Value for the flow of probability in quantum mechanics
量子力学 において 、 確率カレント （ 確率 フラックス と呼ばれることもある）は、確率 の流れを記述する数学的な量です。具体的には、確率を 不均質 流体と考えると 、確率カレントはこの流体の流速です。これは 空間と時間とともに変化する 実 ベクトルです。確率カレントは、 流体力学 における 質量カレント や 電磁気 学 における電流に類似しています 。これらの分野と同様に、確率カレント（すなわち、確率カレント密度）は 連続方程式 を介して 確率密度関数 と関連付けられています。確率カレントは ゲージ変換 に対して 不変 です。
確率カレントの概念は、量子力学以外でも、 ブラウン運動 や フォッカー・プランク方程式 など、時間とともに変化する確率密度関数を扱う際に使用されます。 [1]
確率カレントの相対論的等価物は、確率4元カレントとして知られています。
定義（非相対論的3元カレント）
自由スピン0粒子 非相対論的量子力学において、 1次元における質量 m の粒子の 波動関数 Ψ の確率カレント j は[2] で定義されます。
ここで j = ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x − Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ x ) = ℏ m ℜ { Ψ ∗ 1 i ∂ Ψ ∂ x } = ℏ m ℑ { Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x } , {\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}
ℏ {\displaystyle \hbar } は換算 プランク定数 です。 Ψ ∗ {\displaystyle \Psi ^{*}} は波動関数 の 複素共役 を表します 。 ℜ {\displaystyle \Re } は実部 を表します 。 ℑ {\displaystyle \Im } は虚部 を表します 。 確率カレントはロンスキー係数に比例することに注意してください 。 W ( Ψ , Ψ ∗ ) . {\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*}).}
3次元では、これは次のように一般化されます
。 ここで、は デレゲート 演算子または 勾配 演算子 を表します 。これは 運動運動量演算子 を用いて簡略化することができ、
次の ように得られます
。 j = ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ m ℜ { Ψ ∗ ∇ i Ψ } = ℏ m ℑ { Ψ ∗ ∇ Ψ } , {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,} ∇ {\displaystyle \nabla } p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla } j = 1 2 m ( Ψ ∗ p ^ Ψ + Ψ ( p ^ Ψ ) ∗ ) . {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi +\Psi \left(\mathbf {\hat {p}} \Psi \right)^{*}\right)\,.}
これらの定義では、位置基底（つまり、 位置空間 の波動関数）を使用しますが、 運動量空間 も可能です。実際、確率カレント演算子は次のように書くことができます
。
j ^ ( r ) = p ^ | r ⟩ ⟨ r | + | r ⟩ ⟨ r | p ^ 2 m {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {\hat {p}} |\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |+|\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\mathbf {\hat {p}} }{2m}}}
これは特定の基底の選択に依存しません。確率カレントはこの演算子の期待値です
j ( r , t ) = ⟨ Ψ ( t ) | j ^ ( r ) | Ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\langle \Psi (t)|{\hat {\mathbf {j} }}(\mathbf {r} )|\Psi (t)\rangle .}
電磁場中のスピン0粒子 上記の定義は、外部電磁場 中の系では修正する必要があります 。SI 単位 では、 質量 m 、 電荷 qの 荷電粒子 には、電磁場との相互作用による項が含まれます。 [3] ここで、 A = A ( r , t )は 磁気ベクトルポテンシャル です 。項 q A は運動量の次元を持ちます。 ここで使用されているのは 正準運動量であり、 運動量演算子 とは異なり、 ゲージ不変で はないことに注意してください 。 j = 1 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q A | Ψ | 2 ] {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]} p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla } P ^ = − i ℏ ∇ − q A {\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }
ガウス単位 で は 、 c は 光速 です j = 1 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q c A | Ψ | 2 ] {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}
スピン s 電磁場中の粒子 粒子が スピンを持つ場合、対応する 磁気モーメント を持つため 、スピンと電磁場の相互作用を組み込んだ追加の項を追加する必要があります
ランダウ＝リフシッツの 『理論物理学講座』 によると、電流密度はガウス単位では次のようになります。 [4] j e = q 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q c A | Ψ | 2 ] + μ S c s ℏ ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) {\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}
SI単位では次のようになります。 j e = q 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q A | Ψ | 2 ] + μ S s ℏ ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) {\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}
