製品メトリック

有限個の計量空間の直積上の計量

数学において、積計量（けっさんけい）とは、有限個の計量空間の直積上の計量であり、積位相を計量化するものである。最も有名な積計量は、固定された に対するp積計量である。これは、 n個の部分空間で測定された距離の n ベクトルのpノルムとして 定義される。 ${\displaystyle (X_{1},d_{X_{1}}),\ldots ,(X_{n},d_{X_{n}})}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$

${\displaystyle d_{p}((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\|\left(d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right)\|_{p}}$

このメトリックは sup メトリックとも呼ばれます。 ${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle d_{\infty }((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):=\max \left\{d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right\}.}$

規範の選択

ユークリッド空間においては、L ₂ノルムを用いると積空間におけるユークリッド計量が得られる。しかし、pを他の値に選ぶと位相的に同値な計量空間が得られる。計量空間の圏（リプシッツ写像がリプシッツ定数 1 を持つ）においては、積（圏論的な意味で）は sup 計量を用いる。

リーマン多様体の場合

リーマン多様体 とに対して、上の積計量は次のように定義される。 ${\displaystyle (M_{1},g_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},g_{2})}$ ${\displaystyle g=g_{1}\oplus g_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}\times M_{2}}$

${\displaystyle g(X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})=g_{1}(X_{1},Y_{1})+g_{2}(X_{2},Y_{2})}$

自然な識別のもとで。 ${\displaystyle X_{i},Y_{i}\in T_{p_{i}}M_{i}}$ ${\displaystyle T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2}}$

参考文献

• ミシェル・マリー・デザ; Deza、Elena (2009)、Encyclopedia of Distance、Springer-Verlag、p. 83。
• リー、ジョン（1997）、リーマン多様体、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98322-6。

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