ピタゴラスの四倍数

Four integers where the sum of the squares of three equals the square of the fourth

1桁の値のみを持つ4つの原始ピタゴラス数

ピタゴラス四重項は、 a ² + b ² + c ² = d ²となる整数a、b、c、dの組です。これらはディオファントス方程式の解であり、多くの場合、正の整数値のみが考慮されます。^{[1]ただし、より完全な幾何学的解釈を提供するために、} d > 0という条件のみで、整数値が負やゼロになることが許容されます (したがって、ピタゴラス三つ組を含めることができます) 。この設定では、ピタゴラス四重項( a、b、c、d ) は、空間対角線の長さが整数である、辺の長さが整数| a |、| b |、| c |の直方体を定義します。この解釈では、ピタゴラス四重項はピタゴラスの箱とも呼ばれます。^[2]この記事では、特に断りのない限り、ピタゴラスの四倍体の値はすべて正の整数であると仮定します。

原始四重項のパラメータ化

ピタゴラス四重項は、その要素の最大公約数が1である場合、原始ピタゴラス四重項と呼ばれます。すべてのピタゴラス四重項は、原始四重項の整数倍です。aが奇数となる原始ピタゴラス四重項の集合は、以下の式で生成できます。ここで、 m、n、p、qは、最大公約数が1で、 m + n + p + qが奇数となる非負整数です。^{[3] [4] [1]}したがって、すべての原始ピタゴラス四重項は次の恒等式で特徴付けられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$$

代替パラメータ化

すべてのピタゴラス四倍体（非原始数、繰り返しを含むが、a、b、cはすべての可能な順序で現れるわけではない）は、2つの正の整数aとbから次のように生成できます

aとb が異なる偶奇性を持つ場合、p をa ² + b ²の任意の因数とし、 p ² < a ² + b ²を満たすものとする。このときc = ⁠a ² + b ² − p ²/2 p⁠そしてd = ⁠a ² + b ² + p ²/2 p⁠ . p = d − cであることに注意してください。

同様の方法^{[5]が存在し、} aとb が両方とも偶数となるピタゴラスの四倍数をすべて生成することができる。l = ⁠a/2⁠そしてm = ⁠b/2⁠そしてnをl ² + m ²の因数とし、 n ² < l ² + m ²と。するとc = ⁠l ² + m ² − n ²/n⁠そしてd = ⁠l ² + m ² + n ²/nこの方法は、 lとm がすべての自然数のペアを実行し、 n が各ペアのすべての許容値を実行するときに、すべてのピタゴラス四倍数をそれぞれ正確に 1 回生成します。

aとbの両方が奇数の場合、そのような方法は存在せず、その場合、前のセクションのパラメーター化からわかるように、解は存在しません。

性質

積abcdを常に割り切れる最大の数は12です。^[6]積が最小となる4倍数は(1, 2, 2, 3)です

ピタゴラスの四つ組が与えられている場合、はその四つ組のノルムとして定義でき、 はピタゴラスの三つ組の斜辺に類似しています。 ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

1と5以外のすべての奇数の正の数は、0より大きく互いに素であるような原始ピタゴラス四倍体のノルムになることができる。 ^[7] 1と5を除く29までの奇数をノルムとするすべての原始ピタゴラス四倍体は、以下の表に示されている。 ${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle a,b,c}$

ピタゴラスの三つ組が別個の直角三角形を生成するのと同様に、ピタゴラスの四つ組は別個のヘロン三角形を生成します。^[8] a、b、c、dがピタゴラスの四つ組で、次のとおり 辺がx、y、zのヘロン三角形を生成します。半周は、面積は、内接円はを持ちます。 ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=d^{2}-a^{2}\\y&=d^{2}-b^{2}\\z&=d^{2}-c^{2}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle s=d^{2}}$ ${\textstyle A=abcd}$ ${\textstyle r=abc/d}$

外半径は次のようになります:外半径は次のようになります: $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{x}&=bcd/a,\\r_{y}&=acd/b,\\r_{z}&=abd/c.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle R={\frac {(d^{2}-a^{2})(d^{2}-b^{2})(d^{2}-c^{2})}{4abcd}}={\frac {abcd(1/a^{2}+1/b^{2}+1/c^{2}-1/d^{2})}{4}}}$$