したがって、確率電流（密度）はSI単位では次のようになります j = j e / q = 1 2 m [ ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) − 2 q A | Ψ | 2 ] + μ S q s ℏ ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) {\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}
ここで、 S は 粒子の スピンベクトルであり、対応する スピン磁気モーメント は μS 、 スピン量子数は s です。
この式が内部構造を持つ粒子に対して有効かどうかは疑わしい。 [ 要出典 ] 中性子 は 電荷がゼロですが、磁気モーメントはゼロではないため、 不可能です（ただし、 この場合はゼロになります）。 スピン量子数s=1/2でμS = 2.7927· μN の陽子や、 s=1で μS =0.8574·μN [ 5] の 重陽子 （ H-2原子核）のような、電荷がゼロではない複合粒子の場合 、数学的には可能ですが、疑わしいです。 μ S q s ℏ {\displaystyle {\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}} ∇ × ( Ψ ∗ S Ψ ) {\displaystyle \nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}
古典力学との関連 波動関数は 複素 指数 （ 極 ）形式でも表すことができます。 ここ で 、R、Sは r と t の実関数です Ψ = R e i S / ℏ {\displaystyle \Psi =Re^{iS/\hbar }}
このように書くと、確率密度は 、確率電流はそれぞれ次のようになります。 ρ = Ψ ∗ Ψ = R 2 {\displaystyle \rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}} j = ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ 2 m i ( R e − i S / ℏ ∇ R e i S / ℏ − R e i S / ℏ ∇ R e − i S / ℏ ) = ℏ 2 m i [ R e − i S / ℏ ( e i S / ℏ ∇ R + i ℏ R e i S / ℏ ∇ S ) − R e i S / ℏ ( e − i S / ℏ ∇ R − i ℏ R e − i S / ℏ ∇ S ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}}
指数関数と R∇R 項 は打ち消されます j = ℏ 2 m i [ i ℏ R 2 ∇ S + i ℏ R 2 ∇ S ] . {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}
最後に、定数を結合して打ち消し、 R 2 を ρ に置き換えると 、 波動関数の位相の空間的変化は、波動関数の確率流束を特徴付けると言われています。流体力学における質量流束のよく知られた式をとると、 j = ρ ∇ S m . {\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.} j = ρ v , {\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,}
ここで は流体の質量密度、 v はその速度（波の 群速度 でもある）です。古典極限では、速度を と関連付けることができます。これは、 ∇ S を 古典運動量 p = m v と等しくすることと同じです が、位置と速度を同時に測定すると不 確定性原理 に違反するため、ある点における物理的な速度または運動量を表すものではありません。この解釈は、直交座標系 で は ∇ S で与えられ 、 S は ハミルトンの主関数である ハミルトン・ヤコビ理論 に適合します。 ρ {\displaystyle \rho } ∇ S m , {\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}},} p = ∇ S {\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}
ド ・ブロイ＝ボーム理論は 、一般に（古典極限だけでなく）速度を と等しくする ため、常に明確に定義されます。これは量子力学の解釈です。 ∇ S m {\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}}}
動機
量子力学における連続方程式 確率流の定義とシュレーディンガー方程式を用いて 連続方程式 を導くことができ、これは 流体力学 や 電磁気学のものと 全く 同じ形をしています 。 [6]
ある波動関数 Ψ について 、次のようにします。
ρ ( r , t ) = | Ψ | 2 = Ψ ∗ ( r , t ) Ψ ( r , t ) . {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).} は 確率密度 （単位体積あたりの確率、 *は 複素共役 を表す ）。すると、
d d t ∫ V d V ρ = ∫ V d V ( ∂ ψ ∂ t ψ ∗ + ψ ∂ ψ ∗ ∂ t ) = ∫ V d V [ − i ℏ ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ + V ψ ) ψ ∗ + i ℏ ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ∗ + V ψ ∗ ) ψ ] = ∫ V d V i ℏ 2 m [ ( ∇ 2 ψ ) ψ ∗ − ψ ( ∇ 2 ψ ∗ ) ] = ∫ V d V ∇ ⋅ ( i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ ) ) = ∫ S d a ⋅ ( i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\psi ^{*}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}\left[\left(\nabla ^{2}\psi \right)\psi ^{*}-\psi \left(\nabla ^{2}\psi ^{*}\right)\right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\end{aligned}}}
ここで、 V は任意の体積、 Sは V の境界である 。
これは 量子力学における確率の 保存則である。積分形は次のように述べられる。
∫ V ( ∂ | Ψ | 2 ∂ t ) d V + ∫ V ( ∇ ⋅ j ) d V = 0 {\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0} ここで 、は確率流または確率流束（単位面積あたりの流れ）である。 j = 1 2 m ( Ψ ∗ p ^ Ψ − Ψ p ^ Ψ ∗ ) = − i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ ) = ℏ m Im ( ψ ∗ ∇ ψ ) {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}
ここで、積分内の項を等しくすると、 確率の 連続方程式が得られる。そして、この積分方程式は 発散定理 を用いて次のように 言い換えることもできる。 ∂ ∂ t ρ ( r , t ) + ∇ ⋅ j = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}
