プルバック（カテゴリー理論）

数学の一分野である圏論において、プルバック（ファイバー積、ファイバー積、ファイバー積、デカルト平方とも呼ばれる）とは、共通の余域を持つ2つの射 $f$ $:$ $X$ $\to$ $Z$ と $g$ $:$ $Y$ $\to$ $Z$ からなる図式の極限である。プルバックは次のように書かれる。

P = X \times f 、 Z 、 g Y

。

通常、射 $f$ と $g$ は記法から省略され、引き戻しは次のように書かれる。

P = X \times Z Y

。

プルバックには、2つの自然な射 $P \to X$ と $P \to Yが備わっている。2つの射$ $f$ と $g$ のプルバックは必ずしも存在する必要はないが、もし存在するならば、本質的には2つの射によって一意に定義される。多くの場合、 $X \times Z Y は、$ $xが$ $X$ に、 $y$ が $Y$ に、 $f$ $($ $x$ $) =$ $g$ $($ $y$ $)$ であるような要素のペア $(x, y)$ から構成されると直感的に考えられる。一般的な定義では、普遍的な性質が用いられる。これは本質的に、プルバックが、与えられた2つの射を可換平方に完成させる「最も一般的な」方法であるという事実を表現する。

プルバックの二重概念はプッシュアウトです。

普遍的な財産

明示的には、射と射の引き戻しは、オブジェクトと2つの射とから成り、その図は $f$ $g$ $P$ $p_{1}:P\rightarrow X$ $p_{2}:P\rightarrow Y$

は可換である。さらに、この図式に関して、引き戻し $（ P 、 p 1 、 p 2 ）は$ 普遍的でなければならない。 ^[1]つまり、 $q$ $1$ $:$ $Q$ $\to$ $X$ $と$ $q$ $2$ $:$ $Q$ $\to$ $Yが$ $f$ $q$ $1$ $=$ $g$ $q$ $2$ となる射であるような他の任意のそのような三つ組 $（ Q 、 q$ $1$ 、 $q$ $2$ $）$ に対して、次のようになる唯一の $u$ $:$ $Q$ $\to$ $P$ が存在する $。$

p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.

この状況は次の可換図に示されています。

すべての普遍構成と同様に、プルバックは、もし存在するならば、同型性を除いて一意である。実際、同じコスパン $X$ $\to$ $Z$ $\leftarrow$ $Y$ $の2つのプルバック(A, a 1, a 2)$ と $(B, b 1, b 2)が与えられた場合、プルバック構造に関して$ $A$ と $B$ の間には一意の同型性が存在する。

引き戻しと製品

プルバックは積に似ていますが、同じではありません。射 $f$ と $g$ の存在と、オブジェクト $Z の$ 存在を「忘れる」ことで積を得ることができます。すると、 2つのオブジェクト $X$ と $Yのみを含み、それらの間の矢印を持たない$ 離散圏が残ります。この離散圏は、通常の二項積を構成するための添字集合として使用できます。したがって、プルバックは通常の（デカルト）積に構造が追加されたものと考えることができます。 $Z$ 、 $f$ 、 $gを「忘れる」代わりに、$ $Zを$ 終端オブジェクト（存在すると仮定）として特殊化することで、それらを「単純化」することもできます。 $f$ と $gは一意に決定され、したがって情報を持ちません。したがって、このコスパンのプルバックは$ $X$ と $Y$ の積であると見なすことができます。

例

可換環

可換環（単位元を持つ）の圏において、この引き戻しはファイバー積と呼ばれる。A 、 $B$ 、 $C$ $を$ 可換環（単位元を持つ）とし、 $α$ $:$ $A$ $\to$ $C$ および $β$ $:$ $B$ $\to$ $C$ （単位元を保つ）環準同型とする。このとき、この図式の引き戻しは存在し、積環 $A$ $\times$ $B$ の部分環によって与えられ、次のように定義される。

A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}

射影とともに

\beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B

によって与えられ、すべてのに対して与えられます。すると、 $\beta '(a,b)=a$ $\alpha '(a,b)=b$ $(a,b)\in A\times _{C}B$

\alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.

