純粋スピノル

Class of spinors constructed using Clifford algebras

数学の表現論の分野において、純粋スピノル（または単純スピノル）とは、クリフォード代数表現において、ベクトル空間のスカラー積に関する最大等方性部分空間によって消滅するスピノルである。これらは1930年代にエリー・カルタン^[1]によって導入され、クロード・シュヴァレー^[2]によってさらに発展させられた。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

これらは、1960年代にロジャー・ペンローズによって導入されたツイスター理論^[3]のスピン構造と高次元一般化の研究において重要な要素である。これらは、10次元における超対称ヤン＝ミルズ理論^{[4] [5]}、超弦理論^{[6] 、}一般化された複素構造^{[7] [8] 、そして}可積分階層構造 のパラメータ化解^{[9] [10] [11]}の研究に応用されてきた。

クリフォード代数と純粋スピノル

偶数次元または奇数次元の複素 ベクトル空間 と、ベクトルのペアに値を持つ非退化複素スカラー積を考える。クリフォード代数は、関係式によって生成されるイデアルで 、 上の完全テンソル代数を商したものである。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q(u,v)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle Cl(V,Q)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle u\otimes v+v\otimes u=2Q(u,v),\quad \forall \ u,v\in V.}$

スピノルはクリフォード代数の加群であり、特に の元は スピノル空間に作用する。与えられた非零スピノルを消滅させる複素部分空間は次元 を持つ。 のとき、 は純粋スピノルと呼ばれる。スピン群 の軌道によるスピノル加群の成層化の観点から見ると、純粋スピノルは最小の軌道に対応し、これは既約スピノル（または半スピノル）加群上のスピノル表現の軌道型による成層化のシロフ境界である。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\psi }^{0}\subset V}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Spin(V,Q)}$

射影化まで定義される純粋スピノルは射影純粋スピノルと呼ばれる。偶数次元のに対しては射影純粋スピノルの空間は同質空間であり、 奇数次元のに対しては同質空間である。 ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle SO(2n)/U(n)}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle SO(2n+1)/U(n)}$

既約クリフォード加群、スピノル、純粋スピノル、カルタン写像

既約クリフォード/スピノル加群

カルタン^[1]とシュヴァレー^[2]に従えば、直和 として ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\ {\text{ or }}\ V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} ,}$

ここでは次元 の完全に等方的な部分空間であり、 はその双対空間であり、スカラー積は次のように定義される。 ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V_{n}^{*}}$

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2}),\quad v_{1},v_{2}\in V_{n},\ w_{1},w_{2}\in V_{n}^{*},}$

または

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1}+a_{1},v_{2}+w_{2}+a_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2})+a_{1}a_{2},\quad a_{1},a_{2}\in \mathbf {C} ,}$

それぞれ。

クリフォード代数表現は、既約クリフォード/スピノル加群の自己準同型として、線形要素によって生成され、次のように作用する。 ${\displaystyle \Gamma _{X}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))}$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle X\in V}$

${\displaystyle \Gamma _{v}(\psi )=v\wedge \psi \ {\text{ (wedge product) }}\ {\text{for }}v\in V_{n}\ {\text{ and }}\Gamma _{w}(\psi )=\iota (w)\psi \ {\text{ (inner product) }}{\text{for}}\ w\in V_{n}^{*},}$

またはのいずれかの場合、および ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$ ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$

${\displaystyle \Gamma _{a}\psi =(-1)^{p}a\ \psi ,\quad a\in \mathbf {C} ,\ \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n}),}$

に対して 、が 次数の同次である場合。 ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$

純粋スピノルとカルタン写像

純粋スピノルは 、スカラー積に関して最大​​等方性部分空間によって消滅する任意の元として定義されます。逆に、最大等方性部分空間が与えられている場合、複素数による乗算を除いて、それを消滅させる純粋スピノルを以下のように決定することができます。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \,Q\,}$

