量子LC回路

Variety of resonant circuit

LC回路は、量子調和振動子と同じ方法で量子化できます。LC回路は共振回路の一種で、文字Lで表されるインダクタと文字Cで表されるコンデンサで構成されています。これらを接続すると、回路の共振周波数で電流が両者の間で交互に流れます。

${\displaystyle \omega ={\sqrt {1 \over LC}}}$

ここで、Lはヘンリー単位のインダクタンス、Cはファラッド単位の静電容量です。角周波数 の単位はラジアン/秒です。コンデンサはプレート間の電界にエネルギーを蓄えます。これは次のように表されます。 ${\displaystyle \omega \,}$

${\displaystyle U_{C}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$

ここでQはコンデンサの正味電荷であり、次のように計算される。

${\displaystyle Q(t)=\int _{-\infty }^{t}I(\tau )d\tau }$

同様に、インダクタは電流に応じて磁場にエネルギーを蓄えます。これは次のように表すことができます。

${\displaystyle U_{L}={\frac {1}{2}}LI^{2}={\frac {\phi ^{2}}{2L}}}$

ここで、分岐フラックスは次のように定義されます。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (t)\equiv \int _{-\infty }^{t}V(\tau )d\tau }$

電荷と磁束は正準共役変数なので、正準量子化を用いて古典ハミルトニアンを量子形式で書き換えることができる。

${\displaystyle \phi \rightarrow {\hat {\phi }}}$

${\displaystyle q\rightarrow {\hat {q}}}$

${\displaystyle H\rightarrow {\hat {H}}={\frac {{\hat {\phi }}^{2}}{2L}}+{\frac {{\hat {q}}^{2}}{2C}}}$

そして、標準的な交換関係を強制する

${\displaystyle \left[{\hat {\phi }},{\hat {q}}\right]=i\hbar }$

1次元調和振動子

ハミルトニアンとエネルギー固有状態

最初の8つの束縛固有状態n = 0から7の波動関数表現。横軸はxの位置を示す。グラフは正規化されていない。

束縛固有状態の確率密度 | ψ _n ( x )| ^{2 。}下は基底状態 ( n = 0 ) で始まり、上に向かってエネルギーが増加する。横軸はx の位置を示し、明るい色は高い確率密度を表す。

1次元調和振動子の問題と同様に、LC回路はシュレーディンガー方程式を解くか、生成消滅演算子を用いることで量子化できます。インダクタに蓄えられるエネルギーは「運動エネルギー項」、コンデンサに蓄えられるエネルギーは「位置エネルギー項」として捉えることができます。

このようなシステムのハミルトニアンは次のようになります。

${\displaystyle H={\frac {\phi ^{2}}{2L}}+{\frac {1}{2}}L\omega ^{2}Q^{2}}$

ここで、Qは電荷演算子、は磁束演算子です。最初の項はインダクタに蓄えられたエネルギーを表し、2番目の項はコンデンサに蓄えられたエネルギーを表します。エネルギー準位とそれに対応するエネルギー固有状態を見つけるには、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解く必要があります。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \ }$

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2L}}\nabla ^{2}\psi +{\frac {1}{2}}L\omega ^{2}Q^{2}\psi }$

LC 回路は実際には調和振動子の電気的類似物であるため、シュレーディンガー方程式を解くと、解の族 (エルミート多項式) が得られます。

${\displaystyle \left\langle Q|\psi _{n}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {L\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {L\omega Q^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {L\omega }{\hbar }}}Q\right)}$

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

共役変数としての磁束

磁束を共役変数として用いると、完全に等価な解が得られます。共役「運動量」は、磁束の時間微分と静電容量の積に等しくなります。共役「運動量」は実際には電荷です。

${\displaystyle \pi =C{\frac {d\phi }{dt}}}$

キルヒホッフの接合則を使用すると、次の関係が得られます。

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}V\,dt\,=0}$

なので、上記の式は次のように書くことができます。 ${\displaystyle V={\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle C{\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{L}}\phi \,=0}$

