擬似計量空間

数学における距離空間の一般化

数学において、擬距離空間（pseudometric space）は、異なる2点間の距離が0になるような距離空間の一般化です。擬距離空間は、1934年にĐuro Kurepa ^{[1] [2]によって導入されました。すべての}ノルム空間が距離空間であるのと同様に、すべての半ノルム空間は擬距離空間です。この類推から、位相幾何学では異なる意味を持つ「半距離空間」という用語が、特に関数解析において同義語として用いられることがあります。

擬計量法の族を使用して位相が生成される場合、その空間はゲージ空間と呼ばれます。

意味

擬距離空間とは、非負の実数値関数と呼ばれる関数を含む集合である。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},}$擬似測量法、つまり任意の ${\displaystyle x,y,z\in X,}$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0.}$
2. 対称性： ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
3. 劣加法性/三角不等式： ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

距離空間とは異なり、擬距離空間内の点は区別可能である必要はない。つまり、異なる値に対して ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x\neq y.}$

例

任意の距離空間は擬距離空間である。擬距離空間は関数解析において自然に生じる。実数値関数の空間と特別な点を考える。この点は関数の空間上に擬距離空間を誘導し、これは次のように表される。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ $${\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

半ノルムは 擬距離 を誘導する。これは のアフィン関数（特に並進 ）の凸関数であり、したがってにおいて凸である。（ についても同様である。） ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

逆に、同次かつ並進不変な擬似距離は半ノルムを誘導します。

擬計量論は双曲型 複素多様体の理論でも登場します。小林計量を参照してください。

すべての測度空間は、 すべての に対してを定義することにより、完全な擬似距離空間として見ることができます。ここで、三角形は対称差を表します。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ $${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}$$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}$

が関数で、d _{2 が}X ₂上の擬距離関数である場合、 はX ₁上の擬距離関数を与えます。d ₂が計量関数で、 fが単射である場合、d ₁は計量関数です。 ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}$

トポロジー

その擬計量位相とは、位相の基底となる開球によって生成される位相で^[3]位相空間は、 $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}$$擬距離化可能空間^[4]とは、その空間に擬距離を与えることができ、その擬距離位相がその空間上の与えられた位相と一致する場合をいう。

擬計量と計量の違いは完全に位相的なものです。つまり、擬計量が計量となるのは、それが生成する位相がT ₀である場合（つまり、異なる点が位相的に区別可能である場合）に限ります。

コーシー列と計量空間の計量完備化の定義は擬計量空間にもそのまま引き継がれる。^[5]

メトリック識別

擬計量空間の消滅は、計量同一視と呼ばれる同値関係を誘導し、擬計量空間を本格的な計量空間に変換する。これは、 の場合に定義することで行われる。をこの同値関係による の商空間とし、 と定義する。これは、任意の に対して が成り立ち、逆もまた成り立つため、明確に定義されている。するとは上の計量であり、は明確に定義された計量空間であり、擬計量空間 によって誘導される計量空間と呼ばれる。^{[6] [7]} ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x'\in [x]}$ ${\displaystyle d(x,x')=0}$ ${\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ ${\displaystyle (X,d)}$

計量同定は誘導位相を保存する。つまり、部分集合がで開集合（または閉集合）となる場合と が で開集合（または閉集合）となり、が飽和となる場合とが同値である。位相同定はコルモゴロフ商である。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$ ${\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}$ ${\displaystyle A}$

この構成の一例としては、距離空間をそのコーシー列で完備化することが挙げられます。

参照

• 一般化された計量 – 計量幾何学
• 擬リーマン多様体 – 非退化計量テンソルを持つ微分可能多様体
• 計量空間 – 距離の概念を持つ数学的空間
• 計量化可能な位相ベクトル空間 – 計量によって位相を定義できる位相ベクトル空間

注記

1. クレパ、ジュロ (1934)。 「アンサンブルの分岐、疑似空間の広がり」。CRアカデミー。科学。パリ。 198 (1934): 1563 – 1565。
2. Collat​​z, Lothar (1966).関数解析と数値数学. ニューヨーク、サンフランシスコ、ロンドン: Academic Press . p. 51.
3. 「擬似計量トポロジー」PlanetMath。
4. ウィラード、23ページ
5. Cain, George (2000年夏). 「第7章 完全擬似距離空間」(PDF) . 2020年10月7日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2020年10月7日閲覧。
6. ハウズ、ノーマン・R. (1995). 現代解析学と位相幾何学. ニューヨーク: シュプリンガー. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. 2012年9月10日閲覧。を擬計量空間とし、 のとき、 によって における同値関係を定義します。を商空間とし、 の各点をそれを含む同値類に写す標準射影とします。の各ペアについて、によってにおける計量を定義します。 が実際に計量であり、上の商位相を定義することは容易に示せます。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X/\sim }$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))}$ ${\displaystyle a,b\in Y}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$
7. サイモン、バリー (2015). 『解析学総合講座』 プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会. ISBN 978-1470410995。

参考文献

• アルハンゲリスキイ, AV ;ポンチャギン, LS (1990).一般位相幾何学 I: 基本概念と構成 次元理論. 数学科学百科事典.シュプリンガー. ISBN 3-540-18178-4。
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、アーサー(1995) [1970].位相幾何学における反例（新版）.ドーバー出版. ISBN 0-486-68735-X。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]、一般位相幾何学（ 1970年版のドーバー再版）、アディソン・ウェスリー
• この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Pseudometric space の資料が組み込まれています。
• 「擬距離空間の例」。PlanetMath。

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