脈動流

A flow with periodic variations (fluid dyamics)

直管内の4つの脈動流プロファイルを示します。最初のグラフ（青）は圧力勾配を余弦関数として示し、他のグラフ（赤）は異なるウォマーズリー数における無次元速度プロファイルを示します。

流体力学において、周期的に変化する流れは脈動流、あるいはウォマーズリー流として知られています。この流れのプロファイルは、ジョン・R・ウォマーズリー（1907–1958）が動脈内の血流に関する研究で初めて導き出しました。^[1]脊索動物の心血管系は脈動流が見られる非常に良い例ですが、脈動流はエンジンや油圧システムでも、流体をポンプする回転機構の結果として観察されています。

方程式

脈動流プロファイルは直管内で次のように表される。

${\displaystyle u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,}$

どこ：

あなた	は縦方向の流速であり、
r	は放射座標であり、
t	時間です、
α	は無次元 ウォマーズリー数であり、
ω	は振動圧力勾配のフーリエ級数の第1高調波の角周波数である。
n	は自然数であり、
P' n	は周波数nωにおける圧力勾配の大きさであり、
ρ	は流体の密度であり、
μ	は動粘度であり、
R	パイプの半径は
J 0 (·)	は第一種零次のベッセル関数である。
私	は虚数であり、
再{· }	は複素数の実部です。

プロパティ

ウォマーズリー数

脈動流プロファイルはウォマーズリー数に応じて形状が変化する。

${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{1/2}\,.}$

の場合、粘性力が流れを支配し、脈動は放物線状のプロファイルを持つ準静的な流れとみなされます。 の場合、中心核では慣性力が支配的であるのに対し、境界層付近では粘性力が支配的です。したがって、速度プロファイルは平坦になり、圧力波と速度波の位相は中心核に向かってシフトします。^[要出典] ${\displaystyle \alpha \lesssim 2}$ ${\displaystyle \alpha \gtrsim 2}$

機能の限界

下限

ベッセル関数の下限は[ ^2]となる。

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z)=1-{\frac {z^{2}}{4}}\,,}$

これは定常流のハーゲン・ポアズイユ流れプロファイルに収束する。

${\displaystyle \lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,,}$

または、放物線状のプロファイルを持つ準静的パルスに

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}$

この場合、圧力波と速度波は同位相なので、関数は実数になります。

上限

ベッセル関数の上限は^[2]

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi \,z}}}\,,}$

これは次のように収束する

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]\sin(n\,\omega \,t)\,.}$

これは、振動する平板上のストークス層、あるいは交流磁場が導電体へ浸透する表皮深さを強く想起させます。表面では、指数項は無視できますが、が大きくなると速度プロファイルはほぼ一定となり、粘性に依存しなくなります。したがって、流れは圧力勾配に応じて、プラグプロファイルとして時間とともに単純に振動します。 ${\displaystyle u(r=R,t)=0}$ ${\displaystyle \alpha (1-r/R)}$

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,.}$

しかし、壁に近い、厚さの層では、速度は急速にゼロに調整されます。さらに、時間振動の位相は層内の位置に応じて急速に変化します。高周波数では、指数関数的な減衰がより速くなります。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha ^{-1})}$

導出

この非定常流速プロファイルの解析解を導くために、以下の仮定がとられる：^{[3] [4]}

• 流体は均質、非圧縮性、ニュートン性です。
• チューブ壁は剛性があり円形です。
• 動きは層流、軸対称、チューブの軸に平行です。
• 境界条件は、中心で軸対称、壁面では滑りなし条件です。
• 圧力勾配は流体を駆動する周期関数です。
• 重力は流体に影響を与えません。

したがって、ナビエ・ストークス方程式と連続方程式は次のように簡略化される。

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,}$

そして

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,}$

それぞれ。脈動流を駆動する圧力勾配はフーリエ級数に分解され、

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t}\,,}$

ここで、 は虚数、は第1高調波（すなわち）の角周波数、 は各高調波の振幅である。（ を表す）は定常圧力勾配であり、その符号は定常速度と逆である（すなわち、負の圧力勾配は正の流れを生み出す）。同様に、流体は非圧縮性であるため、速度プロファイルも圧力勾配と位相を合わせてフーリエ級数に分解される。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle P'_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P'_{0}}$ ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t}\,,}$

ここで、周期関数の各高調波の振幅であり、定常成分（）は単にポアズイユ流れである。 ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,.}$