これをハミルトニアンに変換すると、次のようなシュレーディンガー方程式を展開できます。

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2C}}\nabla ^{2}\psi +{\frac {\phi ^{2}}{2L}}\psi }$ここで磁束の関数である ${\displaystyle \psi }$

結合LC回路の量子化

誘導結合された2つのLC回路は、相互インダクタンスがゼロではない。これは、運動学的結合項を持つ2つの調和振動子と等価である。

誘導結合された LC 回路のラグランジアンは次のとおりです。

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}L_{1}{\frac {dQ_{1}}{dt}}^{2}+{\frac {1}{2}}L_{2}{\frac {dQ_{2}}{dt}}^{2}+m{\frac {dQ_{1}}{dt}}{\frac {dQ_{2}}{dt}}-{\frac {Q_{1}^{2}}{2C_{1}}}-{\frac {Q_{2}^{2}}{2C_{2}}}}$

通常どおり、ハミルトニアンはラグランジアンに対するルジャンドル変換によって得られます。

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}L_{1}{\frac {dQ_{1}}{dt}}^{2}+{\frac {1}{2}}L_{2}{\frac {dQ_{2}}{dt}}^{2}+m{\frac {dQ_{1}}{dt}}{\frac {dQ_{2}}{dt}}+{\frac {Q_{1}^{2}}{2C_{1}}}+{\frac {Q_{2}^{2}}{2C_{2}}}}$

観測可能なものを量子力学演算子に昇格すると、次のシュレーディンガー方程式が得られます。

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2L_{1}}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{1}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2L_{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{2}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{1}dQ_{2}}}+{\frac {1}{2}}L_{1}\omega ^{2}Q_{1}^{2}\psi +{\frac {1}{2}}L_{2}\omega ^{2}Q_{2}^{2}\psi }$

結合項があるため、上記の座標系ではこれ以上進むことはできません。しかし、両電荷の関数としての波動関数から電荷差の関数としての波動関数への座標変換（ここで、 と「質量中心」に類似した座標）を用いることで、上記のハミルトニアンを変数分離法を用いて解くことができます。 ${\displaystyle Q_{d}}$ ${\displaystyle Q_{d}=Q_{1}-Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{c}}$

CM 座標は以下のとおりです。

${\displaystyle Q_{c}={\frac {L_{1}Q_{1}+L_{2}Q_{2}}{L_{1}+L_{2}}}}$

新しい座標系でのハミルトニアンは次のようになります。

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2(L_{1}+L_{2})}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{c}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2\mu }}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{d}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}Q_{d}^{2}\psi }$

上記の式ではは に等しく、は低減されたインダクタンスに等しくなります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\frac {2m}{L_{1}+L_{2}}}}$ ${\displaystyle \mu }$

変数分離法では 2 つの方程式が生成されます。1 つは自由粒子の微分方程式である「CM」座標の方程式であり、もう 1 つは調和振動子のシュレーディンガー方程式である電荷差座標の方程式です。

${\displaystyle E\psi _{c}=-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2(L_{1}+L_{2})}}{\frac {d^{2}\psi _{c}}{dQ_{c}^{2}}}}$

${\displaystyle E\psi _{d}=-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2\mu }}{\frac {d^{2}\psi _{d}}{dQ_{d}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}Q_{d}^{2}\psi _{d}}$

時間依存性が追加された最初の微分方程式の解は平面波に似ていますが、2 番目の微分方程式の解は上記のようになります。

ハミルトン力学

古典的なケース

古典的なLC回路の蓄積エネルギー（ハミルトニアン）:

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {q^{2}(t)}{2C}}+{\frac {p^{2}(t)}{2L}}\ }$

ハミルトニアン方程式:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}(q,p)}{\partial q}}={\frac {q(t)}{C}}=-{\dot {p}}(t)\ }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}(q,p)}{\partial p}}={\frac {p(t)}{L}}=-{\dot {q}}(t)\ }$、

