Elapsed time between two events as measured by a clock that passes through both events
相対性理論 において 、 時間的 世界線に沿った 固有時 （ラテン語の proprius （ 独自の ）に由来）は、その線に沿って動く 時計 によって測定される 時間 として定義される 。世界線上の2つの 事象 間の 固有時間隔 は、座標に依存しない固有時の変化であり、 ローレンツスカラー である。 [1] 固有時自体は任意の加法定数、すなわち世界線上の何らかの事象における時計の設定によってのみ固定されるため、この間隔が重要な量となる。
二つの出来事の間の適切な時間間隔は、出来事そのものだけでなく、それらを結ぶ世界線、ひいては出来事間の時計の運動にも依存する。これは世界線上の積分（ ユークリッド空間 における 弧の長さに類似）として表される。加速された時計は、同じ二つの出来事の間で加速されていない（ 慣性 ）時計が計測する経過時間よりも、二つの出来事間の経過時間を短く計測する 。 双子のパラドックス はこの効果の一例である。 [2]
濃い青色の縦線は、イベント E 1 と E 2間の座標時間間隔 t を測定する慣性観測器を表しています。赤い曲線は 、同じ2つのイベント間の固有時間間隔 τ を測定する時計を表しています。 慣例上、固有時は通常、ギリシャ文字の τ （ タウ）で表され、 t で表される 座標時 と区別されます 。座標時とは、観測者が独自の方法で事象に時間を割り当てることによって測定される、2つの事象間の時間です。 特殊相対性理論 における慣性観測者の特殊なケースでは、時間は観測者の時計と観測者による同時性の定義を用いて測定されます。
固有時の概念は1908年に ヘルマン・ミンコフスキー によって導入され、 [3] ミンコフスキー図 の重要な特徴となっている 。
固有時の正式な定義は、時計、観測者、あるいは試験粒子を表す 時空を 通る経路と、 その時空の 計量構造を記述することを含む。固有時とは、4次元時空における 世界線の 擬リーマン 弧長である 。数学的観点からは、座標時はあらかじめ定義されていると仮定され、座標時間の関数として固有時を表す式が必要となる。一方、固有時は実験的に測定され、慣性時計の固有時に基づいて座標時が計算される。
固有時間は、時空を介した時間的経路においてのみ定義可能であり、その経路には物理的な定規や時計が付随する。時空的経路に対する同様の形式論は、固有時間ではなく 固有距離 の測定につながる。光的経路においては固有時間の概念は存在せず、時空間隔がゼロであるため未定義である。代わりに、時間とは無関係な任意の アフィンパラメータ を導入する必要がある。 [4] [5] [6] [7] [8] [9]
特殊相対論では 計量シグネチャの 時間的 慣例 により 、 ミンコフスキー計量は によって定義され 、任意のローレンツ フレームの座標は によって
定義されます 。 η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) , {\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},} ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , x , y , z ) {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}
このようなフレームでは、2つのイベント間の微小間隔（ここでは時間的であると仮定）は次のように表現されます。
d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 = η μ ν d x μ d x ν , {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },} （1）
は粒子の軌道上の点を区切る（時計{?}を考えてみよう）。同じ間隔を座標で表すことができ、各瞬間に粒子は 静止して いる。このようなフレームは瞬間静止フレームと呼ばれ、ここでは各瞬間の座標で表す 。間隔の不変性（異なる時間に取られた瞬間静止フレームはローレンツ変換によって関連付けられる）により 、瞬間静止フレームでは粒子またはフレーム自体が静止しているため、つまり と書くことができる 。間隔は時間的（つまり ）と仮定されるため、上記の平方根を取ると [10] または が
得られる 。τ についてのこの微分表現から 、適切な時間間隔は次のように定義される。 ( c τ , x τ , y τ , z τ ) {\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })} d s 2 = c 2 d τ 2 − d x τ 2 − d y τ 2 − d z τ 2 = c 2 d τ 2 , {\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},} d x τ = d y τ = d z τ = 0 {\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0} d s 2 > 0 {\displaystyle ds^{2}>0} d s = c d τ , {\displaystyle ds=cd\tau ,} d τ = d s c . {\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}
