-1] 例、GW スコットブレアら。、Ｊ．Ｐｈｙｓ． Chem .、(1939) 43 (7) 853–864。また、de Waele-Ostwald の法則、たとえばMarkus Reiner ら。、コロイドツァイシュリフト(1933) 65 (1) 44-62

[Ostwald1929-2] オストワルドはそれをド・ウェール・オストワルド方程式と呼んだ: Kolloid Zeitschrift (1929) 47 (2) 176-187

[3] Saramito, Pierre (2016). 複雑流体：モデリングとアルゴリズム(PDF) . スイス、シャム：Springer International Publishing Switzerland. p. 65. ISBN 978-3-319-44362-1. 2018年8月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2025年2月20日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

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