ここで、蓄えられたコンデンサの電荷（または電束）と磁気運動量（磁束）、コンデンサの電圧とインダクタンス電流、時間は変数です。 ${\displaystyle q(t)=Cv(t)\ }$ ${\displaystyle p(t)=Li(t)\ }$ ${\displaystyle v(t)-\ }$ ${\displaystyle i(t)-\ }$ ${\displaystyle t-\ }$

非ゼロ初期条件: では振動周波数は次のようになります: ${\displaystyle q(0),p(0)\ }$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\ }$、

LC回路の波動インピーダンス（損失なし）

${\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}\ }$

ハミルトニアン方程式の解: では、電荷、磁束、エネルギーの値が次のようになります。 ${\displaystyle t\geq 0\ }$

${\displaystyle \mathbf {q} =q(0)+j{\frac {p(0)}{\omega L}}\ }$

${\displaystyle <q(t)=Re[\mathbf {q} e^{-j\omega t}]\ }$

${\displaystyle p(t)=Im[\omega L\mathbf {q} e^{-j\omega t}]\ }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {|\mathbf {q} |^{2}}{2C}}=constant\ }$

位相器の定義

一般的な場合、波の振幅は複素空間で定義できる。

${\displaystyle a(t)=a_{1}(t)+ja_{2}(t)\ }$

どこ。 ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}\ }$

${\displaystyle a_{1}(t)={\frac {q(t)}{q(0)}}\ }$、

ここで、ゼロ時間の電荷、静電容量領域。 ${\displaystyle q(0)=D(0)S_{C}={\sqrt {\frac {2\hbar }{\rho }}}\ }$ ${\displaystyle S_{C}-\ }$

${\displaystyle a_{2}(t)={\frac {p(t)}{p(0)}}\ }$、

ここで、磁束は零点、インダクタンス面積はインダクタンス面積である。等面積要素では、 ${\displaystyle p(0)={\sqrt {2\hbar \rho }}\ }$ ${\displaystyle S_{L}-\ }$

${\displaystyle S_{C}=S_{L}=S_{q}\ }$

波動インピーダンスについては次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {q(0)}{p(0)}}}$。

波の振幅とエネルギーは次のように定義できます。

${\displaystyle a(t)=ae^{-j\omega t}\ }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\hbar \omega [a_{1}^{2}(t)+a_{2}^{2}(t)]=\hbar \omega |a|^{2}\ }$。

量子ケース

量子の場合、運動量演算子は次のように定義されます。

${\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar {\frac {\partial }{\partial q}}}$

運動量演算子と電荷演算子は次の交換子を生成します。

${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=j\hbar \ }$。

振幅演算子は次のように定義できます。

${\displaystyle {\hat {a}}={\hat {a_{1}}}+j{\hat {a_{2}}}={\frac {\hat {q}}{q_{0}}}+j{\frac {\hat {p}}{p_{0}}}\ }$、

そしてフェイザー：

${\displaystyle {\hat {a(t)}}={\hat {a}}e^{-j\omega t}\ }$。

ハミルトンの演算子は次のようになります。

${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}\hbar \omega [{\hat {a}}_{1}^{2}(t)+{\hat {a}}_{2}^{2}(t)]=\hbar \omega [{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }+1/2]\ }$

振幅整流子:

${\displaystyle [{\hat {a}}_{1}(t),{\hat {a}}_{2}(t)]=j/2\ }$

${\displaystyle [{\hat {a}}(t),{\hat {a}}^{\dagger }(t)]=1\ }$。

ハイゼンベルクの不確定性原理：

${\displaystyle \langle \Delta {\hat {a}}_{1}^{2}(t)\rangle \langle \Delta {\hat {a}}_{2}^{2}(t)\rangle \geq {\frac {1}{16}}\ }$。

