質的変動

Statistical dispersion in nominal distributions

質的変動指数（IQV ）は、名目分布における統計的分散の尺度です。例としては、変動率や情報エントロピーなどが挙げられます。

プロパティ

名目データの分析に用いられる指標にはいくつかの種類があります。範囲、標準偏差、分散、平均偏差、変動係数、中央絶対偏差、四分位範囲、四分位偏差など、他の分野でも用いられる標準的な統計量もいくつかあります。

これらに加えて、名目データを考慮した統計量もいくつか開発されています。ウィルコックス（Wilcox 1967）、（Wilcox 1973）は、以下の標準化特性を満たすことを要求し、いくつかの統計量をまとめ、考案しました。

• 変動は0から1の間で変化します。
• すべてのケースが単一のカテゴリに属する​​場合にのみ、変動は 0 になります。
• 変動は、すべてのカテゴリにわたって症例が均等に分かれている場合にのみ1になります。^[1]

特に、これらの標準化された指標の値は、カテゴリの数やサンプルの数に依存しません。

どの指標でも、分布が均一に近いほど分散は大きくなり、カテゴリ間の頻度の差が大きいほど分散は小さくなります。

質的変動の指標は情報エントロピーに類似しており、情報エントロピーはすべての事例が単一のカテゴリに属する​​場合に最小となり、一様分布において最大となる。実際、情報エントロピーは質的変動の指標として用いることができる。

特定の質的変動指標 (IQV) の特徴の 1 つは、観測された差と最大差の比率として表されることです。

ウィルコックスの指数

ウィルコックスは、QV のさまざまな指標についていくつかの公式を提示しています (Wilcox 1973)。最初の公式は、彼が「最頻値からの偏差」の略で DM と名付けたもので、変動率の標準化された形式であり、平均からの偏差としての分散に類似しています。

モッドVR

モード周辺の変動 (ModVR) の式は次のように導出されます。

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{K}(f_{m}-f_{i})}$

ここで、f _mはモード頻度、Kはカテゴリの数、f _iはi^番目のグループの頻度です。

これを簡略化すると

${\displaystyle M=Kf_{m}-N}$

ここで、Nはサンプルの合計サイズです。

フリーマン指数（または変動率）は^[2]

${\displaystyle v=1-{\frac {f_{m}}{N}}}$

これはMと次のように関係します。

${\displaystyle {\frac {({\frac {f_{m}}{N}})-{\frac {1}{K}}}{{\frac {N}{K}}{\frac {(K-1)}{N}}}}={\frac {M}{N(K-1)}}}$

ModVRは次のように定義されます

${\displaystyle \operatorname {ModVR} =1-{\frac {Kf_{m}-N}{N(K-1)}}={\frac {K(N-f_{m})}{N(K-1)}}={\frac {Kv}{K-1}}}$

ここで、vはフリーマン指数です。

ModVR の値が小さいほど変動量が少なくなり、値が大きくなるほど変動量が多くなります。

Kが大きい場合、ModVR は Freeman の指数 vとほぼ等しくなります。

ランVR

これはモード付近の範囲に基づいており、次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {RanVR} =1-{\frac {f_{m}-f_{l}}{f_{m}}}={\frac {f_{l}}{f_{m}}}}$

ここで、f _mはモード周波数、f _lは最低周波数です。

AvDev

これは平均偏差の類似物です。平均値からの各値の絶対値の差の算術平均として定義されます。

${\displaystyle \operatorname {AvDev} =1-{\frac {1}{2N}}{\frac {K}{K-1}}\sum _{i=1}^{K}\left|f_{i}-{\frac {N}{K}}\right|}$

MNDif

これは平均差、つまり符号に関係なく、すべての可能な変量値のペアの差の平均に類似したものです。平均差は、ある中心値からの偏差ではなく、変量値同士の広がりに依存するため、平均や標準偏差とは異なります。^[3]

${\displaystyle \operatorname {MNDif} =1-{\frac {1}{N(K-1)}}\sum _{i=1}^{K-1}\sum _{j=i+1}^{K}|f_{i}-f_{j}|}$

ここで、 f _iとf _jはそれぞれi^番目の周波数とj^番目の周波数です。

MNDif は質的データに適用されるジニ係数です。

ヴァーNC

これは分散の類似物です。

${\displaystyle \operatorname {VarNC} =1-{\frac {1}{N^{2}}}{\frac {K}{K-1}}\sum \left(f_{i}-{\frac {N}{K}}\right)^{2}}$

^{これはミュラーとシュスラーの質的変動指数[4]}やギブスのM2指数と同じ指数である。

これは自由度K  -1のカイ二乗変数として分布する。^[5]

標準偏差

ウィルソン氏はこの統計について2つのバージョンを提案している。

1 つ目は AvDev に基づいています。

${\displaystyle \operatorname {StDev} _{1}=1-{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{K}\left(f_{i}-{\frac {N}{K}}\right)^{2}}{\left(N-{\frac {N}{K}}\right)^{2}+(K-1)\left({\frac {N}{K}}\right)^{2}}}}}$

2番目はMNDifに基づいています

${\displaystyle \operatorname {StDev} _{2}=1-{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{K-1}\sum _{j=i+1}^{K}(f_{i}-f_{j})^{2}}{N^{2}(K-1)}}}}$

HRel

このインデックスは、もともと通信チャネルの特性を指定するためにクロード・シャノンによって開発されました。

${\displaystyle \operatorname {HRel} ={\frac {-\sum p_{i}\log _{2}p_{i}}{\log _{2}K}}}$

ここでp _i = f _i / Nです。

これは情報エントロピーを で割った値に相当し、複数のサイズの頻度表間の相対的な変動を比較するのに役立ちます。 ${\displaystyle \log _{2}(K)}$

B指数

^{ウィルコックスはカイザー[6]}の提案を幾何平均に基づいて採用し、B'指数を作成した。B指数は以下のように定義される。

${\displaystyle B=1-{\sqrt {1-\left[{\sqrt[{k}]{\prod _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}K}{N}}}}\,\right]^{2}}}}$

Rパッケージ

これらの指標のいくつかはR言語で実装されている。^[7]

ギブ指数と関連公式

ギブスとポストン・ジュニア（1975）は6つの指標を提案した。^[8]

M1

標準化されていない指数（M 1）（Gibbs & Poston Jr 1975, p. 471）は

${\displaystyle M1=1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

ここで、Kはカテゴリの数であり、特定のカテゴリiに該当する観測値の割合です。 ${\displaystyle p_{i}=f_{i}/N}$

M 1 は、ランダムに選ばれた2つのサンプルが同じカテゴリーに属する尤度から1を引いたものと解釈できます^[9]。したがって、このIQVの式は、ランダムに選ばれた2つのサンプルが同じカテゴリーに属する標準化された尤度です。この指標は、使用される文脈に応じて、分化指数、生存分化指数、地理的分化指数などとも呼ばれます。

M2

2番目の指標はM2 ^[10] (Gibbs & Poston Jr 1975, p. 472)である。

${\displaystyle M2={\frac {K}{K-1}}\left(1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}\right)}$

ここで、Kはカテゴリの数、は特定のカテゴリiに属する観測値の割合です。 の係数は標準化のために使用されます。 ${\displaystyle p_{i}=f_{i}/N}$ ${\displaystyle {\frac {K}{K-1}}}$

M 1 とM 2 は、多項分布（Swanson 1976）の分散の観点から解釈できます（ここでは「拡張二項モデル」と呼ばれます）。M 1は多項分布の分散であり、M 2 は多項分布の分散と二項分布の分散の比です。

