プロジェクト構築

Projective analogue of the spectrum of a ring

代数幾何学において、Projはアフィンスキームの環スペクトル構成に類似した構成であり、射影空間と射影多様体の典型的な性質を持つオブジェクトを生成します。この構成は関数的ではありませんが、スキーム理論における基本的なツールです。

この記事では、すべての環は可換であり、単位元を持つものと仮定します。

段階的リングの投影

セットとしてプロジェクト

を可換次数環とする。ここで は次数分解に対応する直和分解である。の無関係イデアルは、正次数の元のイデアルである。イデアルが同次元によって生成される場合、それは同次イデアルであると言う。すると、集合として、は簡潔にするためにと書くこともある。 ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

位相空間としての投影

閉集合を次の形式を持つものと定義することにより、ザリスキー位相と呼ばれる位相を定義することができる。 ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

ここで はの同次イデアルである。アフィンスキームの場合と同様に、が 上の位相の閉集合を形成することはすぐに検証される。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle X}$

実際、もしがイデアル族ならば、となり、もし添え字集合Iが有限ならば、となる。 ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$ ${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

同様に、開集合を出発点として定義することもできる。

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

一般的な省略法はと表記することであり、ここで はによって生成されるイデアルである。任意のイデアル に対して、集合と は相補的であるため、前述と同じ証明により、集合 が上の位相を形成することが示される。このアプローチの利点は、集合 （ は環 のすべての同次元にわたる）がこの位相の基底を形成することである。この基底は の解析に不可欠なツールであり、環 のスペクトルに対する類似の事実が同様に不可欠であるのと同様である。 ${\displaystyle D(Sf)}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle Sf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

スキームとしてのプロジェクト

また、上に層を構築します。これはアフィンの場合と同様に「構造層」と呼ばれ、スキームになります。スペック構築の場合と同様に、多くの方法があります。最も直接的な方法は、古典的な代数幾何学における射影多様体上の正則関数の構築を強く示唆するもので、次のようになります。の任意の開集合（定義によりを含まないの同次素イ​​デアルの集合）に対して、環をすべての関数の集合として 定義します。 ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

（ここで は同じ次数の同次元の分数からなる分数環の部分環を表す）の各素イデアルに対して、 ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle S_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle f(p)}$は の要素です。 ${\displaystyle S_{(p)}}$
2. の同じ次数の同次元と同質元を含む開部分集合が存在し、の各素イデアルに対して次のようになります。 ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$
   • ${\displaystyle t}$は存在しません; ${\displaystyle q}$
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

定義から、 は上の環の層を形成することが直ちにわかり、ペア ( 、) は実際にスキームであることが示されます (これは、各開部分集合が実際にアフィン スキームであることを示すことによって実現されます)。 ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle D(f)}$

段階的モジュールに関連付けられた層

上記の構成におけるの本質的な性質は、の各素イデアルに対して局所化を形成できることであった。 この性質は上の任意の次数付き加群にも備わっているため、前の節では適切な小さな修正を加えることで、上の -加群の任意のそのような層（ と表記） を構成する。 この層は構成により準コヒーレントである。 が有限個の次数の元（例えば、多項式環やその同次商）によって生成される場合、 上のすべての準コヒーレント層はこの構成により次数付き加群から生じる。^[1]対応する次数付き加群は一意ではない。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

ねじれたセルの束

次数付き加群に付随する層の特殊なケースは、異なる次数を持つ を 自身とするときである。すなわち、の次数元をの次数元とすると、 と はと表記される。すると、上の準コヒーレント層（または単に と表記）が得られ、これはセールのねじれ層と呼ばれる。 が実際に可逆層 であることは確認できる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$ ${\displaystyle M=S(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

の有用性の一つは、の構築において零次分数に渡った際に失われたの代数的情報を回復することである。環 A のSpec Aの場合、構造層の大域切断はA自身を形成するが、ここでは の大域切断はの零次元のみを形成する。定義すると ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

すると、それぞれはに関する次数情報（ と表記）を含み、これらを合わせると失われたすべての次数情報が含まれる。同様に、任意の次数付き-加群の層に対して、次のように定義する。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

そして、この「ねじれた」層には に関する次数情報が含まれることが期待されます。特に、 が次数付き - 加群に関連付けられた層である場合、 にも に関する失われた次数情報が含まれることが期待されます。これは、誤ってはありますが、 がこれらの層から実際に再構成できることを示唆しています。つまり、 が多項式環である場合（以下参照）には、このことが当てはまります。この状況は、Spec 関手が局所環空間のカテゴリにおいて大域切断関手に随伴するという事実と対照的です。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$$ ${\displaystyle S}$

射影的n-空間

が環であるとき、射影n空間を次の式で定義する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

多項式環の次数は、各 が1次、 のすべての元が0次とすることで定義されます。これを上記の の定義と比較すると、 の切断は実際には自身によって生成される線型同次多項式であることがわかります。これは の別の解釈、すなわち の「座標」層として解釈できることを示唆しています。なぜなら は文字通り射影 -空間の座標だからです。 ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle n}$

プロジェクトの例

アフィン直線上に投影する

基環を とすると、 はアフィン直線への標準射影写像を持ち、その繊維は、曲線が節曲線に退化する点を除いて楕円曲線である。したがって、の滑らかな写像でもあるファイバー化が存在する（これはヤコビアン基準を用いて確認できる）。 ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$ $${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$ ${\displaystyle \lambda =0,1}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$