自由空間の波動インピーダンス

量子LC回路の波動インピーダンスが自由空間の値をとるとき

${\displaystyle \rho _{0}={\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=2\alpha {\frac {h}{e^{2}}}=2\alpha R_{H}}$、

ここで、電子電荷、微細構造定数、フォン・クリッツィング定数の場合、ゼロ時点における「電気」フラックスと「磁気」フラックスは次のようになります。 ${\displaystyle e-\ }$ ${\displaystyle \alpha -\ }$ ${\displaystyle R_{H}-\ }$

${\displaystyle q_{0}={\sqrt {\frac {2\hbar }{\rho _{0}}}}={\frac {e}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\ }$

${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2\hbar \rho _{0}}}=\phi _{0}{\sqrt {\frac {2\alpha }{\pi }}}\ }$、

ここで磁束量子。 ${\displaystyle \phi _{0}={\frac {h}{e}}-\ }$

量子LC回路のパラドックス

一般的な定式化

古典的なケースでは、LC回路のエネルギーは次のようになります。

${\displaystyle W_{LC}=W_{C}+W_{L},\ }$

ここで、静電容量エネルギーとインダクタンスエネルギーです。さらに、電荷（電気または磁気）と電圧または電流の間には、以下の関係があります。 ${\displaystyle W_{C}=0.5CV_{C}^{2}-\ }$ ${\displaystyle W_{L}=0.5LI_{L}^{2}-\ }$

${\displaystyle Q_{C}=CV_{C}\ }$

${\displaystyle \Phi _{L}=LI_{L}.\ }$

したがって、静電容量とインダクタンスエネルギーの最大値は次のようになります。

${\displaystyle W_{max}=W_{LC}={\frac {Q_{C0}^{2}}{2C}}+{\frac {\Phi _{L0}^{2}}{2L}}.\ }$

共鳴周波数は古典的な場合にはエネルギーとは何の関係もありません。しかし、量子的な場合にはエネルギーと以下の関係があります。 ${\displaystyle \omega _{0}=1/{\sqrt {LC}}\ }$

${\displaystyle W_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}={\frac {\hbar }{2{\sqrt {LC}}}}.\ }$

したがって、量子の場合、静電容量を1つの電子電荷で満たすと、次のようになります。

${\displaystyle Q_{C0}=e=CV_{C}\ }$そして ${\displaystyle W_{C}={\frac {e^{2}}{2C}}.\ }$

静電容量エネルギーと基底状態振動子エネルギーの関係は次のようになります。

${\displaystyle \xi _{C}={\frac {W_{C}}{W_{0}}}={\frac {2\pi }{R_{H}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}=2\pi \cdot {\frac {\rho _{q}}{R_{H}}}.\ }$

ここで、LC回路の量子インピーダンス。量子LC回路の量子インピーダンスは、実際には以下の2種類に分類される。^{[説明が必要]} ${\displaystyle \rho _{q}={\sqrt {L/C}}\ }$

${\displaystyle \rho _{q}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\begin{cases}\rho _{w}=2\alpha R_{H},&{\mbox{ – wave impedance }}\\\rho _{DOS}=R_{H},&{\mbox{ – DOS impedance }}\end{cases}}}$

したがって、エネルギー関係は次のようになります。

${\displaystyle \xi _{C}={\frac {W_{C}}{W_{0}}}=2\pi {\frac {\rho _{q}}{R_{H}}}={\begin{cases}4\pi \alpha ,&{\mbox{at }}\rho _{w}\\2\pi ,&{\mbox{at }}\rho _{DOS}\end{cases}}}$

これが量子LC回路の主な問題である。すなわち、容量とインダクタンスに蓄えられたエネルギーは、量子発振器の基底状態エネルギーと等しくない。このエネルギー問題が量子LC回路パラドックス（QLCCP）を生み出す。^[要出典]

考えられる解決策

QLCCPの簡単な解は以下のようにして得られる。Yakymakha (1989) ^[1]  (式30)は、以下のDOS量子インピーダンス定義を提案した。

${\displaystyle \rho _{DOS}^{ij}={\frac {\Delta \Phi _{j}}{\Delta Q_{i}}}={\frac {i}{j}}R_{H},\ }$