∂ ∂ t ∫ V | Ψ | 2 d V + {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+} S {\displaystyle \scriptstyle S} j ⋅ d S = 0 {\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0} 。 特に、 Ψが 単一粒子を記述する波動関数である場合、前式の第1項の積分（時間微分なし）は、粒子の位置が測定されたときに V内で値を得る確率です。第2項は、確率が体積 V から流れ出る速度です 。全体として、この式は、粒子が V内で測定される確率の時間微分が、確率が V に流れ込む速度に等しいことを示しています 。
体積積分の極限を空間のすべての領域に含めることで、面積分項の無限遠でゼロになる良好な波動関数は、全確率の時間微分がゼロであることを意味します。つまり、正規化条件は保存されます。 [7] この結果は、定義によりベクトルの長さを保存する時間発展演算子のユニタリー性と一致する。
クライン＝ゴルドン場の保存電流 確率(4-)電流は、 ラグランジアン 、クライン ＝ゴルドンラグランジアン密度 に適用される ノイマンの定理から生じます
L = ∂ μ ϕ ∗ ∂ μ ϕ + V ( ϕ ∗ ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{*}\,\partial ^{\mu }\phi +V(\phi ^{*}\,\phi )} 複素スカラー場の 。これは対称変換の下で不変である。
定義すると、 連続方程式を満たす ノイザーカレントが見つかる
。これは 対称性の生成元であり、 単一のパラメータの場合である 。 ϕ : R n + 1 ↦ C \phi :\mathbb {R} ^{n+1}\mapsto \mathbb {C} ϕ ↦ ϕ ′ = ϕ e i α . {\displaystyle \phi \mapsto \phi '=\phi \,e^{i\alpha }\,.} δ ϕ = ϕ ′ − ϕ \delta \phi =\phi '-\phi j μ := d L d q ˙ ⋅ Q r = d L d ( ∂ μ ) ϕ d ( δ ϕ ) d α | α = 0 + d L d ( ∂ μ ) ϕ ∗ d ( δ ϕ ∗ ) d α | α = 0 = i ϕ ( ∂ μ ϕ ∗ ) − i ϕ ∗ ( ∂ μ ϕ ) {\displaystyle j^{\mu }:={\frac {d{\mathcal {L}}}{d{\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}={\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi }}\,{\frac {d(\delta \phi )}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi ^{*}}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\partial ^{\mu }\phi )} Q r {\displaystyle \mathbf {Q} _{r}} d ( δ q ) d α r {\displaystyle {\frac {d(\delta \mathbf {q} )}{d\alpha _{r}}}} α {\displaystyle \alpha }
連続方程式は 満たされている。ただし、確率密度の類似はではなく、 であることに注意してください。この量は負になる可能性があるため、関連する電流密度と 4元電流を 持つ電荷密度として解釈する必要があります 。 ∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0} ϕ ϕ ∗ {\displaystyle \phi \phi ^{*}} ϕ ∗ ∂ t ϕ − ϕ ∂ t ϕ ∗ {\displaystyle \phi ^{*}\partial _{t}\phi -\phi \partial _{t}\phi ^{*}}
ポテンシャルを通る透過と反射 ステップポテンシャル または ポテンシャル障壁 が発生する領域では 、確率電流は透過係数 T および反射係数 R と相関関係にあります。これらは、粒子がポテンシャル障壁から反射する程度、またはポテンシャル障壁を透過する程度を表します。どちらも以下の式を満たします。 ここで、 T および Rは 以下のように定義されます。 ここで 、 j inc 、 j ref 、 j trans はそれぞれ入射確率電流、反射確率電流、透過確率電流であり、縦棒は電流ベクトルの 大きさ を示します。Tと R の関係は 確率保存則から次のように得られます。 T + R = 1 , {\displaystyle T+R=1\,,} T = | j t r a n s | | j i n c | , R = | j r e f | | j i n c | , {\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,} j t r a n s + j r e f = j i n c . {\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}
障壁に 垂直な 単位ベクトル n に関して、これらは同値です。 ここで、絶対値は T と R が負にならないようにするために必要です。 T = | j t r a n s ⋅ n j i n c ⋅ n | , R = | j r e f ⋅ n j i n c ⋅ n | , {\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}
例
平面波 空間を伝播する 平面波 の場合： 確率密度はどこでも一定です （つまり、平面波は 定常状態 です）。しかし、確率電流はゼロではありません（波の絶対振幅の2乗に粒子の速度を掛けた値です）。 Ψ ( r , t ) = A e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}} ρ ( r , t ) = | A | 2 → ∂ | Ψ | 2 ∂ t = 0 {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0} j ( r , t ) = | A | 2 ℏ k m = ρ p m = ρ v {\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }
これは、空間確率密度に明確な時間依存性がない場合でも、粒子が運動している可能性があることを示しています
箱の中の粒子 1次元の空間で長さ L の箱の中の粒子 が領域に閉じ込められている場合 、エネルギー固有状態はであり、 それ以外の場所ではゼロです。関連する確率カレントは 0 < x < L {\displaystyle 0<x<L} Ψ n = 2 L sin ( n π L x ) {\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)} j n = i ℏ 2 m ( Ψ n ∗ ∂ Ψ n ∂ x − Ψ n ∂ Ψ n ∗ ∂ x ) = 0 {\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0} Ψ n = Ψ n ∗ {\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}