M4

M4指数は

${\displaystyle M4={\frac {\sum _{i=1}^{K}|X_{i}-m|}{2\sum _{i=1}^{K}X_{i}}}}$

ここで、mは平均です。

M6

M6の式は

${\displaystyle M6=K\left[1-{\frac {\sum _{i=1}^{K}|X_{i}-m|}{2N}}\right]}$

· ここで、Kはカテゴリの数、X _iはi^番目のカテゴリのデータポイントの数、Nはデータポイントの総数、||は絶対値（係数）であり、

${\displaystyle m={\frac {\sum _{i=1}^{K}X_{i}}{N}}}$

この式は簡略化できる

${\displaystyle M6=K\left[1-{\frac {\sum _{i=1}^{K}\left|p_{i}-{\frac {1}{N}}\right|}{2}}\right]}$

ここで、p _iはi^番目のカテゴリにおけるサンプルの割合です。

実際には、M 1 とM 6 は相関性が高い傾向があるため、これらを組み合わせて使用​​することは好ましくありません。

関連指標

合計

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

応用も見出されている。これは生態学ではシンプソン指数、経済学ではハーフィンダール指数またはハーフィンダール・ヒルシュマン指数（HHI）として知られている。微生物学ではハンター・ガストン指数として知られている^[11]。

言語学と暗号解読学では、この合計は繰り返し率として知られています。一致発生率（IC ）は、この統計量の不偏推定値です^[12]

${\displaystyle \operatorname {IC} =\sum {\frac {f_{i}(f_{i}-1)}{n(n-1)}}}$

ここで、f _iはテキスト内のi^番目の グラフィムの数であり、 nはテキスト内のグラフィムの総数です。

M1​

上記で定義されたM 1統計量は、様々な状況において様々な名称で幾度も提案されてきました。例えば、ジニの可変性指数^[13]、シンプソンの多様性指標^[14]、バキの言語的同質性指数^[15]、ミュラーとシュースラーの質的変動指数^[16]、ギブスとマーティンの産業多様化指数^[17] 、リーバーソン指数^[18]、そして社会学、心理学、経営学におけるブラウ指数^[19]などが挙げられます。これらの指数の定式化はすべて同一です。

シンプソンのDは次のように定義される。

${\displaystyle D=1-\sum _{i=1}^{K}{\frac {n_{i}(n_{i}-1)}{n(n-1)}}}$

ここで、 nは合計サンプルサイズ、n _i^{は i番目の}カテゴリ内の項目数です。

nが大きい場合、

${\displaystyle u\sim 1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

提案されているもう一つの統計は、0から1の範囲の非類似性係数である。^[20]

${\displaystyle u={\frac {c(x,y)}{n^{2}-n}}}$

ここで、nはサンプルサイズであり、xとyが異なっている場合はc ( x , y ) = 1 となり、それ以外の場合は 0 となります。

nが大きい場合、

${\displaystyle u\sim 1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

ここで、Kはカテゴリの数です。

もう一つの関連統計は2次エントロピーである。

${\displaystyle H^{2}=2\left(1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}\right)}$

これはジニ係数と関連しています。

M2​

グリーンバーグの単一言語非加重言語多様性指数^{[21]は、上で定義された}M2統計量である。

M7​

もう一つの指数であるM7は、ギブスとポストン・ジュニア（1975）のM4指数に基づいて作成された^[22]

${\displaystyle M7={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{L}|R_{i}-R|}{2\sum R_{i}}}}$

どこ

${\displaystyle R_{ij}={\frac {O_{ij}}{E_{ij}}}={\frac {O_{ij}}{n_{i}p_{j}}}}$

そして

${\displaystyle R={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{L}R_{ij}}{\sum _{i=1}^{K}n_{i}}}}$

ここで、Kはカテゴリの数、Lはサブタイプの数、O _ijとE _ijはそれぞれi^番目のカテゴリ内のサブタイプjの観測数と期待数、n _iはi^番目のカテゴリの数、p _jは完全なサンプル内の サブタイプjの割合です。

注: この指標は職場における女性の参加を測定するために設計されており、開発された対象は男性と女性の 2 つのサブタイプです。

その他の単一サンプル指数

これらの指標は、サンプル内の変動の要約統計です。

バーガー・パーカー指数

ヴォルフガング・H・バーガーとフランシス・ローレンス・パーカーにちなんで名付けられたバーガー・パーカー指数は、データセット内の最大値、すなわち最も豊富な種類の相対的存在量に等しい。 ^{[23]これは、} qが無限大に近づくときの値の加重一般化平均に対応し、したがって、真の多様性の逆数である無限大（1/ ^∞D ）に等しい。 ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

ブリルアン多様性指数

この指標は、有限の標本ではなく、母集団全体にのみ厳密に適用可能である。それは次のように定義される。

${\displaystyle I_{B}={\frac {\log(N!)-\sum _{i=1}^{K}(\log(n_{i}!))}{N}}}$

ここで、Nは集団内の個体の総数、n _iはi^番目のカテゴリに属する​​個体の数、 N ! はNの階乗である。ブリルアンの均等指数は次のように定義される。

${\displaystyle E_{B}=I_{B}/I_{B(\max )}}$

ここで、I _{B (max)は}I _Bの最大値です。

ヒルの多様性数値

ヒルは多様性の数値のファミリーを提案した^[24]

${\displaystyle N_{a}={\frac {1}{\left[\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{a}\right]^{a-1}}}}$

aの値が与えられれば、他のいくつかの指標も計算できる。

• a = 0: N _a = 種の豊富さ
• a = 1: N _a = シャノン指数
• a = 2: N _a = 1/シンプソン指数（小標本補正なし）
• a = 3: N _a = 1/バーガー・パーカー指数

ヒルはまた、均等性の尺度群を提案した。

${\displaystyle E_{a,b}={\frac {N_{a}}{N_{b}}}}$

ここでa > b です。

ヒルズE4は_​

${\displaystyle E_{4}={\frac {N_{2}}{N_{1}}}}$

ヒルズE5は_​

${\displaystyle E_{5}={\frac {N_{2}-1}{N_{1}-1}}}$

マルガレフ指数

${\displaystyle I_{\text{Marg}}={\frac {S-1}{\log _{e}N}}}$

ここで、Sはサンプル内のデータ型の数であり、Nはサンプルの合計サイズである。^[25]

メンヒニック指数

${\displaystyle I_{\mathrm {Men} }={\frac {S}{\sqrt {N}}}}$

ここで、Sはサンプル内のデータ型の数であり、Nはサンプルの合計サイズである。^[26]

言語学では、この指標はクラスキエヴィチ指標（ギアール指標）と同一であり、Sは異なる単語（タイプ）の数、Nは検査対象のテキスト内の単語（トークン）の総数である。^{[27] [28]}この指標は、一般化トルキスト関数の特殊なケースとして導出することができる。^[29]

Q統計量

^{これはケンプトンとテイラー[30]}によって考案された統計量であり、標本の四分位数を用いて以下のように定義される。

${\displaystyle Q={\frac {{\frac {1}{2}}(n_{R1}+n_{R2})+\sum _{j=R_{1}+1}^{R_{2}-1}n_{j}}{\log(R_{2}/R_{1})}}}$

ここで、R ₁とR ₂はそれぞれ累積種曲線上の 25% と 75% の四分位数、n _jはj_番目のカテゴリ内の種の数、n _RiはR _iが該当するクラス内の種の数( i = 1 または 2) です。

シャノン・ウィーナー指数

これは情報理論から引用したものです

${\displaystyle H=\log _{e}N-{\frac {1}{N}}\sum n_{i}p_{i}\log(p_{i})}$

ここで、Nはサンプルの合計数、p _iはi^番目のカテゴリの割合です。

この指標が一般的に使用される生態学では、H は通常 1.5 から 3.5 の間であり、4.0 を超えることはまれです。

Hの標準偏差（SD）のおおよその式は

${\displaystyle \operatorname {SD} (H)={\frac {1}{N}}\left[\sum p_{i}[\log _{e}(p_{i})]^{2}-H^{2}\right]}$