このクラスのヘロン三角形の面積の順序付けられたシーケンスは、（OEISのシーケンスA367737）で見つけることができます。

四元数と有理直交行列との関係

( m , n , p , q )でパラメータ化された原始ピタゴラス四元数( a , b , c , d )は、 i、j、k が張る四元数の部分空間に制限されたフルヴィッツ四元数 α = m + ni + pj + qk による共役 α (⋅) αの行列表現E ( α )の最初の列に対応し、これは次のように与えられます。ここで、列は互いに直交し、それぞれがノルムdを持ちます。さらに、次の関係が成り立ちます。 $${\displaystyle E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},}$$ 1/d⁠ E ( α )は直交群 に属し、実際、有理係数を持つすべての3×3直交行列はこのようにして生じます。 ^[9] ${\displaystyle SO(3,\mathbb {Q} )}$

小さなノルムを持つ原始ピタゴラス四倍数

すべての要素が 30 未満である原始ピタゴラスの四倍数は 31 個あります。

（	1	、	2	、	2	、	3	）	（	2	、	10	、	11	、	15	）	（	4	、	13	、	16	、	21	）	（	2	、	10	、	25	、	27	)
（	2	、	3	、	6	、	7	）	（	1	、	12	、	12	、	17	）	（	8	、	11	、	16	、	21	）	（	2	、	14	、	23	、	27	)
（	1	、	4	、	8	、	9	）	（	8	、	9	、	12	、	17	）	（	3	、	6	、	22	、	23	）	（	7	、	14	、	22	、	27	)
（	4	、	4	、	7	、	9	）	（	1	、	6	、	18	、	19	）	（	3	、	14	、	18	、	23	）	（	10	、	10	、	23	、	27	)
（	2	、	6	、	9	、	11	）	（	6	、	6	、	17	、	19	）	（	6	、	13	、	18	、	23	）	（	3	、	16	、	24	、	29	)
（	6	、	6	、	7	、	11	）	（	6	、	10	、	15	、	19	）	（	9	、	12	、	20	、	25	）	（	11	、	12	、	24	、	29	)
（	3	、	4	、	12	、	13	）	（	4	、	5	、	20	、	21	）	（	12	、	15	、	16	、	25	）	（	12	、	16	、	21	、	29	)
（	2	、	5	、	14	、	15	）	（	4	、	8	、	19	、	21	）	（	2	、	7	、	26	、	27	)

参照

• ビール予想
• オイラー予想
• オイラーのべき乗和予想
• 3次元回転に関するオイラー・ロドリゲスの公式
• フェルマーの立方方程式
• ヤコビ＝マッデン方程式
• ラグランジュの四平方定理（すべての自然数は4つの整数の平方の和として表すことができる）
• ルジャンドルの三平方定理（自然数は整数の3つの平方の和として表すことはできない）
• プルーエ・タリー・エスコット問題
• 四元数と空間回転
• タクシー番号

参考文献

1. R. Spira,ディオファントス方程式x ² + y ² + z ² = m ² , Amer. Math. Monthly Vol. 69 (1962), No. 5, 360–365
2. RA BeauregardとER Suryanarayan、「ピタゴラスの箱」、Math. Magazine 74 (2001)、222–227。
3. RDカーマイケル、「ディオファントス分析」、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1915年。
4. LE Dickson、「数の理論と数学の他の分野との関係」、ヴィラ (アンリ) 編、一般会議、国際数学会議、ストラスブール、トゥールーズ、1921 年、41–56 ページ。再版ネンデルン/リヒテンシュタイン: クラウス再版限定、1967 年。作品集 2、579 ～ 594 ページ。
5. Sierpiński、Wacław、 Pythagorean Triangles、Dover、2003 (原文は 1962)、p.102–103。
6. MacHale, Des、van den Bosch, Christian、「ピタゴラスの三つ組に関する結果の一般化」、 Mathematical Gazette 96、2012年3月、91-96ページ。
7. "OEIS A005818". 整数列のオンライン百科事典.
8. "OEIS A367737". 整数列のオンライン百科事典.
9. J.クレモナ、「編集者への手紙」、アメリカ数学月刊94（1987）、757-758。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ピタゴラスの四倍数」。MathWorld
• ワイスタイン、エリック・W.「ルベーグの恒等式」。MathWorld。

• カーマイケル。プロジェクト・グーテンベルクにおけるディオファントス分析

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