複素二次多項式

Quadratic polynomial

複素二次多項式は、係数と変数が複素数である二次多項式です。

プロパティ

二次多項式は、形式に関係なく、次の特性を持ちます。

• これは単臨界多項式であり、つまり、複素平面に1つの有限臨界点を持ちます。力学平面は最大2つの盆地で構成されます。無限盆地と有限臨界点の盆地（有限臨界点が脱出しない場合）
• 臨界点は周期的または前周期的であるため、臨界点の軌道は有限である可能性がある。[ 1 ^]
• これは単峰性関数であり、
• これは有理関数であり、
• それは完全な関数です。

フォーム

二次多項式に変数が 1 つだけある場合 (単変数)、その 4 つの主な形式を区別できます。

• 一般的な形式：ここで ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$
• ロジスティックマップに使用される因数分解形式: ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$
• ${\displaystyle f_{\theta }(x)=x^{2}+\lambda x}$原点に乗数を持つ不等点を持つ^[2] ${\displaystyle \lambda =e^{2\pi \theta i}}$
• 一元的かつ中心化された形態、 ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

モニックで中心化された形式は広く研究されており、次のような特性があります。

• これは、 1つの係数（パラメータ）を持つ非線形 関数の最も単純な形式である。
• これは中心多項式である（臨界点の和はゼロである）。^[3]
• それは二項式である

ラムダ形式は次のとおりです。 ${\displaystyle f_{\lambda }(z)=z^{2}+\lambda z}$

• 摂動を受けていない系に対する最も単純な非自明な摂動 ${\displaystyle z\mapsto \lambda z}$
• 「小さな因子問題が安定であるために明示的に必要かつ十分な条件が知られている最初の力学系族」 ^[4]

活用

フォーム間

は二次多項式の一般形とアフィン共役であるため、複雑なダイナミクスの研究や、マンデルブロ集合、ジュリア集合、ファトゥ集合のイメージの作成によく使用されます。 ${\displaystyle f_{c}(x)}$

からに変更したい場合：^[2] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

からに変更したい場合、パラメータ変換は^{[5]である。} ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

そして、とにおける変数間の変換は ${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$ ${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

倍増マップ付き

二項変換（倍加写像）とc = –2 の二次多項式の場合の間には半共役性が存在します。

表記

反復

ここで は関数のn回目の反復を表します。 ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

それで

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

指数関数との混同の可能性があるため、のn回目の反復を と書く人もいます。 ${\displaystyle f^{\circ n}}$ ${\displaystyle f}$

パラメータ

モニック形式と中央形式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

• パラメータ ${\displaystyle c}$
• 着地する光線の外角: ${\displaystyle \theta }$
  • パラメータ平面上のマンデルブロ集合のcにおいて
  • 臨界値について：動的平面上のジュリア集合におけるz = c

それで ：

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

例:

• cはマンデルブロ集合の1/6外光線の着地点であり、（i^2=-1）である。 ${\displaystyle z\to z^{2}+i}$
• cは5/14外部光線の着地点であり、 ${\displaystyle z\to z^{2}+c}$ ${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

地図

ドゥアディ・ハバード二次多項式族と呼ばれることもある単項式と中心化された形式^[6]は、通常、変数とパラメータとともに使用されます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

離散非線形力学系の進化関数として用いる場合

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

これは二次 写像と呼ばれます。^[7]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

マンデルブロ集合は、初期条件z ₀ = 0 によって反復が無限大に発散しないパラメータcの値の集合です。

重要なアイテム

重要なポイント

複素平面

の臨界点とは、力学平面上の点であり、その導関数はゼロとなる。 ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle z_{cr}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{cr})=0.}$

以来

${\displaystyle f_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z}$

暗示する

${\displaystyle z_{cr}=0,}$

の唯一の（有限の）臨界点は点 であることが分かります。 ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{0}}$マンデルブロ集合反復の初期点である。^[8]

二次族の場合、臨界点z = 0はジュリア集合Jcの対称中心であるため、Jc内の2点の凸結合となる。^[9] ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

拡張複素平面

リーマン球面多項式には2d-2個の臨界点があります。ここで、零点と無限大は臨界点です。

臨界値

の臨界値 は臨界点の像である。 ${\displaystyle z_{cv}}$ ${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

以来

${\displaystyle z_{cr}=0}$

我々は持っています

${\displaystyle z_{cv}=c}$

したがって、パラメータは の臨界値です。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)}$

臨界レベル曲線

臨界水準曲線とは、臨界点を含む水準曲線のことである。これは力学面の 骨格^{[10]のような役割を果たす。}

例: 等高線は鞍点で交差しますが、鞍点は特別な種類の臨界点です。

• 
  引き付ける
• 
  引き付ける
• 
  引き付ける
• 
  放物線
• 内部光線0に沿ったcのビデオ

限界値設定

臨界限界集合は、すべての臨界点の前方軌道の集合である。

臨界軌道

臨界軌道が3周期サイクルに陥る力学面

ジュリア集合と臨界軌道を持つ力学平面。

動的平面：角度1/6における主心面の内部光線に沿った臨界軌道の変化

臨界軌道は弱吸引固定点に向かい、絶対値(乗数) = 0.99993612384259

臨界点の順方向軌道は臨界軌道と呼ばれます。すべての引力のある周期軌道は臨界点を引き寄せるため、臨界軌道は非常に重要です。したがって、臨界軌道を研究することは、ファトゥ集合におけるダイナミクスを理解するのに役立ちます。^{[11] [12] [13]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

