プライムオメガ関数

Number of prime factors of a natural number

数論において、素因数分解関数 と素因数計算関数は、自然数 の素因数の個数を数えます。異なる素因数の個数は（小オメガ）に割り当てられ、（大オメガ）は重複度を持つ素因数の総数を数えます（算術関数 を参照）。つまり、異なる素数（ ）に対しての形の素因数分解がある場合、素因数分解関数は と で与えられます。これらの素因数計算関数には、多くの重要な数論的関係があります。 ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle \omega (n)=k}$ ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

特性と関係

この関数は加法的であり、完全に加法的である。小さなオメガは次式で表される。 ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1,}$

ここで、p | nという表記は、 nを割り切るすべての素数pについて、重複なしに和をとることを示します。例えば、。 ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

ビッグオメガには公式がある

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha .}$

p ^α | nという表記は、 nを割り切るすべての素数p ^αの和をとることを示し、p ^α || nは、 nを割り切るすべての素数p ^αの和をとり、かつn / p ^αがp ^αと互いに素であることを示します。例えば、 です。 ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$

オメガは不等式ω ( n )≤Ω( n )と2ω ^{( n )} ≤d ( n )≤2Ω ( ^{n )}で関係付けられる。ここでd ( n )^は除数関数である。^{[1] Ω} ( n )= ω ( n ) ならばnは平方自由関数であり、メビウス関数と次のように関係付けられる。

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}.}$

ならばは素数べき乗であり、ならばは素数です。 ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$

の平均位数の漸近級数は^[2]である。 ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

ここではメルテンス定数、はスティルチェス定数です。 ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$

この関数はメビウス関数と除数関数の除数和と関連しており、次のようなものがある: ^[3] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$は単位約数の個数です。（OEISのシーケンスA034444）

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

素数の特性関数はメビウス関数との畳み込みで表すことができる：^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

の分割関連の正確な恒等式は^[5]で与えられる。 ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

ここで、は分割関数、はメビウス関数であり、三角列は次のように展開される。 ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

無限q-ポッホハンマー記号と制限された分割関数を用いて、それぞれを奇数（偶数）個の異なる部分に分割した場合の の数を表す。 ^[6] ${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

複素平面への継続

の継続は見つかっているが、どこでも解析的というわけではない。^[7]正規化された関数が使用されていることに注意。 ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(n^{2}+n-mz\right)\right)\right)}$

これは次の分割の恒等式と密接に関係している。次の形式の分割を考える。

${\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}$

ここで、、、は正の整数であり、である。したがって、分割数はで与えられる。^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a>b>c}$ ${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}$

平均順序と要約関数

との平均位数は である。が素数の場合、関数の値の下限は である。同様に、が素数の場合、関数は と同じくらい大きい。 ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \log \log n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$

平均順序で。が2のべき乗のとき、^[9] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)=\log _{2}(n).}$

、、のべき乗上の総和関数の漸近挙動はそれぞれ^{[10] [11]である。} ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

ここで、はメルテンス定数であり、定数は次のように定義される。 ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$ ${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

単位約数の和は

${\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)}$^{[12] （} OEISの 配列A064608）

プライムオメガ関数の2つの変種を関連付ける他の和としては^{[13]がある。}

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

そして

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

例I: 修正された要約関数

この例では、十分に大きな に対して上記の結果で推定された総和関数の変形を提案する。次に、この修正された総和関数の増加に関する漸近式を、本論文の主要節で示した式で示した の漸近推定値から導出する。^[14] ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

完全に正確に言うと、奇数添字の要約関数は次のように定義される。

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

ここで はアイバーソン括弧を表します。すると、 ${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

この結果の証明は、まず次のことを観察することによって得られる。

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

そして、 上の総和関数に対するハーディとライトの漸近的結果を で表す次の形式に適用します。 ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

例 II: ω(n) のいわゆる階乗モーメントの合計関数

ハーディとライトの第22.11章で拡張された計算は、総和関数の漸近推定値を提供する。

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

これら２つのオメガ関数の積を次のように推定する。

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

同様に、関数 のいわゆる階乗モーメント上の関連する総和関数の漸近式をより一般的に計算することができます。 ${\displaystyle \omega (n)}$

ディリクレ級数

とリーマンゼータ関数を含む既知のディリクレ級数は^[15]で与えられる。 ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

また、

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

関数 は完全に加法的である。ここで は強く加法的である（加法的である） 。ここで、と の両方におけるディリクレ級数の展開の正確な公式を示す、以下の形の短い補題を証明できる。 ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

補題．が強加法的な算術関数であるとし、その素数べき乗における値は（すなわち、異なる素数と指数に対して）で与えられるとする。のディリクレ級数は によって展開される 。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$ ${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

証明 。

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

これは、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

対応する級数と積が収束する限り、この式は成り立ちます。最後の式では、リーマンゼータ関数のオイラー積表現を用いました。

補題は、 に対して、 ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned}}}$

ここでは素数ゼータ関数、は-番目の調和数、 はディリクレ畳み込みの恒等関数、です。 ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k}}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}}\rfloor }$