ここで、p _iはi^番目のカテゴリが構成する割合であり、 Nはサンプルの合計です。

Hの分散のより正確な近似値（var( H )）は^[31]で与えられる。

${\displaystyle \operatorname {var} (H)={\frac {\sum p_{i}[\log(p_{i})]^{2}-\left[\sum p_{i}\log(p_{i})\right]^{2}}{N}}+{\frac {K-1}{2N^{2}}}+{\frac {-1+\sum p_{i}^{2}-\sum p_{i}^{-1}\log(p_{i})+\sum p_{i}^{-1}\sum p_{i}\log(p_{i})}{6N^{3}}}}$

ここで、Nはサンプルサイズ、Kはカテゴリの数です。

関連する指標として、次のように定義されるピエロウJがある。

${\displaystyle J={\frac {H}{\log _{e}(S)}}}$

この指標の難点の一つは、有限サンプルの場合、Sが不明であることです。実際には、 Sは通常、サンプル内の任意のカテゴリにおける最大値に設定されます。

レニエントロピー

レーニエントロピーは、シャノンエントロピーをqが1以外の値に一般化したものです。以下のように表すことができます。

${\displaystyle {}^{q}H={\frac {1}{1-q}}\;\ln \left(\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{q}\right)}$

これは

${\displaystyle {}^{q}H=\ln \left({1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{K}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}\right)=\ln({}^{q}\!D)}$

これは、任意のqの値に基づいて真の多様性の対数を取ると、同じqの値に対応する Rényi エントロピーが得られることを意味します。

の値はヒル数としても知られています。^[24] ${\displaystyle {}^{q}\!D}$

マッキントッシュのDとE

マッキントッシュは多様性の尺度を提案した。^[32]

${\displaystyle I={\sqrt {\sum _{i=1}^{K}n_{i}^{2}}}}$

ここで、n _iはi^番目のカテゴリの番号であり、 Kはカテゴリの数です。

彼はこの指標の正規化バージョンをいくつか提案した。まずDは次の通りである。

${\displaystyle D={\frac {N-I}{N-{\sqrt {N}}}}}$

ここで、Nは合計サンプルサイズです。

この指標の利点は、観測された多様性を、与えられたNにおける絶対最大多様性の割合として表現できることです。

提案されているもう1つの正規化は、E （観測された多様性と、与えられたNとKの最大可能多様性の比（つまり、すべての種の個体数が等しい場合））です。

${\displaystyle E={\frac {N-I}{N-{\frac {N}{K}}}}}$

フィッシャーのアルファ

これは多様性について導き出された最初の指標であった。^[33]

${\displaystyle K=\alpha \ln(1+{\frac {N}{\alpha }})}$

ここで、Kはカテゴリ数、Nは標本内のデータポイント数です。フィッシャーのαはデータから数値的に推定する必要があります。

カテゴリーが増加するサイズで配置された場合のr^番目のカテゴリー内の個体の期待数は

${\displaystyle \operatorname {E} (n_{r})=\alpha {\frac {X^{r}}{r}}}$

ここで、Xは0から1の間の経験的パラメータである。Xは数値的に推定するのが最もよいが、次の2つの方程式を解くことで近似値を得ることができる。

${\displaystyle N={\frac {\alpha X}{1-X}}}$

${\displaystyle K=-\alpha \ln(1-X)}$

ここで、Kはカテゴリの数、Nは合計サンプル サイズです。

αの分散はおよそ^[34]

${\displaystyle \operatorname {var} (\alpha )={\frac {\alpha }{\ln(X)(1-X)}}}$

ストロング指数

この指標（Dw ）は_{、種分布の}ローレンツ曲線と45度線との間の距離であり、ジニ係数と密接な関連がある。^[35]

記号的に言えば

${\displaystyle D_{w}=max[{\frac {c_{i}}{K}}-{\frac {i}{N}}]}$

ここで、max() はN 個のデータ ポイントから取得した最大値、Kはデータ セット内のカテゴリ (または種) の数、ci_はi_番目のカテゴリまでの累積合計です。

シンプソンのE

これはシンプソンのDと関連しており、次のように定義されます。

${\displaystyle E={\frac {1/D}{K}}}$

ここで、DはシンプソンのDであり、Kはサンプル内のカテゴリの数です。

スミス＆ウィルソンの指数

スミスとウィルソンは、シンプソンのDに基づいたいくつかの指標を提案しました。

${\displaystyle E_{1}={\frac {1-D}{1-{\frac {1}{K}}}}}$

${\displaystyle E_{2}={\frac {\log _{e}(D)}{\log _{e}(K)}}}$

ここで、DはシンプソンのDであり、Kはカテゴリの数です。

ハイプ指数

${\displaystyle E={\frac {e^{H}-1}{K-1}}}$

ここで、Hはシャノンエントロピー、Kはカテゴリの数です。

この指数はシェルドン指数と密接に関連しており、

${\displaystyle E={\frac {e^{H}}{K}}}$

ここで、Hはシャノンエントロピー、Kはカテゴリの数です。

カマルゴ指数

この指標は1993年にカマルゴによって作成された。^[36]

${\displaystyle E=1-\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=i+1}^{K}{\frac {p_{i}-p_{j}}{K}}}$

ここで、Kはカテゴリの数、p _iはi^番目のカテゴリの割合です。

スミスとウィルソンのB

この指標は1996年にスミスとウィルソンによって提案されました。^[37]

${\displaystyle B=1-{\frac {2}{\pi }}\arctan(\theta )}$

ここで、θはlog(abundance)-rank曲線の傾きです。

ニー、ハーヴェイ、コトグリーブの索引

これは、log(abundance)-rank 曲線の傾きです。

ブルラのE

_{この指標には}2つのバージョンがあり、1つは連続分布用（Ec）で、もう1つは離散分布用（Ed ）で_ある。^[38]

${\displaystyle E_{c}={\frac {O-{\frac {1}{K}}}{1-{\frac {1}{K}}}}}$

${\displaystyle E_{d}={\frac {O-{\frac {1}{K}}-{\frac {K-1}{N}}}{1-{\frac {1}{K}}-{\frac {K-1}{N}}}}}$

どこ

${\displaystyle O=1-{\frac {1}{2}}\left|p_{i}-{\frac {1}{K}}\right|}$

はSchoener–Czekanoski指数、Kはカテゴリ数、Nはサンプルサイズです。

ホーンの情報理論指数

この指標（R _ik）はシャノンのエントロピーに基づいている。^[39]これは次のように定義される。

${\displaystyle R_{ik}={\frac {H_{\max }-H_{\mathrm {obs} }}{H_{\max }-H_{\min }}}}$

どこ

${\displaystyle X=\sum x_{ij}}$

${\displaystyle X=\sum x_{kj}}$

${\displaystyle H(X)=\sum {\frac {x_{ij}}{X}}\log {\frac {X}{x_{ij}}}}$

${\displaystyle H(Y)=\sum {\frac {x_{kj}}{Y}}\log {\frac {Y}{x_{kj}}}}$

${\displaystyle H_{\min }={\frac {X}{X+Y}}H(X)+{\frac {Y}{X+Y}}H(Y)}$

${\displaystyle H_{\max }=\sum \left({\frac {x_{ij}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{ij}}}+{\frac {x_{kj}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{kj}}}\right)}$

${\displaystyle H_{\mathrm {obs} }=\sum {\frac {x_{ij}+x_{kj}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{ij}+x_{kj}}}}$

これらの式では、 x _ijとx _{kj は}、それぞれj^番目のデータ型がi^番目またはk^番目のサンプルに出現する回数です。

希薄化指数

希薄標本において、合計N個の項目からランダムなサブサンプルnが選ばれます。この標本では、一部のグループがこのサブサンプルに含まれない場合があります。n個の項目のサブサンプルにまだ含まれるグループの数を とします。このサブサンプルに少なくとも1つのグループが含まれない場合、 Kはカテゴリの数よりも小さくなります。 ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