この軌道は、もし存在するならば、吸引周期サイクルに入ります。

重要なセクター

臨界セクターは、臨界点を含む動的平面のセクターです。

クリティカルセット

臨界集合とは、臨界点の集合である。

臨界多項式

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

それで

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

これらの多項式は次の目的で使用されます。

• これらのマンデルブロ集合の周期nの成分の中心を求める。中心はn次の臨界多項式の根である。

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• マンデルブロ集合の周期nの成分の根を求める（局所最小値） ${\displaystyle P_{n}(c)}$
• ミシュウレヴィッツ氏は指摘する

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

臨界曲線

臨界曲線

臨界多項式の図は臨界曲線と呼ばれる。^[14]

これらの曲線は分岐図の骨格（濃い線）を形成します。^{[15] [16]}

空間、平面

4D空間

この力学系の全体解析にはジュリア・マンデルブロ4次元（4D）空間を用いることができる。 ^[17]

w面とc面

この空間には、2 つの基本的なタイプの 2D 平面があります。

• 動的平面、-平面、または c -平面 ${\displaystyle f_{c}}$
• パラメータ平面またはZ平面

このような動的システムを解析するために使用される別の平面もあります w平面:

• 共役面^[18]
• 模型飛行機^[19]

2Dパラメータ平面

• パラメータ平面の種類
• 
  rパラメータ平面（ロジスティックマップ）
• 
  cパラメータ平面

二次写像の位相空間はそのパラメータ平面と呼ばれる。ここで、

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$定数であり、変数です。 ${\displaystyle c}$

ここにはダイナミクスはありません。パラメータ値の集合のみで、パラメータ平面上に軌道はありません。

パラメータ プレーンは次の要素で構成されます。

• マンデルブロ集合
  • 分岐軌跡=マンデルブロ集合の 境界
    • ルートポイント
  • マンデルブロ集合の有界双曲成分 =内部光線を持つマンデルブロ集合^{[20]の内部}
• マンデルブロ集合の外観
  • 外部光線
  • 等電位線

パラメータ平面には多くの異なるサブタイプが存在する。^{[21] [22]}

乗数マップ

参照:

• マンデルブロ集合の外形を単位円の外形に写像するベッチャー写像
• マンデルブロ集合の双曲成分の内部を単位円の内部に写像する乗数写像

2D動的平面

多項式Pcは、各動的光線を角度を2倍にした別の光線（角度は0 = 1 = 2π rad = 360°で測定する）に写像し、任意の多項式の動的光線は無限大付近では「直線のように見える」。これにより、マンデルブロ集合とジュリア集合を組合せ論的に研究することができ、動的平面を単位円に、光線を角度に、二次多項式を1を法とする2倍写像に置き換えることができる。Virpi Kauko ^[23]

動的平面上では次のことがわかります。

• ジュリア集合
• 満たされたジュリア集合
• ファトゥセット
• 軌道

動的平面は以下から構成されます:

• ファトゥセット
• ジュリア集合

ここで、は定数、は変数です。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$

2次元力学平面は、連続力学系の3次元空間のポアンカレ断面として扱うことができる。 ^{[24] [25]}

動的z平面は 2 つのグループに分けられます。

• ${\displaystyle f_{0}}$平面（複素平方マップを参照） ${\displaystyle c=0}$
• ${\displaystyle f_{c}}$飛行機（その他すべての飛行機） ${\displaystyle c\neq 0}$

リーマン球面

拡張複素平面と無限遠点

• リーマン球面

デリバティブ

に関する一次導関数c

パラメータ平面上:

• ${\displaystyle c}$変数である
• ${\displaystyle z_{0}=0}$一定である

cに関する1次導関数は ${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

この導関数は、次の反復計算によって求めることができる。

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

そして、各ステップごとに交換する

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

これは、微分に対する連鎖律を使用することで簡単に検証できます。

この導関数は、マンデルブロ集合を描画するための距離推定法で使用されます。

に関する一次導関数z

動的平面上:

• ${\displaystyle z}$変数です。
• ${\displaystyle c}$定数です。

固定点 において、 ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

周期pの周期点z ₀において、関数の1次導関数は

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

はしばしば乗数またはリアプノフ特性数で表され、その対数はリアプノフ指数として知られています。乗数の絶対値は、周期点（固定点も含む）の安定性を確認するために使用されます。 ${\displaystyle \lambda }$