グループとモジュール

上記の可換環の例と完全に類似して、すべてのプルバックがグループのカテゴリと、ある固定された環上のモジュールのカテゴリに存在することが示されます。

セット

集合のカテゴリでは、関数 $f : X \to Z$ と $g : Y \to Z$ の引き戻しは常に存在し、集合によって与えられる。

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],

$π$ $1$ と $π$ $2の$ $X$ $\times$ $Z$ $Y$ への射影写像の制約も併せて考えると、

$あるいは、 Set$ のプルバックを非対称的に見ることもできます。

X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]

ここで、は集合の素和です（関係する集合は、 $f$ または $g$ が単射でない限り、それ自体では素ではありません）。最初のケースでは、射影 $π$ $1$ $はx の$ インデックスを抽出しますが、 $π$ $2 は$ インデックスを忘れて $Y$ の要素を残します。 $\coprod$

この例は、プルバックを別の方法で特徴付ける動機となります。つまり、射 $f$ $\circ$ $p$ $1$ $,$ $g$ $\circ$ $p$ $2$ $:$ $X$ $\times$ $Y$ $\to$ $Z$ のイコライザーとして特徴付ける方法です。ここで、 $X$ $\times$ $Y$ $はX$ と $Y$ の二項積であり、 $p$ $1$ と $p$ $2$ は自然な射影です。これは、二項積とイコライザーを持つ任意のカテゴリにプルバックが存在することを示しています。実際、極限の存在定理により、二項積とイコライザーを持つカテゴリにはすべての有限極限が存在します。同様に、終端オブジェクトとプルバックを持つカテゴリにはすべての有限極限が存在します (二項積は終端オブジェクトのプルバックに等しく、イコライザーは二項積を含むプルバックであるという事実により)。

関数のグラフ

プルバックの具体的な例として、関数のグラフが挙げられます。が関数であると仮定します。fのグラフは集合です。このグラフは、 $f$ のプルバックと $Y$ 上の恒等関数として再定式化できます。定義により、このプルバックはであり $、$ これはに等しくなります。 $f\colon X\to Y$ $\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.$ $X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_{Y}(y)\}=\{(x,y)\colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,$ $\Gamma_{f}$

繊維束

プルバックの別の例は、ファイバーバンドルの理論に由来します。バンドルマップ $π : E \to B$ と連続マップ $f : X \to B$ が与えられたとき、（連続マップを持つ位相空間のカテゴリで形成される）プルバック $X$ $\times$ $B$ $E$ は、プルバックバンドルと呼ばれる $X$ 上のファイバーバンドルです。関連付けられる可換図は、ファイバーバンドルの射です。特殊なケースは、2 つのファイバーバンドル $E$ $1$ $、$ $E$ $2$ $\to$ $B$ のプルバックです。この場合、 $E$ $1$ $\times$ $E$ $2は$ $B \times B$ 上のファイバーバンドルであり、対角マップ $B$ $\to$ $B \times Bに沿ってプルバックすると、$ $B$ 上のファイバーバンドルである $E$ $1$ $\times$ $B$ $E$ $2$ に同相（微分同相）な空間が得られます。ここでのすべてのステートメントは、微分可能多様体にも当てはまります。微分可能写像 $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ と $g$ $:$ $P$ $\to$ $N$ が横断的であるためには、それらの積 $M \times P$ $\to$ $N \times Nが$ $N$ の対角線に対して横断的である必要があります。^[2]したがって、2つの横断的微分可能写像を同じ微分可能多様体に戻すことも微分可能多様体であり、その引き戻しの接空間は微分写像に沿った接空間の引き戻しです。

原像と交差

関数による集合の逆像は、次のようにプルバックとして記述できます。

$f : A \to B$ , $B 0 \subseteq B$ とする。g $を$ 包含写像 $B 0 ↪ B$ とする。すると、集合 $f$ と $g$ の引き戻しは、 $原$ 像 $f -1 [B 0]と、原像の$ $A$ への包含によって与えられる。

f -1 [B 0] ↪ A

$fを$ $f$ $-1$ に制限する $[$ $B$ $0$ $]$

f -1 [B 0] \to B 0

。

この例から、一般圏において、射 $f$ と単射 $gの引き戻しは、$ $g$ によって指定される部分対象の $f$ における「前像」と考えることができる。同様に、2つの単射の引き戻しは、2つの部分対象の「積」と考えることができる。