磁束と 電束は、 ${\displaystyle \Delta \Phi _{j}=j\Phi _{0}-\ }$ ${\displaystyle \Delta Q_{i}=ie-\ }$ ${\displaystyle i,j=integer.}$

したがって、量子LC回路には電荷も磁荷も存在せず、電束と磁束のみが存在する。したがって、DOS LC回路だけでなく、他のLC回路にも電磁波のみが存在する。このように、量子LC回路は量子導波路の最小の幾何学的位相値であり、電荷も磁荷も存在せず、電磁波のみが存在する。ここで、量子LC回路は「ブラックウェーブボックス」（BWB）とみなすべきである。これは電荷も磁荷も存在せず、波動のみが存在する。さらに、このBWBは「閉じた」（ボーア原子内、または光子の場合は真空中）場合もあれば、「開いた」（QHEやジョセフソン接合の場合）場合もある。したがって、量子LC回路にはBWBと「入力-出力」の補足が必要である。総エネルギーバランスは、「入力」デバイスと「出力」デバイスを考慮して計算する必要がある。 「入出力」デバイスがない場合、容量とインダクタンスに「蓄えられる」エネルギーは、特性インピーダンス（散逸なし）の場合と同様に、仮想的、すなわち「特性」となります。現在、このアプローチに非常に近いものとして、量子インダクタンスを持つジョセフソン接合を考察したDevoret (2004) ^[2] 、シュレーディンガー波のDattaインピーダンス (2008)、そして量子導波路を考察したTsu (2008) ^[3]が挙げられます。

DOS量子LC回路の解説

以下に示すように、QHE の共振周波数は次のとおりです。

${\displaystyle \omega _{Q}={\sqrt {\frac {1}{L_{QA}C_{QA}}}}={\frac {\omega _{B}}{2\pi }},\ }$

ここでサイクロトロン周波数、 QHEのスケーリング電流は次のようになります。 ${\displaystyle \omega _{B}=eB/m-\ }$ ${\displaystyle L_{QA}={\frac {4\pi R_{H}}{\omega _{B}}}\ }$ ${\displaystyle C_{QA}={\frac {4\pi }{R_{H}\omega _{B}}}.\ }$

${\displaystyle I_{B}={\frac {e\omega _{B}}{4\pi }}.\ }$

したがって、インダクタンスエネルギーは次のようになります。

${\displaystyle W_{L}={\frac {L_{QA}I_{B}^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{B}}{4}}.\ }$

したがって、量子磁束の場合、インダクタンスエネルギーは基底状態振動エネルギーの半分になります。これは電子のスピンによるものです（同じ量子面要素上のランダウ準位には2つの電子が存在します）。したがって、インダクタンス／容量エネルギーは、スピンあたりのランダウ準位の全エネルギーを考慮します。 ${\displaystyle \Phi _{0}=h/e\ }$

「波」量子LC回路の説明

DOS LC回路と類似して、

${\displaystyle W_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {W_{C}}{2\pi \alpha }}={\frac {\gamma _{BY}W_{C}}{2}}\ }$

スピンの影響で2倍小さい値になります。しかし、ここに新たな無次元基本定数があります。

${\displaystyle \gamma _{BY}={\frac {1}{2\pi \alpha }}\ }$

これは量子LC回路の位相特性を考慮した定数である。この基本定数は、ボーア原子のボーア半径において初めて登場した。

${\displaystyle a_{B}=\gamma _{BY}\cdot \lambda _{0},\ }$

ここで、電子のコンプトン波長。 ${\displaystyle \lambda _{0}=h/m_{0}c-\ }$

したがって、波動量子LC回路には電荷は存在せず、電磁波のみが存在する。そのため、静電容量またはインダクタンスの「特性エネルギー」は、発振器の全エネルギーの数分の1になる。言い換えれば、波動LC回路の「入力」で電荷が「消失」し、「出力」で「生成」され、バランスを保つためにエネルギーが加算される。 ${\displaystyle \gamma _{BY}-\ }$