希薄化曲線は次のように定義されます。 ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}=\operatorname {E} [X_{n}]=K-{\binom {N}{n}}^{-1}\sum _{i=1}^{K}{\binom {N-N_{i}}{n}}}$

0 ≤ f ( n ) ≤ Kであることに注意してください。

さらに、

${\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(N)=K.}$

nの離散値で定義されているにもかかわらず、これらの曲線は連続関数として表示されることが最も多い。^[40]

この指標については、「希少化（生態学）」でさらに詳しく説明します。

キャスウェルのV

これはシャノンのエントロピーに基づいたZ型統計である。 ^[41]

${\displaystyle V={\frac {H-\operatorname {E} (H)}{\operatorname {SD} (H)}}}$

ここで、Hはシャノンエントロピー、E ( H )は中立分布モデルにおける期待シャノンエントロピー、SD ( H )はエントロピーの標準偏差である。標準偏差はピエロウによって導かれた式から推定される。

${\displaystyle SD(H)={\frac {1}{N}}\left[\sum p_{i}[\log _{e}(p_{i})]^{2}-H^{2}\right]}$

ここで、p _iはi^番目のカテゴリが構成する割合であり、 Nはサンプルの合計です。

ロイド＆ゲラルディの指数

これは

${\displaystyle I_{LG}={\frac {K}{K'}}}$

ここで、Kはカテゴリの数であり、K'は観測された多様性を生み出すマッカーサーの折れた棒モデルによるカテゴリの数です。

平均分類学的特徴指数

この指標は宿主と寄生虫との関係を比較するために使用されます。^[42]宿主種間の系統関係に関する情報が組み込まれています。

${\displaystyle S_{TD}=2{\frac {\sum \sum _{i<j}\omega _{ij}}{s(s-1)}}}$

ここで、sは寄生虫が利用する宿主種の数であり、ω _ijは宿主種iとj間の分類学上の相違点です。

質的変動の指標

この名前のインデックスがいくつか提案されています。

その一つは

${\displaystyle IQV={\frac {K(100^{2}-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2})}{100^{2}(K-1)}}={\frac {K}{K-1}}(1-\sum _{i=1}^{K}(p_{i}/100)^{2})}$

ここで、Kはカテゴリの数、p _{iは i}^番目のカテゴリに属する​​サンプルの割合です。

タイルのH

この指標は、マルチグループエントロピー指標または情報理論指標とも呼ばれ、1972年にTheilによって提案されました。^[43]この指標は、標本エントロピーの加重平均です。

させて

${\displaystyle E_{a}=\sum _{i=1}^{a}p_{i}log(p_{i})}$

そして

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}(E-E_{i})}{NE}}}$

ここで、p _iはa^番目のサンプルにおけるタイプiの割合、rはサンプルの総数、ni_はi^番目のサンプルのサイズ、Nはサンプルが取得された母集団のサイズ、Eは母集団のエントロピーです。

単一サンプル内の2つ以上のデータタイプを比較するための指標

これらのインデックスのいくつかは、地理的領域内で異なる種類のデータがどの程度共存できるかを文書化するために開発されました。

非類似度指数

AとBを2種類のデータ項目とすると、非類似度は

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {B_{i}}{B}}\right|}$

どこ

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle B=\sum _{i=1}^{K}B_{i}}$

A _iはサンプルサイトiにおけるデータタイプAの数、B _iはサンプルサイトiにおけるデータタイプBの数、Kはサンプリングされたサイトの数、 || は絶対値です。

この指数はおそらく非類似度指数（D）としてよく知られている。^[44]これはジニ係数と密接に関連している。

この指標は、均一分布における期待値が 0 より大きいため、偏りがあります。

この指標の修正版がゴラードとテイラーによって提案されている。^[45]彼らの指標（GT）は

${\displaystyle GT=D\left(1-{\frac {A}{A+B}}\right)}$

分離指数

分離指数（IS）^[46]は

${\displaystyle SI={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {t_{i}-A_{i}}{T-A}}\right|}$

どこ

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{K}t_{i}}$

Kはユニットの数、A _iおよびt _iはユニットiのデータ型Aの数とユニットiのすべてのデータ型の合計数です。

ハッチェンの平方根指数

この指標（H）は次のように定義される^[47]

${\displaystyle H=1-\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{i}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}}$

ここで、p _iはi^番目の変量で構成されるサンプルの割合です。

リーバーソンの孤立指数

この指数（L _xy）は1981年にリーバーソンによって発明されました。^[48]

${\displaystyle L_{xy}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}{\frac {X_{i}Y_{i}}{X_{\mathrm {tot} }}}}$

ここで、X _iとY _iはi^番目のサイトの対象となる変数、Kは調査されたサイトの数、X _totは調査における タイプXの変量の合計数です。

ベル指数

この指標は次のように定義される^[49]

${\displaystyle I_{R}={\frac {p_{xx}-p_{x}}{1-p_{x}}}}$

ここでp _xは、 X型の変量で構成されるサンプルの割合であり、

${\displaystyle p_{xx}={\frac {\sum _{i=1}^{K}x_{i}p_{i}}{N_{x}}}}$

ここで、N _xは調査におけるタイプXの変量の合計数、 Kは調査におけるサンプル数、xi_とp _iはそれぞれi^番目のサンプルにおける変量数とタイプXの変量の割合です。

孤立の指標

孤立の指標は

${\displaystyle II=\sum _{i=1}^{K}{\frac {A_{i}}{A}}{\frac {A_{i}}{t_{i}}}}$

ここで、Kは調査対象のユニット数、A _iおよびt _iはタイプAのユニット数とi_番目のサンプル内のすべてのユニット数です。

孤立度の修正指標も提案されている

${\displaystyle MII={\frac {II-{\frac {A}{T}}}{1-{\frac {A}{T}}}}}$

MIIは0 と 1 の間になります。

ゴラールの分離指数

この指標（GS）は次のように定義される。

${\displaystyle GS={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {t_{i}}{T}}\right|}$

どこ

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{K}t_{i}}$

A i_とt _iはそれぞれタイプAのデータ項目の数とi^番目のサンプル内の項目の合計数です。

露出指数

この指標は次のように定義される。

${\displaystyle IE=\sum _{i=1}^{K}{\frac {A_{i}}{A}}{\frac {B_{i}}{t_{i}}}}$

どこ

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

A iとB _{i は、} i^番目のカテゴリ内のタイプAとタイプ B の数であり、 t _{i は}、 i^番目のカテゴリ内のデータ ポイントの合計数です。

落合指数

これはコサインインデックスの2進形式である。^{[50]これは2つのデータタイプ（ここでは}AとB ）の存在/不在データを比較するために使用される。これは次のように定義される。

${\displaystyle O={\frac {a}{\sqrt {(a+b)(a+c)}}}}$

ここで、 aはAとBの両方が見つかるサンプル単位の数、 bはAは発生するがBは発生しないサンプル単位の数、cはタイプBは存在するがタイプAは存在しないサンプル単位の数です。

クルチンスキーの係数

この係数は1927年にスタニスワフ・クルチンスキ^[51]によって考案され、2つのタイプ（ここではAとB ）間の関連性を示す指標である。値は0から1の間で変化し、以下のように定義される。

${\displaystyle K={\frac {a}{2}}\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}\right)}$

ここで、 aはタイプAとタイプBが存在するサンプル ユニットの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプル ユニットの数、 c はタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプル ユニットの数です。

