製品の注文

×上の積順序のハッセ図 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

数学において、集合と上の半順序 がそれぞれ与えられたとき、積順序^{[1] [2] [3] [4]}（座標順序^{[5] [3] [6]}または成分順序^{[2] [7]とも呼ばれる）は、}直積上の半順序である。の２つのペア と が与えられたとき、および であるとき、 ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \sqsubseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle A\times B.}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle A\times B,}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}\preceq a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}\sqsubseteq b_{2}.}$

上のもう一つの可能​​な順序は辞書式順序である。これは、との両方が全順序である場合に全順序となる。しかし、2つの全順序の積順序は一般に全順序ではない。例えば、との組み合わせは、順序 の積順序においてそれ自体と比較できない。2つの全順序の辞書式結合は、それらの積順序の線形拡張であり、したがって積順序は辞書式順序の部分関係となる。^[3] ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 0<1}$

積順序を持つ直積は、単調関数を持つ半順序集合のカテゴリにおけるカテゴリ積である。^[7]

積の順序は任意の（おそらく無限個の）直積に一般化される。 が集合であり、任意の が順序付き集合であるとする。すると、 ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$製品の事前注文は、任意のに対して宣言することによって定義され、その 中で ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a}}$ ${\displaystyle i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a},}$

${\displaystyle i_{\bullet }\leq j_{\bullet }}$全ての ${\displaystyle i_{a}\leq j_{a}}$ ${\displaystyle a\in A.}$

すべてが部​​分注文である場合、製品の事前注文も同様です。 ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$

さらに、集合が与えられたとき、直積上の積の順序は^[4]の部分集合の包含順序と同一視することができる。 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}\{0,1\}}$ ${\displaystyle A.}$

この概念は前置順序にも同様に当てはまります。積順序は、格子やブール代数など、より豊富なカテゴリにおけるカテゴリ積でもあります。^[7]

参照

• 二項関係の直積
• 半順序の例
• スター積、半順序を組み合わせる別の方法
• 全順序集合の直積上の順序
• 部分順序の順序和
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間

参考文献

1. Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998)、「4.2 積順序と辞書式順序」、Basic Posets、World Scientific、pp.  64– 78、ISBN 9789810235895
2. Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). 『多変数微積分と解析学講座』 Springer. p. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1。
3. エグバート・ハルツハイム (2006).順序集合. シュプリンガー. pp.  86– 88. ISBN 978-0-387-24222-4。
4. Victor W. Marek (2009).充足可能性数学入門. CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1。
5. Davey & Priestley,格子と秩序入門（第2版）, 2002年, 18ページ
6. Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). Basic Set Theory . American Mathematical Soc. p. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4。
7. ポール・テイラー (1999). 『数学の実践的基礎』 ケンブリッジ大学出版局. pp. 144–145 and 216. ISBN 978-0-521-63107-5。

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