ピタゴラス音程

音楽の調律理論では、ピタゴラス音程は、周波数比が2の累乗を3の累乗で割った値、またはその逆の音程である。^[1]たとえば、比率が3/2の完全5度（3 ¹ / 2 ¹に相当）と比率が4/3の完全4度（2 ² / 3 ¹に相当）はピタゴラス音程である。

ピタゴラス音律を用いて調律された音階の音程はすべてピタゴラス音程です。しかし、ピタゴラス音程の一部は他の調律法でも用いられます。例えば、前述のピタゴラス完全五度と四度は純正律でも用いられます。

間隔表

名前	短い	その他の名前	比率	要因	導出	セント	ET セント	MIDIファイル	五度音程
減二度	d2		524288/531441	2 ¹⁹ /3 ¹²		−23.460	0	プレイ^ⓘ	−12
（完璧な）ユニゾン	P1		1/1	3 ⁰ /2 ⁰	1/1	0.000	0	プレイ^ⓘ	0
ピタゴラスコンマ			531441/524288	3 ¹² / 2 ¹⁹		23.460	0	プレイ^ⓘ	12
短二度	平方メートル	リマ、全音階半音、短音階半音	256/243	2 ⁸ /3 ⁵		90.225	100	プレイ^ⓘ	−5
増音ユニゾン	A1	アポトメ、半音、長半音	2187/2048	3 ⁷ / 2 ¹¹		113.685	100	プレイ^ⓘ	7
減三度	d3	全音、全音、全音階	65536/59049	2 ¹⁶ /3 ¹⁰		180.450	200	プレイ^ⓘ	−10
長二度	M2	全音、全音、全音階	9月8日	3 ² /2 ³	3·3/2·2	203.910	200	プレイ^ⓘ	2
半二音	立方メートル	（ピタゴラスの短三度）	32/27	2 ⁵ /3 ³		294.135	300	プレイ^ⓘ	−3
増2度音程	A2		19683/16384	3 ⁹ / 2 ¹⁴		317.595	300	プレイ^ⓘ	9
減四度	d4		8192/6561	2 ¹³ /3 ⁸		384.360	400	プレイ^ⓘ	−8
二色調	M3	（ピタゴラスの長三度）	81/64	3 ⁴ / 2 ⁶	27·3/32·2	407.820	400	プレイ^ⓘ	4
完全4度	P4	ディアテッサロン、セスキテルティウム	4/3	2 ^2/3	2·2/3	498.045	500	プレイ^ⓘ	−1
増三度	A3		177147/131072	3 ¹¹ / 2 ¹⁷		521.505	500	プレイ^ⓘ	11
減五度	d5	三全音	1024/729	2 ¹⁰ /3 ⁶		588.270	600	プレイ^ⓘ	−6
増四度	A4	三全音	729/512	3 ⁶ /2 ⁹		611.730	600	プレイ^ⓘ	6
減六度	d6		262144/177147	2 ¹⁸ /3 ¹¹		678.495	700	プレイ^ⓘ	−11
完全五度	P5	diapente, sesquialterum	3/2	3 ^1/2 1	3/2	701.955	700	プレイ^ⓘ	1
短6度	m6		128/81	2 ⁷ /3 ⁴		792.180	800	プレイ^ⓘ	−4
増五度	A5		6561/4096	3 ⁸ / 2 ¹²		815.640	800	プレイ^ⓘ	8
減七度	d7		32768/19683	2 ¹⁵ /3 ⁹		882.405	900	プレイ^ⓘ	−9
長六度	M6		27/16	3 ^3/2 4	9·3/8·2	905.865	900	プレイ^ⓘ	3
短七度	m7		9月16日	2 ⁴ /3 ²		996.090	1000	プレイ^ⓘ	−2
増六度	A6		59049/32768	3 ¹⁰ /2 ¹⁵		1019.550	1000	プレイ^ⓘ	10
減オクターブ	d8		4096/2187	2 ¹² /3 ⁷		1086.315	1100	プレイ^ⓘ	−7
長七度	M7		243/128	3 ⁵ /2 ⁷	81·3/64·2	1109.775	1100	プレイ^ⓘ	5
減九度	d9	（オクターブ − コンマ）	1048576/531441	2 ²⁰ /3 ¹²		1176.540	1200	プレイ^ⓘ	−12
（完全）オクターブ	P8	ディアパソン	2/1		2/1	120万	1200	プレイ^ⓘ	0
増七度	A7	（オクターブ + カンマ）	531441/262144	3 ¹² / 2 ¹⁸		1223.460	1200	プレイ^ⓘ	12

