射影的に拡張された実数直線

実解析において、射影的に拡張された実数直線（実数直線の一点コンパクト化とも呼ばれる）は、実数集合を点 $\infty$ で表す拡張である。^[1]つまり、これは標準的な算術演算が可能な範囲で拡張された集合であり、 ^[1]時には^[2]またはで表される。追加された点は、実数直線の両端に隣接するものと考えられるため、無限大点と呼ばれる。より正確には、無限大点は、絶対値が増加し無制限であるような実数列のあらゆる極限である。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ $\mathbb {R} ^{*}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

$射影的に拡張された実数直線は、 3点に特定の値$ $0、1$ 、 $\infty$ が割り当てられた実射影直線と同一視される。射影的に拡張された実数直線は、 $+\infty$ と $-\inftyが異なる$ アフィン的に拡張された実数直線とは異なる。

ゼロで割る

ほとんどの数学的数値モデルとは異なり、この構造ではゼロ除算が可能です。

{\frac {a}{0}}=\infty

非ゼロのaに対して。特に、 $1 / 0 = \infty$ および $1 / \infty = 0$ であるため、この構造では逆関数 $1 / x は$ 全関数になります。 ^[1]ただし、この構造は体ではなく、2項算術演算はどれも全関数ではありません。たとえば、逆数が全関数であっても、 $0 \cdot \inftyは未定義です。$ ^[1]ただし、これには使用可能な解釈があります。たとえば、幾何学では、垂直線の傾きは $\infty$ です。^[1]

実数直線の延長

射影的に拡張された実数直線は、慣例的に $\infty$ と呼ばれる単一の点を追加することによって、リーマン球面が複素数体を拡張するのと同じ方法で実数体を拡張します。

対照的に、アフィン拡張実数直線（実数直線の2点コンパクト化とも呼ばれる）は $、+\infty$ と $-\infty$ を区別します。

注文

順序関係はに意味のある形で拡張することはできない。数 $a$ $\neq \inftyが与えられたとき、$ $a$ $> \infty$ あるいは $a$ $< \infty$ を定義する説得力のある議論は存在しない。 $\infty は$ 他のどの要素とも比較できないため、においてこの関係を維持する意味はない。^[2]しかし、における順序はの定義において用いられる。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

幾何学

$\inftyが$ 他の点と何ら変わらない点であるという考えの根底にあるのは、実射影直線が同質空間、つまり円と同相であるという事実です。例えば、2 × 2 の実可逆行列の一般線型群は、それに対して推移作用を持ちます。この群作用は、線型分数変換の分母が $0$ のとき、像は $\infty であるという理解のもと、$ メビウス変換（線型分数変換とも呼ばれる）によって表現できます。

作用の詳細な解析により、任意の3つの異なる点P、Q、Rに対して、 Pを0、Qを1、Rを $\infty$ とする線型分数変換が存在することが示される。つまり、線型分数変換群は実射影直線上で三重推移的である。これは、複比が不変であるため、4組の点には拡張できない。

点はの 1次元線形部分空間と1 対 1 で対応しているので、射影直線という用語が適切です。 $\mathbb {R} ^{2}$

算術演算

算術演算の動機

この空間における算術演算は、実数における同じ演算の拡張である。新しい定義の動機は、実数関数の極限にある。

定義されている算術演算

のサブセットに対する標準的な演算に加えて、以下の演算が定義されているが、示されている例外がある: ^[3]^[2] $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

{\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}

定義されていない算術演算

以下の式は実関数の極限を考慮することで導き出すことはできず、また、これらの式の定義では、定義されたすべてのケースにおいて標準的な代数的性質の記述をそのままの形で保持することはできない。^[a]そのため、これらは未定義のままである。

{\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}

指数関数はまで拡張できない。^[2] $e^{x}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

代数的性質

以下の等式は、両辺が未定義であるか、両辺が定義されていて等しいかのいずれかを意味します。これは、任意の $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

関係する式が定義されているときはいつでも、以下の式が成り立ちます。 $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}

一般に、に有効なすべての算術法則は、出現するすべての式が定義されている場合はいつでもにも有効です。 $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