ユールのQ

この指標は1900年にユールによって発明された。^{[52]これは2つの異なるタイプ（ここでは}AとB ）の関連性に関するもので、次のように定義される。

${\displaystyle Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}}}$

ここで、 aはA型とB型の両方が存在するサンプル数、bはA型が存在するがB型は存在しないサンプル数、cはB型が存在するがA型は存在しないサンプル数、dはA型もB型も存在しないサンプル数です。Qの値は-1から+1の間で変化します。順序尺度の場合、Qはグッドマン-クラスカルのγとして知られています。

分母がゼロになる可能性があるため、ラインハートとスポラーはa、b、c、dに+1を加えることを推奨している。^[53]

ユールのY

この指標は次のように定義される。

${\displaystyle Y={\frac {{\sqrt {ad}}-{\sqrt {bc}}}{{\sqrt {ad}}+{\sqrt {bc}}}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。

バローニ・ウルバーニ・ブザー係数

この指標は1976年にバロニ・ウルバニとブザーによって考案された。^[54]その値は0から1の間で変化する。それは次のように定義される。

${\displaystyle BUB={\frac {{\sqrt {ad}}+a}{{\sqrt {ad}}+a+b+c}}={\frac {{\sqrt {ad}}+a}{N+{\sqrt {ad}}-d}}=1-{\frac {N-(a-d)}{N+{\sqrt {ad}}-d}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

d = 0の場合、このインデックスは Jaccard インデックスと同一になります。

ハマン係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle H={\frac {(a+d)-(b+c)}{a+b+c+d}}={\frac {(a+d)-(b+c)}{N}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

ロジャース・タニモト係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle RT={\frac {a+d}{a+2(b+c)+d}}={\frac {a+d}{N+b+c}}}$

ここで、 aはA型とB型の両方が存在するサンプル数、bはA型が存在するがB型は存在しないサンプル数、cはB型が存在するがA型は存在しないサンプル数、dはA型もB型も存在しないサンプル数である。Nはサンプルサイズである 。

ソーカル・スニース係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle SS={\frac {2(a+d)}{2(a+d)+b+c}}={\frac {2(a+d)}{N+a+d}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

ソーカルの二元距離

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle SBD={\sqrt {\frac {b+c}{a+b+c+d}}}={\sqrt {\frac {b+c}{N}}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

ラッセル・ラオ係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle RR={\frac {a}{a+b+c+d}}={\frac {a}{N}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

ファイ係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle \varphi ={\frac {ad-bc}{\sqrt {(a+b)(a+c)(b+c)(c+d)}}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。

ゼルゲル係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle S={\frac {b+c}{b+c+d}}={\frac {b+c}{N-a}}}$

ここで、 bはタイプAは存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBは存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、dはタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプルサイズです。

シンプソン係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle S={\frac {a}{a+\min(b,c)}}}$

ここで、 bはタイプAは存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、c はタイプBは存在するがタイプAは存在しないサンプルの数です。

デニス係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle D={\frac {ad-bc}{\sqrt {(a+b+c+d)(a+b)(a+c)}}}={\frac {ad-bc}{\sqrt {N(a+b)(a+c)}}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

フォーブスの係数

この係数は1907年にスティーブン・アルフレッド・フォーブスによって提案された^。[55]それは次のように定義される。

${\displaystyle F={\frac {aN}{(a+b)(a+c)}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、dはタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズ ( N = a + b + c + d ) です。

この係数のdの知識を必要としない修正法はAlroy ^{[56]によって提案されている。}

${\displaystyle F_{A}={\frac {a(n+{\sqrt {n}})}{a(n+{\sqrt {n}})+{\frac {3}{2}}bc}}=1-{\frac {3bc}{2a(n+{\sqrt {n}})+3bc}}}$

ここでn = a + b + cです。

単純一致係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle SM={\frac {a+d}{a+b+c+d}}={\frac {a+d}{N}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

フォッサムの係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle F={\frac {(a+b+c+d)(a-0.5)^{2}}{(a+b)(a+c)}}={\frac {N(a-0.5)^{2}}{(a+b)(a+c)}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

スタイル係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle S=\log \left[{\frac {n(|ad-bc|-{\frac {n}{2}})^{2}}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}\right]}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、dはタイプAもタイプBも存在しないサンプル数、nはa + b + c + dに等しく、|| は差の係数 (絶対値) です。

マイケル係数

この係数は次のように定義される。

${\displaystyle M={\frac {4(ad-bc)}{(a+d)^{2}+(b+c)^{2}}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。

ピアースの係数

1884年にチャールズ・パースは^[57]次のような係数を提案した。

${\displaystyle P={\frac {ab+bc}{ab+2bc+cd}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。

ホーキン・ドットソン係数

1975年にホーキンとドットソンは次の係数を提案した。

${\displaystyle HD={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{a+b+c}}+{\frac {d}{b+c+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{N-d}}+{\frac {d}{N-a}}\right)}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

ベニニ係数

1901年にベニーニは次の係数を提案した。

${\displaystyle B={\frac {a-(a+b)(a+c)}{a+\min(b,c)-(a+b)(a+c)}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数です。Min( b , c ) はbとcの最小値です。

ギルバート係数

ギルバートは次の係数を提案した。

${\displaystyle G={\frac {a-(a+b)(a+c)}{a+b+c-(a+b)(a+c)}}={\frac {a-(a+b)(a+c)}{N-(a+b)(a+c)-d}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAもタイプBも存在しないサンプル数です。Nはサンプル サイズです。

ジニ指数

ジニ係数は

${\displaystyle G={\frac {a-(a+b)(a+c)}{\sqrt {(1-(a+b)^{2})(1-(a+c)^{2})}}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプBの両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、c はタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数です。

修正ジニ指数

修正ジニ指数は

${\displaystyle G_{M}={\frac {a-(a+b)(a+c)}{1-{\frac {|b-c|}{2}}-(a+b)(a+c)}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプBの両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、c はタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数です。

クーンの指数

クーンは1965年に次の係数を提案した。

${\displaystyle I={\frac {2(ad-bc)}{K(2a+b+c)}}={\frac {2(ad-bc)}{K(N+a-d)}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプBの両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数です。Kは正規化パラメータです。Nはサンプルサイズです。

この指標は算術平均係数とも呼ばれます。

エロー指数

エローは1936年に次の係数を提案した。

${\displaystyle I={\frac {a-(a+b)(a+c)}{(a+c)(a+d)(b+d)(c+d)}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数、d はタイプAとタイプ B の両方が存在しないサンプルの数です。

ゼルゲル距離

これは次のように定義されます

${\displaystyle \operatorname {SD} ={\frac {b+c}{b+c+d}}={\frac {b+c}{N-a}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプ A は存在しないサンプルの数、dはタイプAとタイプB の両方が存在しないサンプルの数です。Nはサンプル サイズです。

谷本指数

これは次のように定義されます

${\displaystyle TI=1-{\frac {a}{b+c+d}}=1-{\frac {a}{N-a}}={\frac {N-2a}{N-a}}}$

ここで、 aはタイプAとタイプB の両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプ A は存在しないサンプルの数、dはタイプAとタイプB の両方が存在しないサンプルの数です。Nはサンプル サイズです。

ピアテツキー・シャピロ指数

これは次のように定義されます

${\displaystyle PSI=a-bc}$

ここで、 aはタイプAとタイプBの両方が存在するサンプルの数、 bはタイプAが存在するがタイプBは存在しないサンプルの数、cはタイプBが存在するがタイプAは存在しないサンプルの数です。

2つ以上のサンプルを比較するための指標

チェカノフスキーの定量的指標

これは、ブレイ・カーティス指数、シェーナー指数、最小公倍数指数、類似度指数、比例類似度指数とも呼ばれます。セーレンセン類似度指数と関連があります。

${\displaystyle CZI={\frac {\sum \min(x_{i},x_{j})}{\sum (x_{i}+x_{j})}}}$

ここで、x _iとx _{j は}それぞれサイトiとjの種の数であり、2 つのサイト間で共通する種の数の中で最小値が採用されます。

キャンベラメトリック

キャンベラ距離は_L1尺度の加重版である。1966年に^[58]導入され、1967年にGN LanceとWT Williamsによって改良された^{[59] 。2つのベクトル（ここでは}K個のカテゴリを持つ2つのサイト）間の距離を定義するために使用される。