したがって、各高調波に対するナビエ・ストークス方程式は次のようになる。

${\displaystyle i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right)\,.}$

境界条件が満たされると、この常微分方程式の振動部（）の一般解は ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}$

ここで、 は第一種ベッセル関数で零次、は第二種ベッセル関数で零次、は任意定数、は無次元ウォマーズリー数である。軸対称境界条件（）を適用することにより、上式の導関数が有効となる。導関数と が無限大に近づくにつれて、 となる。次に、壁面滑り止め境界条件（）を適用することにより、 となる。したがって、調和関数の速度分布の振幅は ${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$ ${\displaystyle Y_{0}(\cdot )}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}$ ${\displaystyle \partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0}$ ${\displaystyle B_{n}=0}$ ${\displaystyle J_{0}'}$ ${\displaystyle Y_{0}'}$ ${\displaystyle U_{n}(R)=0}$ ${\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\,,}$

ここで、は簡略化のために用いられている。速度プロファイル自体は、パルスのすべての高調波の和から得られる複素関数の実部を取ることによって得られる。 ${\displaystyle \Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

流量

流量は、断面における速度場を積分することによって得られる。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{p}J_{p}(a\,x)\right]=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,}$

それから

${\displaystyle Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=\mathrm {Re} \left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.}$

速度プロファイル

脈動流のスケール化された速度プロファイルを、Womersley 数に従って比較します。

速度プロファイルの形状を比較するために、次のように仮定できる。

${\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,}$

どこ

${\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}}$

は形状関数である。^[5]この定式化では慣性効果が無視されていることに注意する必要がある。速度分布は、ウォマーズリー数が低い場合では放物線状、高い場合ではプラグ状に近い。

壁面せん断応力

直管の場合、壁面せん断応力は

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}\,.}$

ベッセル関数の微分は

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{-p}J_{-p}(a\,x)\right]=a\,x^{-p}J_{p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial x}}\left[J_{0}(a\,x)\right]=-a\,J_{1}(a\,x)\,.}$

したがって、

${\displaystyle \tau _{w}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}P'_{n}{\frac {R}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{in\omega t}\right\}\,.}$

中心線速度

圧力勾配が測定されていない場合でも、中心線での速度を測定することで圧力勾配を求めることができます。測定された速度は、以下の式で表される実数部のみを持ちます。 ${\displaystyle P'_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(t)=\mathrm {Re} (u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.}$

それを指摘すると、完全な物理的表現は ${\displaystyle J_{0}(0)=1}$

${\displaystyle u(0,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}}$

中心線において。測定された速度は、複素数のいくつかの性質を適用して完全な式と比較されます。任意の複素数積（）に対して、振幅と位相はそれぞれ およびの関係を持ちます。したがって、 ${\displaystyle C=AB}$ ${\displaystyle |C|=|A||B|}$ ${\displaystyle \phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}=\left|{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|}$

そして

${\displaystyle {\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\,,}$

最終的に

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\right\}\,.}$

参照

• 心臓血管系
• 血行動態
• ウォマーズリー数
• 流体ハンマー

参考文献

1. Womersley, JR (1955年3月). 「圧力勾配が既知の場合の動脈内の速度、流量、粘性抵抗の計算方法」. J. Physiol . 127 (3): 553– 563. doi :10.1113/jphysiol.1955.sp005276. PMC 1365740.  PMID 14368548  .
2. Mestel, Jonathan (2009年3月). 「長い直線動脈における脈動流」(PDF) . インペリアル・カレッジ・ロンドン. 2017年1月6日閲覧.生体流体力学：講義14
3. Fung, YC (1990). バイオメカニクス ― 動き、流れ、応力、そして成長. ニューヨーク (米国): Springer-Verlag. p. 569. ISBN 9780387971247。
4. Nield, DA; Kuznetsov, AV (2007). 「チャネルまたはチューブ内の層流脈動流による強制対流」. International Journal of Thermal Sciences . 46 (6): 551– 560. Bibcode :2007IJTS...46..551N. doi :10.1016/j.ijthermalsci.2006.07.011.
5. San, Omer; Staples, Anne E (2012). 「低次元生理学的流体流れのための改良モデル」. J​​ournal of Mechanics in Medicine and Biology . 12 (3): 125– 152. arXiv : 1212.0188 . doi :10.1142/S0219519411004666. S2CID  118525588.

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