ダイトーン（二全音）とセミダイトーン（半二全音）という用語はピタゴラス音律に特有の用語であるのに対し、全音と三全音はすべての音律体系に一般的に使用されていることに注意してください。セミダイトーン（3半音、約300セント）という名前にもかかわらず、セミダイトーン（4半音、約400セント）の半分と見なすことは困難です。

D基準ピタゴラス音律における144音程の周波数比。音程名は短縮形で示されています。純音程は太字で、ウルフ音程は赤で強調表示されています。999を超える数値は2の累乗または3の累乗で示されています。この表の別のバージョンは、こちらとこちらで提供されています。

12音ピタゴラス音階

この表は、Dを基準とした対称ピタゴラス音律で調律されたオクターブ12音階の楽器（ピアノなど）において、上記の音程のうちいくつかがどの音から演奏できるかを示しています。この表の詳細については、「ピタゴラス音程の大きさ」をご覧ください。

基本音程

基本音程は、超音比2/1、3/2、4/3です。2/1はオクターブまたはディアパソン（ギリシャ語で「すべてにわたって」）です。3/2は完全五度、ディアペンテ（「5にわたって」）、またはセスキアルテルムです。4/3は完全四度、ディアテッサロン（「4にわたって」）、またはセスキテルティウムです。これら3つの音程と、完全十一度や完全十二度などのオクターブ相当音程は、ピタゴラス音階における唯一の絶対協和音です。その他の音程は、滑らかなものから荒いものまで、様々な程度の不協和音を持ちます。

完全四度と完全五度の違いは、音程、つまり長二度です。この比は9/8で、エポグドゥーンとも呼ばれ、シュテルマーの定理によって示されるように、ピタゴラス音律における唯一の超特異比です。

2つの音は、不協和な広い長三度、つまり二全音（81/64）を形成します。二全音は、正確な長三度（5/4）とはシントニック・コンマ（81/80）の差があります。同様に、全音と完全四度との差はセミディトーン（32/27）で、これは狭い短三度であり、シントニック・コンマの6/5の差があります。これらの差は、ミーントーン・テンペラメントにおける妥協によって「調律」され、除去されます。

短三度と全音の差は短半音、またはリンマで256/243です。全音とリンマの差は長半音、またはアポトメ（「部分カットオフ」）で2187/2048です。リンマとアポトメはどちらも12平均律の1ステップで表されますが、ピタゴラス音律では等しくなく、その差531441/524288はピタゴラス・コンマとして知られています。

現代の命名法との対比

音程名（音階ステップ数 + 音質）と周波数比は一対一で対応しています。これは、同じ周波数比の音程が異なる名称を持つ（例：減五度と増四度）平均律や、同じ名称の音程が異なる周波数比を持つ（例：CからDへの長二度は9/8だが、DからEへの長二度は10/9）他の純正律とは対照的です。

参照

参考文献

^ ベンソン、ドナルド・C. (2003). 『より滑らかな小石：数学的探究』p.56. ISBN 978-0-19-514436-9「すべてのピタゴラス音程の頻度比は、2の累乗と3の累乗の比率です。これは、すべての音程が整数の比率に関連付けられるというピタゴラスの要件を裏付けています。」

外部リンク

マーゴ・シュルターによるネオゴシック様式の使用

[1] ベンソン、ドナルド・C. (2003). 『より滑らかな小石：数学的探究』p.56. ISBN 978-0-19-514436-9「すべてのピタゴラス音程の頻度比は、2の累乗と3の累乗の比率です。これは、すべての音程が整数の比率に関連付けられるというピタゴラスの要件を裏付けています。」