離散定義 1次元上の粒子の場合、 ハミルトニアン が成り立ちます。 ここで 、は離散ラプラシアンであり、 S は上の右シフト演算子です。 そして、確率カレントは次のように定義されます 。v は速度演算子 で、に等しく 、 X は上の位置演算子です。V は通常、上の乗算演算子である ため、 次 のように安全に書くことができます。 ℓ 2 ( Z ) , {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),} H = − Δ + V {\displaystyle H=-\Delta +V} − Δ ≡ 2 I − S − S ∗ {\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }} ℓ 2 ( Z ) . {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ).} j ≡ 2 ℑ { Ψ ¯ i v Ψ } , {\displaystyle j\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}iv\Psi \right\},} v ≡ − i [ X , H ] {\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]} ℓ 2 ( Z ) . {\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right).} ℓ 2 ( Z ) , {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),} − i [ X , H ] = − i [ X , − Δ ] = − i [ X , − S − S ∗ ] = i S − i S ∗ . {\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }.}
その結果、次式が成り立ちます。 j ( x ) ≡ 2 ℑ { Ψ ¯ ( x ) i v Ψ ( x ) } = 2 ℑ { Ψ ¯ ( x ) ( ( − S Ψ ) ( x ) + ( S ∗ Ψ ) ( x ) ) } = 2 ℑ { Ψ ¯ ( x ) ( − Ψ ( x − 1 ) + Ψ ( x + 1 ) ) } {\displaystyle {\begin{aligned}j\left(x\right)\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\right\}&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+\left(S^{\ast }\Psi \right)(x)\right)\right\}\\&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\right\}\end{aligned}}}
参考文献 ^ Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (1999). 確率過程：物理学から金融へ . ベルリン：シュプリンガー. p. 84. ISBN 3-540-66560-9 。 ^ McMahon, D. (2008). 量子場の理論 . マグロウヒル. ISBN 978-0-07-154382-8 。 ^ Ballentine, Leslie E. (1990). 量子力学 . Prentice Hall Advanced Reference Series. 第280巻. Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 0-13-747932-8 。 ^ 473ページ、式115.4、 LD Landau、EM Lifschitz著。「理論物理学講座 第3巻 量子力学」 (PDF) ia803206.us.archive.org (第3版) 。 2023年 4月29日 閲覧 。 ^ 「核のスピン特性」 www2.chemistry.msu.edu 。 2023年 4月29日 閲覧 ^ 量子力学、E. Abers著、ピアソン編、Addison Wesley、Prentice Hall Inc、2004年、 ISBN 978-0-13-146100-0 ^ 桜井淳、ジョン・ナポリターノ、ジム (2021) 『現代量子力学 （第3版）』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-108-47322-4 。
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![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a07a7507e21f4fdf5018c5dc4eecc176b9b43f)
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63c28559ed31c360e70e57c4c2678a864a05833)
![{\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a1acfa530c5d80b5e38d0a7410b352aeecc9b0)
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![{\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu_{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi^{*}\mathbf {S} \Psi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de8f54e737454c08a83369b3963039c53011fd3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e446c6fe388f40f7999b28485421d4b7ee447d27)
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4f7e11d5134f1ac0717b2f5b5e01f2c875e561)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\psi ^{*}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}\left[\left(\nabla ^{2}\psi \right)\psi ^{*}-\psi \left(\nabla ^{2}\psi ^{*}\right)\right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233df1ea3334a966b4e8465305b5967198951cfc)
。
![{\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff86da0eb15dec9bdec0748133ae8b8fdd59d7ae)
![{\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-SS^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211c4dc2770f9e25e03f79c49049782850895641)