区間と位相

区間の概念はまで拡張できる。しかし、は順序付き集合ではないため、区間の意味は若干異なる。閉区間の定義は以下の通りである（と仮定する）：^[2]^[^{追加の引用が必要}^] ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$

{\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}

端点が等しい場合を除いて、対応する開区間と半開区間は、それぞれの端点を除去することによって定義されます。この再定義は、区間演算において0を含む区間で割る際に役立ちます^。[2]

${\widehat {\mathbb {R} }}$ 空集合も区間であり、任意の一点を除外したものも同様である。^[b] ${\widehat {\mathbb {R} }}$

開区間を基底として用いることで上の位相が定義される。基底として十分なのはにおける有界開区間と、となるすべてのに対する区間である。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ $a,b\in \mathbb {R}$ $a<b.$

前述の通り、位相は円に同相である。したがって、（与えられた同相写像に対して）この円上の通常の計量（直線または円に沿って測ったもの）に対応して計量化可能である。通常の計量の拡張となる計量は存在しない。 $\mathbb {R} .$

区間演算

区間演算はからまで拡張されます。区間に対する算術演算の結果は常に区間となります。ただし、二項演算を伴う区間に互換性のない値が含まれており、その結果が未定義になる場合は除きます。^[c]特に、任意のに対して、以下が成り立ちます。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,

どちらの区間にも $0$ と $\infty$ が含まれているかどうかは関係ありません。

微積分

微積分のツールはの関数を解析するために使用できます。定義はこの空間の位相に基づいています。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$

近隣地域

ととします。 $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$

$A が$ $x$ を含む開区間 $B$ を含む場合、 $Aは$ $x$ の近傍です。
となる実数 $y$ が存在し、 $A$ に半開区間が含まれる場合、 $Aは$ $x$ の右側近傍です。 $y\neq x$ $[x,y)$
となる実数 $y$ が存在し、 $A$ に半開区間が含まれる場合、 $Aは$ $x$ の左側近傍です。 $y\neq x$ $(y,x]$
$Aが$ $xの$ パンクチャー近傍（それぞれ右側または左側のパンクチャー近傍）である場合、 A は $x$ の近傍（それぞれ右側または左側の近傍）です。 $x\not \in A,$ $A\cup \{x\}$

制限

限界の基本的な定義

ととします。 $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

$x$ がpに近づくときのf ( x )の極限はLであり、

\lim _{x\to p}{f(x)}=L

のとき、かつそのときに限り、 Lの任意の近傍Aに対して、 pの穴あき近傍Bが存在し、それによりが成り立ちます。 $x\in B$ $f(x)\in A$

x が右（左）からpに近づくときのf ( x )の片側極限はLであり、次のように表される。

\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),

Lの任意の近傍Aに対して、 pの右側（左側）の穴あき近傍Bが存在し、 $x\in B$ $f(x)\in A.$

との両方が成り立つ場合のみ、であることが示されます。 $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$

限界との比較 $\mathbb {R}$

上記の定義は、実関数の極限の通常の定義と比較することができます。以下の文において、最初の極限は上記の定義と同じであり、2番目の極限は通常の意味です。 $p,L\in \mathbb {R} ,$

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ は以下と同等である $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ は以下と同等である $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ は以下と同等である $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ は以下と同等である $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ は以下と同等である $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ は以下と同等である $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

限界の拡張定義

とする。すると、pがAの極限点となるのは、 pのあらゆる近傍に、 $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ $y\in A$ $y\neq p.$

p をAの極限点とする。 x がAを通ってpに近づくときのf ( x )の極限がLとなる必要十分条件は、 Lの任意の近傍Bに対してpの穴あき近傍Cが存在し、したがって次式が成り立つことである。 $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ $x\in A\cap C$ $f(x)\in B.$

これは、上の部分空間位相に適用される連続性の通常の位相的定義と、fの制限に対応する。 $A\cup \lbrace p\rbrace ,$ $A\cup \lbrace p\rbrace .$

連続

機能

f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.

は $p$ で連続であり、かつ $fが$ $p$ で定義され、

\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).