K次元実ベクトル空間におけるベクトルpとq間のキャンベラ距離dは

${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {|p_{i}-q_{i}|}{|p_{i}|+|q_{i}|}}}$

ここで、p _iとq _iは、2つのベクトルのi^番目のカテゴリの値です。

ソレンセンの共同係数

これはコミュニティ間の類似性を測定するために使用されます。

${\displaystyle CC={\frac {2c}{s_{1}+s_{2}}}}$

ここで、s ₁とs ₂はそれぞれコミュニティ 1 と 2 の種の数であり、c は両方の領域に共通する種の数です。

ジャカード指数

これは 2 つのサンプル間の類似性を測る尺度です。

${\displaystyle J={\frac {A}{A+B+C}}}$

ここで、Aは 2 つのサンプル間で共有されるデータ ポイントの数であり、BとCはそれぞれ最初のサンプルと 2 番目のサンプルにのみ存在するデータ ポイントです。

この指標は1902年にスイスの植物学者ポール・ジャカールによって発明されました。^[60]

ランダム分布の下ではJの期待値は^[61]である。

${\displaystyle J={\frac {1}{A}}\left({\frac {1}{A+B+C}}\right)}$

ランダム分布を仮定した場合のこの指標の標準誤差は

${\displaystyle SE(J)={\sqrt {\frac {A(B+C)}{N(A+B+C)^{3}}}}}$

ここで、Nはサンプルの合計サイズです。

ダイスのインデックス

これは 2 つのサンプル間の類似性を測る尺度です。

${\displaystyle D={\frac {2A}{2A+B+C}}}$

ここで、Aは 2 つのサンプル間で共有されるデータ ポイントの数であり、BとCはそれぞれ最初のサンプルと 2 番目のサンプルにのみ存在するデータ ポイントです。

マッチ係数

これは 2 つのサンプル間の類似性を測る尺度です。

${\displaystyle M={\frac {N-B-C}{N}}=1-{\frac {B+C}{N}}}$

ここで、Nは 2 つのサンプル内のデータ ポイントの数であり、BとCはそれぞれ最初のサンプルと 2 番目のサンプルにのみ存在するデータ ポイントです。

森下指数

森下正明の分散指数（Im）は、母集団全体からランダムに選ばれた2点が同じ標本に含まれる確率の尺度です。^{[62]値が高いほど}_、分布が密集していることを示します。

${\displaystyle I_{m}={\frac {\sum x(x-1)}{nm(m-1)}}}$

別の表現としては

${\displaystyle I_{m}=n{\frac {\sum x^{2}-\sum x}{\left(\sum x\right)^{2}-\sum x}}}$

ここで、nは総標本数、mは標本平均、xは標本全体の合計値である。これはまた、

${\displaystyle I_{m}={\frac {n\ IMC}{nm-1}}}$

ここでIMCはロイズ混雑指数である。^[63]

この指標は人口密度とは比較的独立していますが、サンプルサイズの影響を受けます。

森下は統計^{[62]を示した。}

${\displaystyle I_{m}\left(\sum x-1\right)+n-\sum x}$

 自由度n −1のカイ2乗変数として分布します。

この指標の代替的な有意性検定が大規模サンプル向けに開発されている。^[64]

${\displaystyle z={\frac {I_{m}-1}{2/nm^{2}}}}$

ここで、 mは全体の標本平均、nは標本単位数、zは正規分布の横軸です。有意性は、 zの値を正規分布の値と比較することによって検定されます。

森下のオーバーラップ指数

森下重なり指数は、サンプル間の重なりを比較するために使用される。^[65] この指数は、サンプルのサイズを大きくすると、異なる生息地が含まれるようになるため、多様性が増すという仮定に基づいている。

${\displaystyle C_{D}={\frac {2\sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{(D_{x}+D_{y})XY}}}$

x _iは、1 つのサンプルの合計X内で種iが表される回数です。

y _iは、種i が別のサンプルの合計Yに含まれる回数です。

D _xとD _yは、それぞれxサンプルとyサンプルのシンプソンのインデックス値です。

Sは固有の種の数である

2 つのサンプルが種の点で重複していない場合はCD = 0_となり、両方のサンプルで種が同じ割合で出現する場合はCD = 1_{となります。}

ホーンはインデックスの修正を導入した^[66]

${\displaystyle C_{H}={\frac {2\sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{\left({\sum _{i=1}^{S}x_{i}^{2} \over X^{2}}+{\sum _{i=1}^{S}y_{i}^{2} \over Y^{2}}\right)XY}}}$

標準化された森下指数

スミス＝ギルは、サンプル数と人口密度の両方に依存せず、-1と+1で制限されるモリシタ指数に基づく統計量を開発した。この統計量は以下のように計算される^[67]。

まず、通常の方法で森下指数（I _d ）を求める。次に、母集団を抽出したユニット数をkとする。2つの臨界値を計算せよ。

${\displaystyle M_{u}={\frac {\chi _{0.975}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

${\displaystyle M_{c}={\frac {\chi _{0.025}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

ここで、χ2^は 、信頼度97.5%および2.5%における自由度n −1のカイ二乗値です。

標準化指数（I _p）は、以下のいずれかの式から計算されます。

I _d ≥ M _c > 1のとき

${\displaystyle I_{p}=0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{c}}{k-M_{c}}}\right)}$

M _c > I _d ≥ 1のとき

${\displaystyle I_{p}=0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

1 > I _d ≥ M _{u の場合}

${\displaystyle I_{p}=-0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

1 > M _u > I _dのとき

${\displaystyle I_{p}=-0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{u}}{M_{u}}}\right)}$

I _pは+1から-1の範囲で、95%信頼区間は±0.5です。パターンがランダムな場合、 I _pの値は0になります。パターンが均一な場合、I _p < 0、パターンが凝集性を示す場合、I _p > 0となります。

ピートの均等性指数

これらの指標はサンプル間の均等性を測る指標である。^[68]

${\displaystyle E_{1}={\frac {I-I_{\min }}{I_{\max }-I_{\min }}}}$

${\displaystyle E_{2}={\frac {I}{I_{\max }}}}$

ここで、Iは多様性の指数、I _maxとI _minは比較されるサンプル間のIの最大値と最小値です。

ロヴィンガー係数

Loevingerは次のように定義される係数Hを提案しました。

${\displaystyle H={\sqrt {\frac {p_{\max }(1-p_{\min })}{p_{\min }(1-p_{\max })}}}}$

ここで、p _maxとp _minはサンプル内の最大と最小の割合です。

トヴェルスキー指数

トヴェルスキー指数^[69]は0と1の間に位置する非対称の尺度である。

サンプルAとBのトヴェルスキー指数（S）は

${\displaystyle S={\frac {|A\cap B|}{|A\cap B|+\alpha |A-B|+\beta |B-A|}}}$

αとβの値は任意です。αとβの両方を0.5 に設定するとDice の係数になります。両方を 1 に設定するとTanimoto の係数になります。

この指標の対称的な変種も提案されている。^[70]

${\displaystyle S_{1}={\frac {|A\cap B|}{|A\cap B|+\beta \left(\alpha a+(1-\alpha )b\right)}}}$

どこ

${\displaystyle a=\min \left(|X-Y|,|Y-X|\right)}$

${\displaystyle b=\max \left(|X-Y|,|Y-X|\right)}$

同様の指標がいくつか提案されています。

モノストリらは対称類似度指標を提案した^[71]