射影超曲面と多様体

射影超曲面は、 カラビ・ヤウ多様体でもあるフェルマーの五次三次多様体の一例である。射影超曲面に加えて、 -変数の同次多項式系によって切り出された任意の射影多様体は、次数代数のproj構成を用いて射影スキームに変換することができ、射影多様体を射影スキームに埋め込むことができる。 ${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$ $${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$ ${\displaystyle (n+1)}$ $${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$

重み付き射影空間

重み付き射影空間は、変数が非標準次数である多項式環を用いて構成できます。例えば、重み付き射影空間は、重みが で重みが 2 である環のをとることに相当します。 ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{2}}$

二段階リング

proj 構成は二次階数環と多次階数環に拡張されます。幾何学的には、これは射影スキームの積を取ることに相当します。たとえば、各生成子 の次数を持つ次数環が与えられます。すると、上のこれらの代数のテンソル積は二次階数代数を与え、ここで は重みを持ち、 は重みを持ちます。次に、 proj 構成は を与え、これは射影スキームの積です。次元を次元と見なせる全次数代数を取ることにより、このようなスキームを射影空間に埋め込むことができます。これは、の次の次数部分がモジュールであることを意味します。さらに、このスキームには二次階数層が付属するようになりました。これは層のテンソル積であり、およびは、可換代数のテンソル積図からこれらの代数を注入することによって得られる標準的な射影です。 $${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ $${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$ $${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a+b)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{\bullet }}$ $${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$ ${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$ $${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$ $${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$

グローバルプロジェクト

Proj 構成の一般化は、環Sを代数層に置き換え、結果として、環の Proj のファイブレーションと考えられるようなスキームを生成する。この構成は、例えば、基底スキーム上の射影空間バンドルを構成する際によく用いられる。

仮定

形式的には、Xを任意のスキームとし、Sを次数付き-代数の層（その定義は局所環空間上の-加群の定義に似ている）とする。つまり、直和分解を持つ層である。 ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

ここで、それぞれは -加群であり、 Xの任意の開部分集合Uに対して、S ( U )は-代数であり、その結果得られる直和分解は ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

は、この代数を環として次数付けしたものである。ここでは と仮定する。さらに、 Sは準連接層であるという仮定も立てる。これは、異なる開集合上の切断に関する「無矛盾性」の仮定であり、構成を進める上で必要となる。 ${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$

工事

この設定では、 Xの任意の開アフィンUに対して、Xへのスキームと「射影」マップpを構築できます。 ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

この定義は、まず各開アフィンUに対してスキームを定義し、次のように設定することで構成することを示唆している。 ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

と写像 を描き、これらのデータが2つの開アフィンUとVの各交点「上」で貼り合わせて、と定義するスキームYを形成できることを示します。それぞれを、をS ( U )に次数0の元として含めることに対応する写像と定義すると、 の必要な整合性が得られ、一方 自体の整合性はSの準コヒーレンス仮定から導かれることは難しくありません。 ${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

ねじれた束

Sが連結層であり、上で局所的に S を生成する（つまり、の点xにおける層Sの茎（これは次数 0 の元が環を形成する次数付き代数である）に移ると、次数 1 の元が 上で有限生成モジュールを形成し、その上の代数として茎も生成する）という追加の特性を持つ場合、さらなる構成を行うことができます。各開アフィンU上で、 Proj S ( U ) は可逆層O(1)を持ち、先ほど行った仮定により、これらの層は上記と同様に接着できることが保証されます。 上の結果として得られる層もO (1)で示され、 上では環の Proj 上のねじり層とほぼ同じ目的を果たします。 ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

準コヒーレント層の射影

をスキーム 上の準連接層とする。対称代数の層は、自然に次数 1 の元によって生成される次数付き - 加群の準連接層である。結果として得られるスキームは と表記される。が有限型である場合、その標準射は射影射である。^[2] ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

任意の に対して、 上の上記の射影のファイバーは、上のベクトル空間の双対に関連付けられた射影空間です。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$ ${\displaystyle k(x)}$

が によって生成され、が有限型であるような次数付き - 加群の準連接層である場合、 はの閉部分スキームであり、 は 上に射影的である。実際、射影的の閉部分スキームはすべてこの形式である。^[3] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

射影空間束

特別な場合として、が局所的に階数自由であるとき、相対次元上の射影バンドルが得られる。実際、 Xの開アフィンによる開被覆をとり、これらのそれぞれに制限されるとき、がA上自由であるとき、 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

であり、したがって射影空間束である。これらの射影束の部分スキームとして、ワイエルシュトラスの楕円曲線族のように、多くの多様体の族を構成することができる。詳細は本文を参照のこと。 ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

グローバルプロジェクトの例

大域的射影はレフシェッツ束 を構築するために用いることができる。例えば、と は次数 k の斉次多項式である。のイデアル層を考え、この商代数層の大域的射影を構築することができる。これは射影写像 として明示的に記述することができる。 ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$

もう 1 つの応用は、一貫したイデアルの層に関するスキームの爆発です。

参照

• 射影空間
• 射影空間の代数幾何学
• 投影化

参考文献

1. Ravi Vakil (2015). 代数幾何学の基礎(PDF) .、系15.4.3。
2. EGA、II.5.5。
3. EGA、II.5.5.1。

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的計算手法: II. 射影クラスの世界的手法の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。８．土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

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