の最大等方性（-次元）部分空間のグラスマン多様体を と表記する。カルタン写像^{[1] [12] [13]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$

${\displaystyle \mathbf {Ca} :\mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)\rightarrow \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}$

は、基底 を持つ任意の要素 に対して、値 を持つと 定義されます。 ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$ ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

${\displaystyle \mathbf {Ca} (w):=\mathrm {Im} (\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{n}});}$

すなわち、クリフォード表現準同型 の積から形成される準同型によるの像であり、これは基底 の選択に依存しない。これは等方性条件により、 次元部分空間である。 ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle \{\Gamma _{X_{i}}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))\}_{i=1,\dots ,n}}$ ${\displaystyle (X_{1},\cdots ,X_{n})}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle Q(X_{i},X_{j})=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

これは、

${\displaystyle \Gamma _{X_{i}}\Gamma _{X_{j}}+\Gamma _{X_{j}}\Gamma _{X_{i}}=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

であり、したがって既約クリフォード加群の 射影化の元を定義する。等方性条件から、スピノルの射影類が像とに含まれる場合、 ${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$ ${\displaystyle X\in w}$

${\displaystyle \Gamma _{X}(\psi )=0.}$

したがって、 のスピノルは、クリフォード表現によれば、 のすべての要素によって消滅します。逆に、 がすべてのに対して によって消滅する場合、 となります。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Gamma _{X}}$ ${\displaystyle X\in w}$ ${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$

が偶数次元の場合、等方グラスマン多様体 には2つの連結成分があり、 のもとで、直和分解における2つの半スピノル部分空間に 写像される。 ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {Ca} }$ ${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n}),\Lambda ^{-}(V_{n})}$

${\displaystyle \Lambda (V_{n})=\Lambda ^{+}(V_{n})\oplus \Lambda ^{-}(V_{n}),}$

ここで、 と は それぞれ の偶数次と奇数次の要素から構成されます。 ${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{-}(V_{n})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{(}V_{n})}$

カルタン関係

スピノル加群上の双線型形式の集合を定義する。この形式の値は（スカラー積 を介して同型である）であり、 ${\displaystyle \{\beta _{m}\}_{m=0,\dots 2n}}$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m}(V^{*})\sim \Lambda ^{m}(V)}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\phi )(X_{1},\dots ,X_{m}):=\beta _{0}(\psi ,\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{m}}\phi ),\quad {\text{for }}\psi ,\phi \in \Lambda (V_{n}),\ X_{1},\dots ,X_{m}\in V,}$

ここで、均質要素、 および上の体積形式の場合、 ${\displaystyle \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n})}$ ${\displaystyle \phi \in \Lambda ^{q}(V_{n})}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$

${\displaystyle \beta _{0}(\psi ,\phi )\,\Omega ={\begin{cases}\psi \wedge \phi \quad {\text{if }}p+q=n\\0\quad {\text{otherwise. }}\end{cases}}}$

カルタン^[1]によって示されたように、純粋スピノルは、カルタン関係として知られる次の同次二次方程式を満たすという事実によって一意に決定される：^{[1] [12] [13]} ${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\psi )=0\quad \forall \ m\equiv n\mod (4),\quad 0\leq m<n}$

標準的な既約スピノルモジュール上。

これらは、カルタン写像の下で、スカラー積 に関するベクトル空間 の最大等方性部分空間の部分多様体の像を決定します。カルタン写像は、スピノル加群（偶数次元の場合は半スピノル加群）の射影化における の等方性部分空間のグラスマン多様体の埋め込みを定義し、これらを射影多様体として実現します。 ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$

したがって、合計すると、

${\displaystyle \sum _{0\leq m\leq n-1 \atop m\equiv n,{\text{ mod }}4}{{\text{dim}}(V) \choose m}}$