${\displaystyle SS(A,B)={\frac {|d(A)\cap d(B)|}{|d(A)+d(B)|}}}$

ここで、d ( X )はXから導出される何らかの尺度である 。

バーンスタインとゾベルはS2指数とS3指数を提案している^[72]

${\displaystyle S2={\frac {|d(A)\cap d(B)|}{\min(|d(A)|,|d(B))|}}}$

${\displaystyle S3={\frac {2|d(A)\cap d(B)|}{|d(A)+d(B)|}}}$

S3は単にSymmetricSimilarity指数の2倍である。どちらもDiceの係数と関連している。

使用される指標

いくつかのメトリック（サンプル間の距離）が提案されています。

ユークリッド距離

これは通常、定量的な作業で使用されますが、定性的な作業でも使用されることがあります。これは次のように定義されます。

${\displaystyle d_{jk}={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(x_{ij}-x_{ik})^{2}}}}$

ここで、d _jkはx _ijとx _ik間の距離です。

ガワーの距離

これは次のように定義されます

${\displaystyle GD={\frac {\Sigma _{i=1}^{n}w_{i}d_{i}}{\Sigma _{i=1}^{n}w_{i}}}}$

ここで、 d _iはi^番目のサンプル間の距離であり、 w _iはi^番目の距離に対する重み付けです。

マンハッタン距離

これは定量的な研究でよく使用されますが、定性的な研究でも使用されることがあります。これは次のように定義されます。

${\displaystyle d_{jk}=\sum _{i=1}^{N}|x_{ij}-x_{ik}|}$

ここで、d _jkはx _ijとx _ik間の距離であり、|| はx _ijとx _ik間の差の絶対値です。

マンハッタン距離の修正版は、リル法を使用して任意の次数の多項式の零点 (根)を見つけるために使用できます。

プレヴォスティの距離

これはマンハッタン距離に関連しています。これはプレヴォスティらによって記述され、染色体間の差異を比較するために使用されました。^[73] PとQをr個の有限確率分布の2つの集合とします。これらの分布はk個のカテゴリに分類される値を持ちます。このとき、距離D _PQは

${\displaystyle D_{PQ}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{k}|p_{ji}-q_{ji}|}$

ここで、 rは各母集団内の離散確率分布の数、k _jは分布P _jとQ _jのカテゴリの数、p _ji（それぞれq _ji ）は母集団P（Q ）内の分布P _j（Q _j）のカテゴリiの理論的な確率です。

その統計的特性はSanchezら^[74]によって調査され、サンプル間の差異を検定する際に信頼区間を推定するためのブートストラップ手順を推奨した。

その他の指標

させて

${\displaystyle A=\sum x_{ij}}$

${\displaystyle B=\sum x_{ik}}$

${\displaystyle J=\sum \min(x_{ij},x_{jk})}$

ここで、min( x , y ) はxとyのペアのうち小さい方の値です。

それから

${\displaystyle d_{jk}=A+B-2J}$

マンハッタン距離は

${\displaystyle d_{jk}={\frac {A+B-2J}{A+B}}}$

はブレイ−カーティス距離であり、

${\displaystyle d_{jk}={\frac {A+B-2J}{A+B-J}}}$

ジャカール（またはルジツカ）距離であり、

${\displaystyle d_{jk}=1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {J}{A}}+{\frac {J}{B}}\right)}$

クルチンスキー距離です。

テキスト間の類似点

HaCohen-Kernerらは、2つ以上のテキストを比較するためのさまざまな指標を提案している。^[75]

順序データ

カテゴリが少なくとも順序付けられている場合は、他のいくつかのインデックスを計算できます。

ライクのD

ライクの分散度（D）はそのような指標の一つである。^[76] K個のカテゴリがあり、 p _{i を}f _i / Nとする。ここでf _iはi^番目のカテゴリの番号であり、カテゴリは昇順に並べられている。

${\displaystyle c_{a}=\sum _{i=1}^{a}p_{i}}$

ここでa ≤ K_である。c a ≤ 0.5の場合にはd a = c a とし、それ以外の場合には1  − c _a ≤ 0.5_とする_。すると

${\displaystyle D=2\sum _{a=1}^{K}{\frac {d_{a}}{K-1}}}$

正規化ハーフィンダール尺度

これは、変動係数の二乗をN  − 1 で割った値です。ここで、Nはサンプル サイズです。

${\displaystyle H={\frac {1}{N-1}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}}$

ここで、 mは平均、sは標準偏差です。

潜在的紛争指数

潜在的葛藤指数（PCI）は、評価尺度の中心点の両側における得点の比率を表します。^[77]この指標には、少なくとも順序データが必要です。この比率は、多くの場合、バブルグラフで表示されます。

PCIは、0を中心とする奇数の評価点（-n～+n）を持つ順序尺度を使用する。計算は次のように行われる。

${\displaystyle PCI={\frac {X_{t}}{Z}}\left[1-\left|{\frac {\sum _{i=1}^{r_{+}}X_{+}}{X_{t}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{r_{-}}X_{-}}{X_{t}}}\right|\right]}$

ここで、Z = 2 n、|·|は絶対値（係数）、r ₊はスケールの正側の応答の数、r ₋はスケールの負側の応答の数、X ₊はスケールの正側の応答、X ₋はスケールの負側の応答であり、

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{r_{+}}|X_{+}|+\sum _{i=1}^{r_{-}}|X_{-}|}$

PCIには理論的な困難が存在することが知られています。PCIは、中立的な中心点とその両側に同数の回答選択肢を持つ尺度でのみ計算できます。また、回答が一様分布している場合、必ずしもPCI統計量の中点が得られるわけではなく、尺度内の回答または値の数に応じて変化します。例えば、回答が一様分布している5点尺度、7点尺度、9点尺度では、PCIはそれぞれ0.60、0.57、0.50となります。

最初の問題は比較的軽微です。偶数個の回答を持つ順序尺度のほとんどは、1つの値を拡大（または縮小）することで奇数個の回答を持つことができるためです。必要に応じて尺度を中央に配置することも通常は可能です。2つ目の問題は解決がより困難であり、PCIの適用範囲を制限する可能性があります。

PCIが拡張されました^[78]

${\displaystyle PCI_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{i}k_{i}k_{j}d_{ij}}{\delta }}}$

ここで、 Kはカテゴリの数、k _iはi^番目のカテゴリの数、d _ijはi^番目とi^番目のカテゴリ間の距離、δはスケール上の最大距離に標本内での出現回数を乗じた値である。データ点数が偶数個の標本の場合、

${\displaystyle \delta ={\frac {N^{2}}{2}}d_{\max }}$

奇数個のデータポイントを持つサンプルの場合

${\displaystyle \delta ={\frac {N^{2}-1}{2}}d_{\max }}$

ここで、Nはサンプル内のデータ ポイントの数、d _maxはスケール上のポイント間の最大距離です。

Vaskeらはこの指標に使用できるいくつかの距離尺度を提案している。^[78]

${\displaystyle D_{1}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|-1}$

r _iとr _jの符号（+または-）が異なる場合。符号が同じ場合はd _ij = 0 です。

${\displaystyle D_{2}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|}$

${\displaystyle D_{3}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|^{p}}$

ここで、pは 0 より大きい任意の実数です。

${\displaystyle Dp_{ij}:d_{ij}=[|r_{i}-r_{j}|-(m-1)]^{p}}$

sign( r _i ) ≠ sign( r _i ) かつpが 0 より大きい実数の場合。符号が同じ場合はd _ij = 0です。mはD ₁、D ₂、またはD ₃です。

D ₁とD ₂の違いは、前者は距離に中立者を含まないのに対し、後者は中立者を含むことです。例えば、スコアが-2と+1の回答者の場合、D _{1では距離は2、} D ₂では距離は3となります。