Δ τ = ∫ P d τ = ∫ P d s c . {\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {ds}{c}}.} （2）
ここで、 P はある初期イベントからある最終イベントまでの世界線であり、最終イベントは初期イベントよりも時計に従って遅く発生するという要件によってイベントの順序が固定されます。
（１） と区間不変性 を用いると、次のように書ける。 [11]
Δ τ = ∫ P 1 c η μ ν d x μ d x ν = ∫ P d t 2 − d x 2 c 2 − d y 2 c 2 − d z 2 c 2 = ∫ a b 1 − 1 c 2 [ ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2 ] d t = ∫ a b 1 − v ( t ) 2 c 2 d t = ∫ a b d t γ ( t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}\\&=\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\frac {dt}{\gamma (t)}},\end{aligned}}} （3）
ここで、 は世界線 P の任意の全単射パラメータ化で
あり、 P
の端点 とa < bを与える。v ( t )は座標時刻tにおける座標速度。x ( t ) 、 y ( t ) 、 z ( t ) は 空間 座標 で ある 。 最初 の 式は 明らかに ローレンツ不変である。固有時と固有時区間は定義により座標に依存しないため、これらはすべてローレンツ不変である。 ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) : [ a , b ] → P {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P} ( x 0 ( a ) , x 1 ( a ) , x 2 ( a ) , x 3 ( a ) ) and ( x 0 ( b ) , x 1 ( b ) , x 2 ( b ) , x 3 ( b ) ) {\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}
t 、 x 、 y 、 z がパラメータ λ によってパラメータ化されている 場合 、これは次のように表すことができます。 Δ τ = ∫ ( d t d λ ) 2 − 1 c 2 [ ( d x d λ ) 2 + ( d y d λ ) 2 + ( d z d λ ) 2 ] d λ . {\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}
粒子の運動が一定であれば、式は次のように簡略化されます。 ここでΔは、初期事象と最終事象の間の座標変化を表します。特殊相対論における定義は、以下のように一般相対論に直接一般化されます。 Δ τ = ( Δ t ) 2 − ( Δ x ) 2 c 2 − ( Δ y ) 2 c 2 − ( Δ z ) 2 c 2 , {\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}
一般相対論では 固有時間は一般相対論 において次のように 定義される： 局所座標 x μ を持ち計量テンソル g μν を備えた 擬リーマン多様体 が与えられたとき、 時間的経路 Pに沿った2つの事象間の固有時間間隔 Δτ は 線積分 [12] で与えられる。
Δ τ = ∫ P d τ = ∫ P 1 c g μ ν d x μ d x ν . {\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.} （4）
この式は、当然のことながら、座標変換に対して不変である。これは（適切な座標において）平坦時空 における特殊相対論の式に帰着する 。
特殊相対論においてx 1 , x 2 , x 3 = constと なるような座標を選べるのと同様に 、一般相対論でも同様にできる。そして、これらの座標において、 [13] Δ τ = ∫ P d τ = ∫ P 1 c g 00 d x 0 . {\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}
この式は定義 (2) を一般化したものであり、定義としてとらえることができる。そして、区間不変性を用いると、式 (4)は式 (3)が (2) から導かれるの と同様に導かれる 。ただし、ここでは任意の座標変更が許されている。
特殊相対論における例
例1：双子のパラドックス 双子のパラドックスの シナリオでは 、観測者 Aが A 座標(0,0,0,0)と(10 years, 0, 0, 0)の間を慣性的に移動するとします。これは、 Aが A 座標時間で10年間 そこに留まること を意味します。Aにとって 、 2つの事象間 の適切な時間間隔は、 x = y = z = 0 {\displaystyle x=y=z=0} Δ τ A = ( 10 years ) 2 = 10 years . {\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}
したがって、特殊相対性座標系で「静止している」ということは、固有時間と座標時間が同じであることを意味します。