関数 $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$

f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}

$がA$ で連続であることと、任意のに対して、 $fが$ $p$ で定義され、 $A$ を通って $x が$ $p$ に向かうときのの極限が $p\in A$ $f(x)$ $f(p).$

すべての有理関数 $P (x)/ Q (x)$ $（ P$ と $Q$ は多項式）は、一意に、からまで連続する関数に延長できます。特に、多項式関数の場合がこれに該当し、多項式関数は定数でない場合はで値を取ります。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ $\infty$ $\infty ,$

また、正接関数を拡張して $\tan$

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,

は連続であるが、連続である関数までさらに延長することはできない。 $\tan$ $\mathbb {R} ,$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

連続な基本関数の多くは、連続な関数に延長することはできない。これは、例えば指数関数やすべての三角関数に当てはまる。例えば、正弦関数は連続だが、連続にできない。上で見たように、正接関数は連続な関数に延長できるが、連続にできない。 $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ $\mathbb {R} ,$ $\infty .$ $\mathbb {R} ,$ $\infty .$

余域をに拡張すると連続になる不連続関数の多くは、余域をアフィン拡張実数系に拡張しても不連続のままです。これは関数の場合です。一方、では連続ででは不連続である関数の中には、定義域をに拡張すると連続になるものもあります。これは逆正接の場合です。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}.$ $x\mapsto {\frac {1}{x}}.$ $\mathbb {R}$ $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}.$

射影範囲として

実射影直線を実射影平面の文脈で考えると、デザルグの定理の帰結は暗黙のうちに導かれる。特に、点間の射影調和共役関係の構築は、実射影直線の構造の一部である。例えば、任意の2点が与えられたとき、無限遠点はそれらの中点の射影調和共役である。

射影性は調和関係を保存するので、実射影直線の自己同型を形成する。射影性は、環上の射影直線の一般的な構成に従って、実数が環を形成するため、代数的にはホモグラフィとして記述される。これらをまとめて群PGL(2, R )を形成する。

射影性はそれ自体の逆元であり、反転と呼ばれます。双曲反転には2つの不動点があります。これらのうち2つは、実射影直線上の基本的な算術演算、すなわち負負演算と逆数演算に対応します。実際、0と∞は負負演算で固定され、1と-1は逆数演算で固定されます。

参照

注記

^ ただし、で定義された演算に制限された場合、すべての代数的特性が標準規則に解決される拡張が存在します。ホイール理論を参照してください。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$
^ すべてのに対してかつとなるような補集合の一貫性が必要な場合（ただし、両側の区間は定義済み）、とを除くすべての区間はこの表記法を使用して自然に表現でき、はと解釈され、などの等しい端点を持つ半開区間は未定義のままになります。 $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ $\varnothing$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $(a,a)$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ $(a,a]$
^ たとえば、間隔の比は $両方の間隔に0 を$ 含み、 $0 / 0$ は未定義であるため、これらの間隔の除算の結果は未定義です。 $[0,1]/[0,1]$

参考文献

^ abcde NBU, DDE (2019-11-05). PG MTM 201 B1. 北ベンガル大学遠隔教育局.
^ abcdef Weisstein, Eric W. 「Projectively Extended Real Numbers」. mathworld.wolfram.com . 2025年7月13日閲覧。
^ Lee, Nam-Hoon (2020-04-28). 幾何学：等長性から特殊相対性理論へ. Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4。

[4] ただし、で定義された演算に制限された場合、すべての代数的特性が標準規則に解決される拡張が存在します。ホイール理論を参照してください。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$

[5] すべてのに対してかつとなるような補集合の一貫性が必要な場合（ただし、両側の区間は定義済み）、とを除くすべての区間はこの表記法を使用して自然に表現でき、はと解釈され、などの等しい端点を持つ半開区間は未定義のままになります。 $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ $\varnothing$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $(a,a)$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ $(a,a]$

[6] たとえば、間隔の比は $両方の間隔に0 を$ 含み、 $0 / 0$ は未定義であるため、これらの間隔の除算の結果は未定義です。 $[0,1]/[0,1]$

[:0-1] NBU, DDE (2019-11-05). PG MTM 201 B1. 北ベンガル大学遠隔教育局.

[:1-2] Weisstein, Eric W. 「Projectively Extended Real Numbers」. mathworld.wolfram.com . 2025年7月13日閲覧。

[3] Lee, Nam-Hoon (2020-04-28). 幾何学：等長性から特殊相対性理論へ. Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4。