距離に指数（p ）を用いることで、極端な反応を再尺度化することができます。これらの差は、 p > 1 で強調され、p < 1 で軽減されます。

一様分布から抽出された変量を用いたシミュレーションでは、PCI2は_対称的な単峰性分布を示す。^[78]その分布の裾は正規分布の裾よりも大きい。

Vaskeらは、 PCI がほぼ正規分布している場合、サンプル間の PCI の値を比較するためにt 検定を使用することを提案しています。

ファン・デル・エイクのA

この指標は、頻度分布の一致度の加重平均である。^[79] Aは-1（完全な二峰性）から+1（完全な単峰性）の範囲である。これは次のように定義される。

${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$

ここで、Uは分布の単峰性、S は非ゼロ頻度を持つカテゴリの数、K はカテゴリの合計数です。

分布が次の 3 つの特性のいずれかを持つ場合、 Uの値は1 になります。

• すべての回答は単一のカテゴリに属します
• 回答はすべてのカテゴリーに均等に分布している
• 回答は2つ以上の連続したカテゴリに均等に分散され、他のカテゴリには回答がゼロである

これら以外の分布では、データを「層」に分割する必要があります。層内の回答は等しいかゼロになります。カテゴリは連続している必要はありません。各層のAの値（ A _i）が計算され、分布の加重平均が決定されます。各層の重み（w _i）は、その層に含まれる回答の数です。記号で表すと

${\displaystyle A_{\mathrm {overall} }=\sum w_{i}A_{i}}$

一様分布ではA = 0になります。すべての応答が 1 つのカテゴリに分類される場合はA = +1 になります。

この指標の理論的な問題点の一つは、間隔が等間隔であると仮定していることです。これにより、適用範囲が制限される可能性があります。

関連統計

誕生日の問題

サンプルにn個のユニットがあり、それらがk個のカテゴリ（n ≤ k ）にランダムに分布している場合、これは誕生日問題の変種と考えることができる。^[80]すべてのカテゴリにユニットが1つだけ含まれる確率（p ）は、

${\displaystyle p=\prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {i}{k}}\right)}$

cが大きく、nがk ^2/3に比べて小さい場合、良い近似値として

${\displaystyle p=\exp \left({\frac {-n^{2}}{2k}}\right)}$

この近似値は、次の正確な式から得られます。

${\displaystyle \log _{e}\left(1-{\frac {i}{k}}\right)\approx -{\frac {i}{k}}}$

サンプルサイズの推定

p = 0.5およびp = 0.05の場合、それぞれ次のnの推定値が有用である可能性がある。

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {k}}}$

${\displaystyle n=2.448{\sqrt {k}}\approx 2.5{\sqrt {k}}}$

この分析は複数のカテゴリーに拡張できる。p = 0.5およびp 0.05の場合、それぞれ

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{c_{i}}}}}}}$

${\displaystyle n\approx 2.5{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{c_{i}}}}}}}$

ここで、c _iはi^番目のカテゴリのサイズです。この分析では、カテゴリは独立していると仮定します。

データが何らかの方法で順序付けられている場合、互いにjカテゴリ以内にある2つのカテゴリで発生する少なくとも1つのイベントについて、確率が0.5または0.05を超えるには、それぞれサンプルサイズ（ n ）が必要です^[81]

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {\frac {k}{2j+1}}}}$

${\displaystyle n\approx 2.5{\sqrt {\frac {k}{2j+1}}}}$

ここで、kはカテゴリの数です。

誕生日と死亡日の問題

誕生日と死亡日の間に関係があるかどうかは、統計^{[82]で調査されている。}

${\displaystyle -\log _{10}\left({\frac {1+2d}{365}}\right),}$

ここで、 dは誕生日と死亡日の間の年間日数です。

ランド指数

ランド指数は、2つ以上の分類システムがデータセットに一致するかどうかをテストするために使用されます。^[83]

要素の集合と、比較するの2 つの分割、 (Sをr個のサブセットに分割) 、 (Sをs個のサブセットに分割)が与えられている場合、次を定義します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S=\{o_{1},\ldots ,o_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=\{X_{1},\ldots ,X_{r}\}}$ ${\displaystyle Y=\{Y_{1},\ldots ,Y_{s}\}}$

• ${\displaystyle a}$、 の要素のうち の同じ部分集合にあり、 の同じ部分集合にある要素のペアの数 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle b}$の異なる部分集合に含まれ、かつの異なる部分集合に含まれるの要素のペアの数 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle c}$、 の要素のうち の同じ部分集合に含まれ、 の異なる部分集合に含まれる要素のペアの数 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle d}$、 の異なる部分集合にあり、 の同じ部分集合にあるの要素のペアの数 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

ランド指数は次のように定義される。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\frac {a+b}{a+b+c+d}}={\frac {a+b}{n \choose 2}}}$

直感的には、は との間の一致の数、は との間の不一致の数と考えることができます。 ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle c+d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

調整済みランド指数

調整ランド指数は、ランド指数の偶然性を修正したものである。^{[83] [84] [85]}ランド指数は0から+1の間の値しか出ないが、調整ランド指数は期待指数より小さい場合、負の値を出すことがある。^[86]

分割表

要素の集合と、これらの点の 2 つのグループ化または分割 (クラスタリングなど)、つまり と が与えられている場合、と の重なりは分割表にまとめることができます。 分割表の各エントリは、とに共通するオブジェクトの数を表します 。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}\}}$ ${\displaystyle Y=\{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{s}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left[n_{ij}\right]}$ ${\displaystyle n_{ij}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{j}}$ ${\displaystyle n_{ij}=|X_{i}\cap Y_{j}|}$

X\Y	${\displaystyle Y_{1}}$	${\displaystyle Y_{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle Y_{s}}$	合計
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle n_{11}}$	${\displaystyle n_{12}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle n_{1s}}$	${\displaystyle a_{1}}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle n_{21}}$	${\displaystyle n_{22}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle n_{2s}}$	${\displaystyle a_{2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle X_{r}}$	${\displaystyle n_{r1}}$	${\displaystyle n_{r2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle n_{rs}}$	${\displaystyle a_{r}}$
合計	${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle b_{s}}$

意味

ランド指数の調整された形式である調整ランド指数は、

${\displaystyle {\text{AdjustedIndex}}={\frac {{\text{Index}}-{\text{ExpectedIndex}}}{{\text{MaxIndex}}-{\text{ExpectedIndex}}}},}$

より具体的には

${\displaystyle {\text{ARI}}={\frac {\sum _{ij}{\binom {n_{ij}}{2}}-\left.\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]\right/{\binom {n}{2}}}{{\frac {1}{2}}\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}+\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]-\left.\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]\right/{\binom {n}{2}}}}}$

ここで、これらは分割表から得られた値です。 ${\displaystyle n_{ij},a_{i},b_{j}}$

分母はペアの総数なので、ランド指数は、総ペア数における一致の発生頻度、またはランダムに選択されたペアに対して一致する確率を表します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

指標の評価

異なる指標は異なる変動値を示し、異なる目的で使用される場合があります。特に社会学の文献では、いくつかの指標が使用され、批判されています。

サンプル間の順序比較（あるサンプルが他のサンプルよりも変化が大きいか小さいか）を単純に行いたい場合、IQV の選択はそれほど重要ではありません。多くの場合、同じ順序付けになるからです。

データが順序付けられている場合、サンプルを比較するのに役立つ方法は ORDANOVA です。

場合によっては、カテゴリやサンプルの数に関係なく、インデックスを 0 から 1 に標準化しない方が便利なこともありますが (Wilcox 1973、338 ページ)、通常はそのように標準化します。

参照

• アノシム
• カテゴリデータ
• 多様性指数
• フォークス・マロウズ指数
• グッドマンとクラスカルのガンマ
• 情報エントロピー
• 対数分布
• ペルマノヴァ
• ロビンソン・ファウルズ計量
• 統計的分散
• 変動率
• ウィップル指数

注記

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