素オメガ関数の差の分布

差分の異なる整数値の分布は、成分関数の半ランダムな性質と比較して規則的である。 に対して、次のように定義する。 ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

これらの濃度には、対応する極限密度の列があり、 ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

これらの密度は、主成分の製品によって生成される。

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

絶対定数 の場合、密度は次式を満たす。 ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

^{[16]の最後のセクションで}エルデシュ-カッチの定理に関連して定義された素積の定義と比較してください。

参照

• 加法関数
• 算術関数
• エルデシュ・カッツ定理
• オメガ関数（曖昧さ回避）
• 素数
• 平方自由整数

注記

1. この不等式はハーディとライトのセクション22.13に示されています。
2. SRフィンチ、「二つの漸近級数、数学定数II」、ケンブリッジ大学出版局、pp.21-32、[1]
3. リストの2番目の恒等式から始まるこれらの恒等式はそれぞれ、「算術関数のディリクレ畳み込み」、「メノンの恒等式」、および「オイラーのトーティエント関数のその他の公式」のページで個別に引用されています。最初の恒等式は、NISTハンドブック数学関数のセクション27.6に記載されている2つの既知の約数の和の組み合わせです。
4. これはアポストルの著書の演習問題として提案されています。つまり、 と書きます。ディリクレ級数をと表すことができます。ここでは素ゼータ関数です。すると、 が素数の指示関数であることが明白になります。 ${\displaystyle f=\mu \ast \omega }$ ${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{r|d}\left(\pi (r)-\pi (r-1)\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=P(s),}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle f(n)=\pi (n)-\pi (n-1)=\chi _{\mathbb {P} }(n)}$
5. この同一性は、このページの下部に引用されているシュミットの論文で証明されています。
6. この三角列は、メルカとシュミット（2017–2018）によって証明されたランバート級数因数分解定理にも顕著に現れている。
7. Hoelscher, Zachary; Palsson, Eyvindur (2020-12-05). 「整数の制限分割を分数に数える：生成関数の対称性とモード、そしてω(t)との関連」. The PUMP Journal of Undergraduate Research . 3 : 277–307 . arXiv : 2011.14502 . doi :10.46787/pump.v3i0.2428. ISSN  2576-3725.
8. Hoelscher, Zachary; Palsson, Eyvindur (2020-12-05). 「整数の制限分割を分数に数える：生成関数の対称性とモード、そしてω(t)との関連」. The PUMP Journal of Undergraduate Research . 3 : 277–307 . arXiv : 2011.14502 . doi :10.46787/pump.v3i0.2428. ISSN  2576-3725.
9. これらの平均順序推定値のそれぞれについては、 MathWorld参考文献の式（3）と（18）およびHardyとWrightのセクション22.10-22.11を参照してください。
10. これらの漸近推定値の参考と明示的な導出については、セクション22.10と22.11を参照してください。
11. 実際、ハーディとライトによる最後の結果の証明は、のより一般的なケースについての形式の階乗モーメントの総和関数を考慮することにより、任意の のモーメント の漸近推定値を抽出するより一般的な手順を示唆しています。 ${\displaystyle \sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\left[\omega (n)\right]!}{\left[\omega (n)-m\right]!}}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$
12. コーエン、エックフォード (1960). 「整数の単位約数の個数」 .アメリカ数学月刊. 67 (9): 879– 880. doi :10.2307/2309455. ISSN  0002-9890. JSTOR  2309455.
13. ハーディとライト第22章11節。
14. 注：この合計値は、このページの寄稿者によるメルテンス関数の成長に関する未発表論文に含まれる研究によって示唆されたものです。したがって、これはここでの説明のために得られた単なる空虚な、あるいは自明な推定値ではありません。
15. この恒等式は、NIST 数学関数ハンドブックのセクション 27.4 に記載されています。
16. レニー、A.;トゥラン、P. (1958)。 「エルデシュ・カクの定理について」(PDF)。アクタ算術。4 (1): 71–84 .土井:10.4064/aa-4-1-71-84。

参考文献

• GHハーディ、EMライト（2006年）『数論入門』（第6版）オックスフォード大学出版局。
• HL Montgomery、RC Vaughan (2007).乗法数論I. 古典理論（第1版）. Cambridge University Press.
• シュミット、マキシー (2017). 「アダマール積とランバート級数生成関数の高階微分に対する因数分解定理」arXiv : 1712.00608 [math.NT].
• ワイスタイン、エリック. 「個別素因数」. MathWorld . 2018年4月22日閲覧。

外部リンク

• 関連するシーケンス番号とテーブルについてはOEIS Wikiをご覧ください。
• 素因数に関するOEIS Wiki

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Prime_omega_function&oldid=1321250987"