もう一人の観測者 Bが x 方向に(0,0,0,0)から A 座標時間 で5年、0.866 ℃ で(5年、4.33光年、0, 0)まで移動するとします。B は そこで加速し、反対方向に A 座標時間でさらに5年かけて(10年、0, 0, 0)まで移動します。移動の各区間における適切な時間間隔は A 座標を用いて計算でき、以下のように与えられます。 Δ τ l e g = ( 5 years ) 2 − ( 4.33 years ) 2 = 6.25 y e a r s 2 = 2.5 years . {\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}
したがって、観測者Bが (0,0,0,0)から(5年、4.33光年、0,0)まで移動し、その後(10年、0,0,0)まで移動する のに必要な総固有時間は、 Δ τ B = 2 Δ τ l e g = 5 years . {\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}
このように、固有時間方程式は 時間の遅れ 効果を組み込んでいることが示されています。実際、SR（特殊相対論）時空において物体が速度で 時間 だけ移動するとき 、経験する固有時間間隔は であり、 これがSR時間の遅れの公式です。 v {\displaystyle v} Δ T {\displaystyle \Delta T} Δ τ = Δ T 2 − ( v x Δ T c ) 2 − ( v y Δ T c ) 2 − ( v z Δ T c ) 2 = Δ T 1 − v 2 c 2 , {\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}
例2: 回転ディスク 慣性観測者の周りを回転する観測者は、加速座標系に存在します。このような観測者の場合、 以下に示すように、固有時間方程式の増分形（ ）と、その軌跡をパラメータ化した記述が必要です。 d τ {\displaystyle d\tau }
xy 平面内を座標角速度 で 回転する円板上に観測者 C がいるとする。観測者C は円板の中心から 距離 rに位置し、円板の中心は x = y = z = 0にある。観測者 C の軌跡 は で与えられる。 ここで は現在の座標時刻である。rと が定数で の場合 、 増分 固有 時 公式は次のようになる。 ω {\displaystyle \omega } ( T , r cos ( ω T ) , r sin ( ω T ) , 0 ) {\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)} T {\displaystyle T} ω {\displaystyle \omega } d x = − r ω sin ( ω T ) d T {\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT} d y = r ω cos ( ω T ) d T {\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT} d τ = d T 2 − ( r ω c ) 2 sin 2 ( ω T ) d T 2 − ( r ω c ) 2 cos 2 ( ω T ) d T 2 = d T 1 − ( r ω c ) 2 . {\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}
したがって、時空上の任意の点から一定距離 r だけ離れ、一定角速度 ω で座標時刻 と時刻の間で回転する観測者にとって 、経験する固有時間は
回転する観測者の 場合と同じになります 。この結果は直線運動の例と同じであり、固有時間の公式の積分形の一般的な適用を示しています。 T 1 {\displaystyle T_{1}} T 2 {\displaystyle T_{2}} ∫ T 1 T 2 d τ = ( T 2 − T 1 ) 1 − ( r ω c ) 2 = Δ T 1 − v 2 / c 2 , {\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},} v = r ω {\displaystyle v=r\omega }
一般相対性理論の例 SRと一般相対論（GR）の違いは、GRではミンコフスキー計量だけでなく、アインシュタイン 場の方程式 の解であれば任意の計量を使用できることです。曲がった時空における慣性運動はSRのような単純な表現ができないため、常に固有時間方程式の線積分形を使用する必要があります。
例3: 回転するディスク（再び） ミンコフスキー計量に対して適切な 座標変換を 行うと、回転円板上の物体が同じ空間座標位置に留まる座標が生成される。新しい座標は 、 r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} θ = arctan ( y x ) − ω t . {\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}
t 座標 と z 座標は変化しない。この新しい座標系では、増分固有時間方程式は d τ = [ 1 − ( r ω c ) 2 ] d t 2 − d r 2 c 2 − r 2 d θ 2 c 2 − d z 2 c 2 − 2 r 2 ω d t d θ c 2 . {\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}