最小公倍数

正整数 $Z$ $+$ の乗法モノイドを、対象を1つ持つ圏として考える。この圏では、2つの正整数 $m$ と $n$ の引き戻しは、分子が $m$ と $n$ の最小公倍数である組となる。この組は押し出しでもある。 $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$

プロパティ

終端オブジェクト $T$ を持つ任意のカテゴリでは、引き戻し $X \times T Y$ は通常の積 $X \times Y$ に等しい。^[3]
単射は引き戻しに対して安定である。図中の矢印 $fがモニックであれば、矢印$ $p 2$ もモニックである。同様に、 $g$ がモニックであれば、矢印 $p 1$ もモニックである。^[4]
同型写像も安定しており、したがって、たとえば、任意の写像 $Y$ $\to$ $Xに対して$ $X \times X Y ≅ Y$ が成り立ちます(ここで、暗黙の写像 $X$ $\to$ $X$ は恒等写像です)。
アーベル圏ではすべてのプルバックが存在し、^[5]それらは次の意味で核を保存する：

が引き戻し図式であるとき、誘導射

ker(p 2) \to ker(f)

は同型であり、^[6]誘導射

ker(p 1) \to ker(g)も同型である。したがって、すべての引き戻し図式から、すべての行と列が

正確である次の形式の可換図式が得られる。

{\begin{array}{cccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}

さらに、アーベル圏では、

X \to Z

がエピモーフィズムであれば、その引き戻し

P \to Y

もエピモーフィズムであり、対称的に、

Y \to Z

がエピモーフィズムであれば、その引き戻し

P \to X

もエピモーフィズムである。^[7]このような状況では、引き戻しの正方形は押し出しの正方形でもある。^[8]

自然同型 ( A × _C B )× _B D ≅ A × _C Dが存在する。これは明示的には次を意味する:
- f : A → C、g : B → C、h : D → Bの写像が与えられており、
- fとgの引き戻しはr : P → Aとs : P → Bで与えられ、
- sとhの引き戻しはt : Q → Pとu : Q → Dで与えられ、
- すると、 fとghのプルバックはrt : Q → Aと u : Q → Dで与えられます。

グラフィカルに言うと、これは、隣り合って配置され、 1 つのモルフィズムを共有する 2 つのプルバックスクエアが、内部の共有モルフィズムを無視すると、より大きなプルバックスクエアを形成することを意味します。

{\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}

プルバックと製品のあるカテゴリにはイコライザーがあります。

弱い引き戻し

コスパン $X$ $\to$ $Z$ $\leftarrow$ $Y$ の弱いプルバックは、弱普遍性のみを持つコスパン上の円錐です。つまり、上記の媒介射 $u$ $:$ $Q$ $\to$ $P は$ 一意である必要はありません。

参照

注記

^ ミッチェル、9ページ
^ Lee, John M. (2003)、「滑らかな多様体」、Graduate Texts in Mathematics、ニューヨーク、NY：Springer New York、pp. 1– 29、ISBN 978-0-387-95448-6、 2025年2月28日閲覧
^ アダメク、197ページ。
^ ミッチェル、9ページ
^ ミッチェル、32ページ
^ ミッチェル、15ページ
^ ミッチェル、34ページ
^ ミッチェル、39ページ

参考文献

Adámek、Jiří、Herrlich、Horst、Strecker、George E. （1990年）。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ (4.2MB PDF)。もともと公開されています。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6（現在はオンライン版は無料です）。
コーン、ポール・M.；ユニバーサル・アルジェブラ（1981年）、D.ライデル出版、オランダ、ISBN 90-277-1213-1 (1965 年に Harper & Row 社より初版が出版されました)。
ミッチェル、バリー (1965). 『カテゴリー理論』アカデミック・プレス.

外部リンク

有限集合のカテゴリにおけるプルバックの例を生成するインタラクティブなウェブページ。作者：Jocelyn Paine。
n ラボでの撤退

[1] ミッチェル、9ページ

[2] Lee, John M. (2003)、「滑らかな多様体」、Graduate Texts in Mathematics、ニューヨーク、NY：Springer New York、pp. 1– 29、ISBN 978-0-387-95448-6、 2025年2月28日閲覧

[3] アダメク、197ページ。

[4] ミッチェル、9ページ

[5] ミッチェル、32ページ

[6] ミッチェル、15ページ

[7] ミッチェル、34ページ

[8] ミッチェル、39ページ