最大口径の原則
ET Jaynes [ 1]によって提唱された最大口径原理（MaxCal ）または最大経路エントロピー原理は、最大エントロピー原理の一般化とみなすことができます。この原理は、経路の最も偏りのない確率分布は、シャノンエントロピーを最大化するものであると仮定しています。この経路のエントロピーは、システムの「口径」と呼ばれることもあり、経路積分によって与えられます。
![{\displaystyle S[\rho [x()]]=-\int D_{x}\,\,\rho [x()]\,\ln {\rho [x()] \over \pi [x()]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdefc45b361f6f99f063216a7faab9d178db94d1)
歴史
最大口径原理は、1980年にエドウィン・T・ジェインズによって「最小エントロピー生成原理」と題された論文の 中で、非平衡統計力学の原理を導出する文脈で提案されました[1]。
数学的定式化
最大口径の原理は、経路空間上で定義される最大エントロピーの原理の一般化として考えることができ、口径は次の形式をとる。
![{\displaystyle S[\rho [x()]]=-\int D_{x}\rho [x()]\ln {\rho [x()] \over \pi [x()]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db2b45ec5393d32b51ddf61d7cd226551541df9)
ここで、n制約 の場合
![{\displaystyle \int D_{x}\rho [x()]A_{n}[x()]=\langle A_{n}[x()]\rangle =a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485b2ba469cfd999b65adb767eeffb80b4d1949c)
確率関数は
![{\displaystyle \rho [x()]=\exp \left\{-\sum _{i=0}^{n}\alpha _{n}A_{n}[x()]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e45aaf828cf4721c7c2daff386707c9a3d993e1)
同様に、次の形式の 区間で定義されるn個の動的制約に対して、
![{\displaystyle t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7ea7b28971838e52f450c48053939e81daa26f)
![{\displaystyle \int D_{x}\rho [x()]L_{n}(x(t),{\dot {x}}(t),t)=\langle L_{n}(x(t),{\dot {x}}(t),t)\rangle =\ell (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb777b245e88935db581634676e9bfb560df6d19)
確率関数は
![{\displaystyle \rho [x()]=\exp \left\{-\sum _{i=0}^{n}\int _{0}^{T}dt\,\alpha _{n}(t)L_{n}(x(t),{\dot {x}}(t),t)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a574fed9f066ba571cc70b8a05f7eadaf5c2ccfa)
最大口径と統計力学
ジェインズの仮説に従って、多くの自由度を持つシステムの統計的表現を記述する枠組みの構築の結果として最大口径原理が出現することを示す文献が存在する。[2] [3] [4]
参照
注記
- ^ ab Jaynes, ET (1980). 「最小エントロピー生成原理」. Annual Review of Physical Chemistry . 31 (1). Annual Reviews: 579– 601. doi :10.1146/annurev.pc.31.100180.003051. ISSN 0066-426X.
- ^ Pressé, Steve; Ghosh, Kingshuk; Lee, Julian; Dill, Ken A. (2013-07-16). 「統計物理学における最大エントロピーと最大口径の原理」Reviews of Modern Physics 85 (3) . American Physical Society (APS): 1115– 1141. doi :10.1103/revmodphys.85.1115. ISSN 0034-6861.
- ^ Hazoglou, Michael J.; Walther, Valentin; Dixit, Purushottam D.; Dill, Ken A. (2015-08-06). 「コミュニケーション：最大口径は非平衡統計力学における一般的な変分原理である」. The Journal of Chemical Physics . 143 (5). AIP Publishing: 051104. arXiv : 1505.05479 . doi : 10.1063/1.4928193 . ISSN 0021-9606.
- ^ Davis, Sergio; González, Diego (2015-09-22). 「ハミルトン形式論と経路エントロピー最大化」. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 48 (42) 425003. IOP Publishing. arXiv : 1404.3249 . doi :10.1088/1751-8113/48/42/425003. ISSN 1751-8113.