r 、 θ 、 z は 時間に対して一定である ため、これは 次のように簡略化され、これは例 2 と同じです。 d τ = d t 1 − ( r ω c ) 2 , {\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}
回転する円盤から外れ、円盤の中心に対して慣性静止し、円盤の中心から距離 R にある物体があるとする。この物体の 座標運動は dθ = − ω dt で表され 、これは回転する観測者から見て慣性静止物体が逆回転する様子を表す。このとき、固有時間方程式は次のように表される。 d τ = [ 1 − ( R ω c ) 2 ] d t 2 − ( R ω c ) 2 d t 2 + 2 ( R ω c ) 2 d t 2 = d t . {\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}
したがって、慣性静止観測者にとって、座標時間と固有時間は、相対性理論の内部自己一貫性に要求され、予想されたとおり、再び同じ速度で経過することがわかります。 [14]
例4：シュワルツシルト解 – 地球上の時間 シュワルツ シルト解は 、増分固有時間方程式を持ち 、 d τ = ( 1 − 2 m r ) d t 2 − 1 c 2 ( 1 − 2 m r ) − 1 d r 2 − r 2 c 2 d ϕ 2 − r 2 c 2 sin 2 ( ϕ ) d θ 2 , {\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}
t は地球から遠く離れた慣性静止状態の時計で測定された時間であり、 r は放射座標（実質的には地球の中心からの距離）である。 ɸ は緯度座標であり、 北極からの角度を ラジアン で表したものです 。 θ は経度座標で、地球表面の経度に似ていますが、地球の自転とは無関係です 。 これもラジアンで表されます。 m は 地球の 幾何化された質量、 m = GM / c 2 、 固有時間関係の使用法を説明するために、ここでは地球に関するいくつかのサブ例を使用します。
地球 の場合 、 M = 5.9742 × 10 24 kg 、つまり m = 4.4354 × 10 −3 m です。北極に立っているときは、 （つまり、地球の表面に沿って上下に移動していない）と仮定できます。この場合、シュワルツシルト解の固有時方程式は となります ） として用いると、次の式が得られます。 d r = d θ = d ϕ = 0 {\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0} d τ = d t 1 − 2 m / r {\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}} r = 6,356,752 metres {\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}} d τ = ( 1 − 1.3908 × 10 − 9 ) d t 2 = ( 1 − 6.9540 × 10 − 10 ) d t . {\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}
赤道 では 、地球の半径は r = 6 378 137 m 。さらに、地球の自転も考慮する必要があります。これは、観測者に 2π を 地球の自転 周期 86162.4秒で割った 、固有時方程式は次のように表されます。 d θ / d t {\displaystyle d\theta /dt} d θ = 7.2923 × 10 − 5 d t {\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt} d τ = ( 1 − 1.3908 × 10 − 9 ) d t 2 − 2.4069 × 10 − 12 d t 2 = ( 1 − 6.9660 × 10 − 10 ) d t . {\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}
非相対論的な観点から見ると、これは前の結果と同じになるはずでした。この例は、地球が自転しているためシュワルツシルト解で想定されている球対称性を持たないにもかかわらず、固有時間方程式がどのように用いられるかを示しています。自転の影響をより正確に記述するために、 カー計量を 使用することができます。
参照
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![{\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f1ad38fffdf7efb27d3e69a9724e36643c2a15)
![{\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c40f6c7ed66949d90f684ec4bd8e2ed8042ef5)
![{\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbd824f14c0bdcd7c65a07a7b65328d116c8689)
![{\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6583b13535277bdf70cae2f307839bbdd81506)
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