非周期点において、 で表される導関数は、から始まる反復計算によって求めることができる。 ${\displaystyle z'_{n}}$

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

そして、

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

この導関数は、ジュリア集合への外部距離を計算するために使用されます。

シュワルツ微分

fのシュワルツ微分（略してSD）は^[26]である。

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

参照

• ミシュウレヴィッツ点
• 複素二次写像の周期点
• マンデルブロ集合
• ジュリア集合
• ミルナー・サーストン混練理論
• テントマップ
• ロジスティックマップ

参考文献

1. ポワリエ、アルフレド (1993). 「ポスト臨界有限多項式について、第1部：批判的肖像」. arXiv : math/9305207 .
2. "Michael Yampolsky、Saeed Zakeri : Mating Siegel quadratic polynomials" (PDF) .
3. Bodil Branner：複素平面における正則力学系．Mat-Report No 1996-42．デンマーク工科大学
4. 動的システムと小さな因子、編集者：ステファノ・マルミ、ジャン＝クリストフ・ヨッコ、46ページ
5. 「よく知られているロジスティック写像$x_{n+1} = sx_n(1 - x_n)$が$x_{n+1} = x_n^2 + c$という形に書き直せることを示してください」。Mathematics Stack Exchange。
6. Yunping Jing：マンデルブロ集合の特定の無限再正規化点における局所連結性 複雑ダイナミクスと関連トピック、New Studies in Advanced Mathematics、2004年、The International Press、236-264
7. Weisstein, Eric W. 「二次写像」. mathworld.wolfram.com .
8. マンデルブロ反復の初期点を変更した結果を示すDieter RößによるJavaプログラム。2012年4月26日Wayback Machineにアーカイブ。
9. 「凸ジュリア集合」。MathOverflow 。
10. リチャーズ、トレバー (2015年5月11日). 「コンパクト集合上の解析関数の共形同値性」. arXiv : 1505.02671v1 [math.CV].
11. M. Romera Archived 22 June 2008 at the Wayback Machine、 G. Pastor Archived 1 May 2008 at the Wayback Machine、 F. Montoya : Multifurcations in nonhyperbolic fixed points of the Mandelbrot map. Archived 11 December 2009 at the Wayback Machine Fractalia Archived 19 September 2008 at the Wayback Machine 6, No. 21, 10-12 (1997)
12. バーンズAM：「脱出のプロット：マンデルブロ集合における放物線分岐のアニメーション」数学雑誌、第75巻、第2号（2002年4月）、pp. 104–116
13. 「カーンアカデミー」。カーンアカデミー。
14. リチャード・D・ナイディンガーとR・ジョン・アネン3世著『混沌への道は多項式曲線で満ちている』アメリカ数学月刊誌、第103巻第8号、1996年10月、640-653頁
15. Hao, Bailin (1989). 散逸系における初等記号力学とカオス. World Scientific . ISBN 9971-5-0682-3. 2009年12月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2009年12月2日閲覧。
16. 「M. Romera, G. Pastor and F. Montoya, "Misiurewicz points in one-dimensional quadratic maps", Physica A, 232 (1996), 517-535. プレプリント」(PDF)。2006年10月2日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
17. 「MROBにおけるジュリア・マンデルブロ空間、Mu-Ency」www.mrob.com。
18. カールソン、レナート、ガメリン、セオドア・W.：複素ダイナミクスシリーズ：ユニバーシテキスト、サブシリーズ：ユニバーシテキスト：数学論、第1版。1993年。訂正。第2刷、1996年、IX、192ページ。28ページ、 ISBN 978-0-387-97942-7
19. P Roesch 著「正則運動とパズル」
20. Rempe, Lasse; Schleicher, Dierk (2008年5月12日). 「指数写像と二次多項式の分岐軌跡：局所連結性、ファイバーの自明性、双曲性密度」arXiv : 0805.1658 [math.DS].
21. 「ジュリア集合とマンデルブロ集合、交互平面」aleph0.clarku.edu。
22. 「MROBの指数マップ、Mu-Ency」mrob.com。
23. マンデルブロ集合の可視成分の木、Virpi K auko著、FUNDAM EN TA MATHEMATICAE 164 (2000)
24. 「マンデルブロ集合は数学者ブノワ・Bにちなんで名付けられました」。www.sgtnd.narod.ru。
25. Moehlis, Kresimir Josic, Eric T. Shea-Brown (2006) 周期軌道. Scholarpedia,
26. 「講義ノート | 数学的解説 | 数学」. MIT OpenCourseWare .

外部リンク

• モニカ・ネヴィンズとトーマス・D・ロジャース、「p進数上の動的システムとしての二次写像^{[永久リンク切れ]}」
• ヴォルフ・ユング：マンデルブロ集合の辺上の同相写像。2002年博士論文
• 二次写像についてもっと詳しく：二次写像

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