カルタン関係は、の外部空間に値を持つ双線型形式が消滅することを意味し、クリフォード代数のこれらの歪対称元に対応する。しかし、の最大等方性部分空間のグラスマン多様体の次元は、 が偶数次元のとき、が奇数次元の ときであり、カルタン写像は、 が偶数次元のときは半スピノル加群の射影化における、 が奇数次元のときは既約スピノル加群における、この連結成分の埋め込みであるため、独立した二次制約の数は ${\displaystyle \beta _{m}}$ ${\displaystyle \,\Lambda ^{m}(V)\,}$ ${\displaystyle m\equiv n,{\text{ mod }}4}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)\,}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)\,}$ ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \,V\,}$

${\displaystyle 2^{n-1}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)-1}$

次元の場合、そして ${\displaystyle \,2n\,}$

${\displaystyle 2^{n}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)-1}$

次元の場合。 ${\displaystyle \,2n+1\,}$

6次元以下では、すべてのスピノルは純粋です。7次元または8次元では、純粋スピノル制約は1つです。10次元では、10個の制約があります。

${\displaystyle \psi \;\Gamma _{\mu }\,\psi =0~,\quad \mu =1,\dots ,10,}$

ここで、クリフォード代数を生成するベクトルを表すガンマ行列です。しかし、これらのうち独立なのは だけなので、 の射影化された純粋スピノルの多様体は（複素）次元です。 ${\displaystyle \,\Gamma _{\mu }\,}$ ${\displaystyle \,\mathbb {C} ^{10}\,}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{10}}$ ${\displaystyle 10}$

純粋スピノルの応用

超対称ヤン・ミルズ理論

次元超対称ヤン＝ミルズ理論において、超アンビツイスター対応^{[4] [5]は、}超対称場の方程式と、次元 の超ヌル線に沿った超曲率の消失と の間の同値性から成り、ここでグラスマン次元は純粋スピノルに対応する。次元削減により、 、、、またはに対応する結果が得られる。 ${\displaystyle d=10}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle (1|16)}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle d=6}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle 4}$

弦理論と一般化カラビ・ヤウ多様体

純粋スピノルは、弦理論の量子化においてネイサン・ベルコヴィッツによって導入された^{[6] 。} ナイジェル・ヒッチン^[14]は、一般化された複素構造が純粋スピノルによって定義される一般化カラビ・ヤウ多様体を導入した。これらの空間は、弦理論における磁束コンパクト化の幾何学を記述する。

積分可能なシステム

佐藤幹夫氏[ ^15] とその学生^{[16] [17]}によって開発された可積分階層へのアプローチでは、階層の方程式は無限次元グラスマン多様体上の可換フローに対する適合条件と見なされます。（無限次元）カルタン写像の下では、射影純粋スピノルは、適切に定義された複素スカラー積の下でのヒルベルト空間の最大等方性部分空間からなる無限次元グラスマン多様体の要素と等価です。したがって、それらは BKP 可積分階層の解のモジュライとして機能し、^{[9] [10] [11]}フローの生成関数である関連する BKP関数をパラメータ化します。カルタン写像対応の下では、これらは無限次元フレドホルム・パフィアンとして表現できます。^[11] ${\displaystyle \tau }$

