近接空間

Structure describing a notion of "nearness" between subsets

位相幾何学において、近接空間 (近さ空間とも呼ばれる) は、位相空間を特徴付ける、よりよく知られている点対集合の概念とは対照的に、集合対集合を保持する「近さ」という直感的な概念の公理化です。

この概念は、Frigyes Riesz  (1909) によって記述されましたが、当時は無視されていました。^{[1]これは、1934 年に}VA Efremovičによって無限小空間という名前で再発見され公理化されましたが、1951 年まで公表されませんでした。その間に、AD Wallace (1941) が同じ概念のバージョンを分離空間 という名前で発見しました。

意味

近接空間 とは、次の特性を満たすサブセット間の関係を持つ集合です。 ${\displaystyle (X,\delta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$

すべてのサブセットについて ${\displaystyle A,B,C\subseteq X}$

1. ${\displaystyle A\;\delta \;B}$暗示する ${\displaystyle B\;\delta \;A}$
2. ${\displaystyle A\;\delta \;B}$暗示する ${\displaystyle A\neq \varnothing }$
3. ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing }$暗示する ${\displaystyle A\;\delta \;B}$
4. ${\displaystyle A\;\delta \;(B\cup C)}$（または）の場合のみ ${\displaystyle A\;\delta \;B}$ ${\displaystyle A\;\delta \;C}$
5. （すべてのまたはについて）は ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A\;\delta \;E}$ ${\displaystyle B\;\delta \;(X\setminus E)}$ ${\displaystyle A\;\delta \;B}$

最初の公理のない近接性は準近接性と呼ばれます(ただし、公理 2 と 4 は両側で述べる必要があります)。

が に近い、またはとが近接している場合、と は離れていると言います。がの近接または近傍である場合、かつその場合に限り、 とが離れていると言います。 ${\displaystyle A\;\delta \;B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A\ll B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus B}$

以下に挙げるこの集合近傍関係の主な特性は、近接空間の別の公理的特徴付けを提供します。

すべてのサブセットについて ${\displaystyle A,B,C,D\subseteq X}$

1. ${\displaystyle X\ll X}$
2. ${\displaystyle A\ll B}$暗示する ${\displaystyle A\subseteq B}$
3. ${\displaystyle A\subseteq B\ll C\subseteq D}$暗示する ${\displaystyle A\ll D}$
4. （そして）は ${\displaystyle A\ll B}$ ${\displaystyle A\ll C}$ ${\displaystyle A\ll B\cap C}$
5. ${\displaystyle A\ll B}$暗示する ${\displaystyle X\setminus B\ll X\setminus A}$
6. ${\displaystyle A\ll B}$は、次のようなものが存在することを意味する。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A\ll E\ll B.}$

近接空間は分離されているとみなされる。 ${\displaystyle \{x\}\;\delta \;\{y\}}$ ${\displaystyle x=y.}$

近接写像または近位写像とは、近さを保つ写像、すなわちが成り立つならばが成り立つ写像である。同様に、逆写像が近位近傍性を保つ写像は近位写像である。同じ記法で、が成り立つならばが成り立つことを意味する。 ${\displaystyle f:(X,\delta )\to \left(X^{*},\delta ^{*}\right),}$ ${\displaystyle A\;\delta \;B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f[A]\;\delta ^{*}\;f[B]}$ ${\displaystyle X^{*}.}$ ${\displaystyle C\ll ^{*}D}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle f^{-1}[C]\ll f^{-1}[D]}$ ${\displaystyle X.}$

プロパティ

近接空間が与えられた場合、をクラトフスキー閉包作用素とすることで位相を定義できる。近接空間が分離されている場合、結果として得られる位相はハウスドルフとなる。誘導された位相間では近接写像は連続となる。 ${\displaystyle A\mapsto \left\{x:\{x\}\;\delta \;A\right\}}$

結果として得られる位相は常に完全に正則である。これは、ウリゾーンの補題の通常の証明を模倣し、近傍の最後の性質を用いて、補題の証明に用いられる無限増加連鎖を作成することで証明できる。

コンパクトハウスドルフ空間が与えられたとき、対応する位相が与えられた位相である近接空間が唯一存在する。近接空間が近いことと、それらの閉包が交わることは同値である。より一般的には、近接空間は完全正則ハウスドルフ空間のコンパクト化を分類する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

一様空間は、 すべての周囲と空でない交差を持つ場合のみ、近いと宣言することで近接関係を誘導します。したがって、一様連続写像は近接連続になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$

参照

• コーシー空間 – 一般位相と解析における概念
• 収束空間 – 一般位相幾何学に見られる収束の概念の一般化
• 前位相空間 – 一般化された位相空間
• 均一空間

参考文献

1. WJ Thron、「Frederic Riesz の一般位相幾何学の基礎への貢献」、CE Aull と R. Lowen (編)、『一般位相幾何学の歴史ハンドブック』、第 1 巻、21-29 ページ、Kluwer 1997 年。

• エフレモヴィッチ、バージニア州 (1951)、「無限小空間」、Doklady Akademii Nauk SSSR、新シリーズ (ロシア語)、76 : 341–343、MR  0040748
• Naimpally, Somashekhar A.; Warrack, Brian D. (1970).近接空間. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 第59巻. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-07935-7. Zbl  0206.24601。
• リース、F. (1909)、「Stetigkeit und abstrakte Mengenlehre」、Rom。 4. 数学。コングル。 2 : 18–24、JFM  40.0098.07
• ウォレス, AD (1941)、「分離空​​間」、Ann. of Math.、2、42 ( 3): 687– 697、doi :10.2307/1969257、JSTOR  1969257、MR  0004756
• ヴィタ、ルミニタ；ブリッジズ、ダグラス（2001）「点集合の近接性に関する構成的理論」CiteSeerX  10.1.1.15.1415。

外部リンク

• 「近接空間」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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