段階的に測定可能なプロセス

数学において、漸進的測定可能性は確率過程理論における性質の一つである。漸進的測定可能性過程は、極めて技術的に定義されるものの、停止した過程が測定可能であることを意味するため重要である。漸進的測定可能性は、適応過程であるという概念よりも厳密に強い性質である。^{[ 1 ]}漸進的測定可能性過程は伊藤積分理論において重要である。

意味

させて

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$確率空間である。
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$測定可能な空間、状態空間である。
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}}$シグマ代数の濾過である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$確率過程である（インデックス セットはの代わりにまたはになる）。 ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$
• ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])}$上のボレルシグマ代数とする。 ${\displaystyle [0,t]}$

過程が漸進的に測定可能である^{[ 2 ]}（あるいは単に漸進的である）とは、すべての時刻において、によって定義される写像が-測定可能であることを意味する。これは、が-適応されていることを意味する。^{[ 1 ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,t]\times \Omega \to \mathbb {X} }$ ${\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

部分集合は、過程が上で定義した意味で漸進的に測定可能であるとき、漸進的に測定可能であるという。ここで、は の指示関数である。このような部分集合全体の集合は上のシグマ代数を形成し、 で表される。過程が前段落の意味で漸進的に測定可能であるのは、それが-測定可能であるときのみである。 ${\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }$ ${\displaystyle X_{s}(\omega ):=\chi _{P}(s,\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$ ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$

プロパティ

• ^{[ 1 ]}によれば、伊藤積分が成り立つ確率過程の空間は ${\displaystyle L^{2}(B)}$ ${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}}$

ブラウン運動 に関して が定義され、における -測定可能なプロセスの同値類の集合です。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$ ${\displaystyle L^{2}([0,T]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$

• 左連続または右連続パスを持つ適応プロセスはすべて漸進的に測定可能である。したがって、càdlàgパスを持つ適応プロセスはすべて漸進的に測定可能である。^{[ 1 ]}
• 測定可能かつ適応されたすべてのプロセスには、徐々に測定可能な変化が起こります。^{[ 1 ]}

参考文献

1. カラツァス、イオアニス;シュリーブ、スティーブン (1991)。ブラウン運動と確率微積分(第 2 版)。スプリンガー。ページ 4–5。ISBN​​ 0-387-97655-8。
2. パスクッチ、アンドレア (2011). 「連続時間確率過程」.オプション価格設定における偏微分方程式とマルチンゲール法. ボッコーニ＆シュプリンガーシリーズ. シュプリンガー. p. 110. doi : 10.1007/978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1. S2CID  118113178 .

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