参考文献

1. カルタン、エリー(1981) [1938]. スピノルの理論. ニューヨーク:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-64070-9. MR  0631850。
2. シュヴァレー、クロード(1996) [1954].スピノルとクリフォード代数の代数理論（復刻版）. コロンビア大学出版局 (1954); シュプリンガー (1996). ISBN 978-3-540-57063-9。
3. ペンローズ、ロジャー、リンドラー、ヴォルフガング (1986).スピノルと時空. ケンブリッジ大学出版局. pp. 付録. doi :10.1017/cbo9780511524486. ISBN 9780521252676。
4. Witten, E. (1986). 「10次元におけるツイスター型変換」.核物理学. B266 (2): 245– 264. Bibcode :1986NuPhB.266..245W. doi :10.1016/0550-3213(86)90090-8.
5. Harnad, J. ; Shnider, S. (1986). 「10次元超ヤン＝ミルズ理論に対する制約と場の方程式」. Commun. Math. Phys . 106 (2): 183– 199. Bibcode :1986CMaPh.106..183H. doi :10.1007/BF01454971. S2CID  122622189.
6. Berkovits, Nathan (2000). 「超弦の超ポアンカレ共変量子化」. Journal of High Energy Physics . 2000 (4): 18. arXiv : hep-th/0001035 . doi : 10.1088/1126-6708/2000/04/018 .
7. Hitchin, Nigel (2003). 「一般化カラビ・ヤウ多様体」. Quarterly Journal of Mathematics . 54 (3): 281– 308. doi :10.1093/qmath/hag025.
8. Gualtieri, Marco (2011). 「一般化複素幾何学」Annals of Mathematics . (2). 174 (1): 75– 123. arXiv : 0911.0993 . doi : 10.4007/annals.2011.174.1.3 .
9. 伊達悦郎;神保道夫;柏原正樹;三輪哲治(1982). 「ソリトン方程式の変換群IV. KP型ソリトン方程式の新しい階層」. Physica . 4D (11): 343– 365.
10. 伊達悦郎;神保道夫;柏原正樹;三輪哲治(1983). M. 神保・T. 三輪 (編). 「ソリトン方程式の変換群」. 『非線形可積分系 ― 古典理論と量子理論』 . World Scientific (シンガポール): 943–1001 .
11. Balogh, F.; Harnad, J .; Hurtubise, J. (2021). 「等方性グラスマン写像、プルッカー写像、カルタン写像」. Journal of Mathematical Physics . 62 (2): 121701. arXiv : 2007.03586 . doi :10.1063/5.0021269. S2CID  220381007.
12. Harnad, J. ; Shnider, S. (1992). 「高次元における等方性幾何学とツイスター。I. 偶数次元における一般化クライン対応とスピノルフラグ」. Journal of Mathematical Physics . 33 (9): 3197– 3208. doi :10.1063/1.529538.
13. Harnad, J. ; Shnider, S. (1995). 「高次元における等方幾何学とツイスター。II. 奇数次元、現実条件、そしてツイスター超空間」. Journal of Mathematical Physics . 36 (9): 1945– 1970. doi : 10.1063/1.531096 .
14. Hitchin, Nigel (2003). 「一般化カラビ・ヤウ多様体」. Quarterly Journal of Mathematics . 54 (3): 281– 308. doi :10.1093/qmath/hag025.
15. 佐藤幹夫(1981). 「無限次元グラスマン多様体上の力学系としてのソリトン方程式」講究録, 京都大学数理解析研究所, : 30–46 .
16. 伊達悦郎;神保道夫;柏原正樹;三輪哲治(1981). 「カドムツェフ-ペトビアシビリ方程式への演算子アプローチ ―ソリトン方程式の変換群III―」.日本物理学会誌. 50 (11). 日本物理学会: 3806– 3812. Bibcode :1981JPSJ...50.3806D. doi :10.1143/jpsj.50.3806. ISSN  0031-9015.
17. 神保道夫;三輪哲治(1983). 「ソリトンと無限次元リー代数」.数理解析研究所出版物. 19 (3​​). ヨーロッパ数学協会出版社: 943–1001 . doi : 10.2977 /prims/1195182017 . ISSN  0034-5318.

参考文献

• カルタン、エリー(1981) [1966].スピノルの理論. ドーバー出版（復刻版）. パリ、フランス：ヘルマン（1966）. ISBN 978-0-486-64070-9。
• シュヴァレー、クロード(1996) [1954]. 『スピノルとクリフォード代数の代数理論』（復刻版）. コロンビア大学出版局 (1954); シュプリンガー (1996). ISBN 978-3-540-57063-9。
• チャールトン、フィリップ. 純粋スピノルの幾何学とその応用、博士論文 (1997).

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pure_spinor&oldid=1319617563"