量子LC回路の全エネルギー

量子容量に蓄えられたエネルギー:

${\displaystyle W_{C}={\frac {Q_{C}^{2}}{2C}}=2\pi \alpha W_{LC}.\ }$

量子インダクタンスに蓄えられるエネルギー:

${\displaystyle W_{L}={\frac {\Phi _{L}^{2}}{2L}}=2\pi \alpha W_{LC}.\ }$

量子LC回路の共鳴エネルギー：

${\displaystyle W_{LC}=\hbar \omega _{LC}={\frac {\hbar }{\sqrt {LC}}}.\ }$

したがって、量子LC回路の全エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle W_{tot}=W_{LC}+W_{C}+W_{L}.\ }$

一般的なケースでは、共鳴エネルギーは電子の「静止質量」やボーア原子のエネルギーギャップなどに起因すると考えられます。しかし、容量に蓄えられるエネルギーは電荷に起因します。実際、自由電子とボーア原子のLC回路では、電子電荷に等しい量子化された電束が存在します。 ${\displaystyle W_{LC}\ }$ ${\displaystyle W_{C}\ }$ ${\displaystyle e\ }$

さらに、インダクタンスに蓄えられるエネルギーは磁気運動量によるものです。実際、ボーア原子にはボーア磁子が存在します。 ${\displaystyle W_{L}\ }$

${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m_{0}}}=0.5e\nu _{B}S_{B}={\frac {ea_{B}^{2}}{\sqrt {L_{B}C_{B}}}}.\ }$

自由電子の場合、ボーア磁子は次のようになります。

${\displaystyle \mu _{e}=0.5e\nu _{e}S_{e}=0.5e{\frac {m_{0}c^{2}}{h}}{\frac {\lambda _{0}^{2}}{2\pi }}={\frac {e\hbar }{2m_{0}}},\ }$

ボーア原子の場合も同様です。

アプリケーション

LC回路としての電子

電子容量は球状コンデンサとして表すことができます。

${\displaystyle C_{e}={\frac {4\pi \epsilon _{0}}{{\frac {1}{r_{e}}}-{\frac {1}{r_{e}+\lambda _{0}}}}}={\frac {\epsilon _{0}\lambda _{0}}{2\pi }},\ }$

ここで、電子半径とコンプトン波長です。 ${\displaystyle r_{e}={\frac {\lambda _{0}}{2{\sqrt {2}}\pi }}-\ }$ ${\displaystyle \lambda _{0}-\ }$

この電子半径はスピンの標準的な定義と一致していることに注意してください。実際には、電子の回転運動量は以下のとおりです。

${\displaystyle l_{e}=m_{0}\omega _{e}r_{e}^{2}=\hbar /2,\ }$

が考慮される場所です。 ${\displaystyle \omega _{e}=m_{0}c^{2}/\hbar \ }$

電子の球状インダクタンス:

${\displaystyle L_{e}={\frac {\mu _{0}\lambda _{0}}{2\pi }}.\ }$

電子の特性インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{e}={\sqrt {\frac {L_{e}}{C_{e}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}=2\alpha R_{H}.\ }$

電子LC回路の共振周波数：

${\displaystyle \omega _{e}={\sqrt {\frac {1}{L_{e}C_{e}}}}={\frac {2\pi c}{\lambda _{0}}}={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}.\ }$

電子容量に誘起される電束:

${\displaystyle Q_{e}=C_{e}V_{e}.\ }$

電子容量に蓄えられたエネルギー:

${\displaystyle W_{Ce}={\frac {C_{e}V_{e}^{2}}{2}}={\frac {Q_{e}^{2}}{2C_{e}}}=2\pi \alpha W_{0},\ }$

ここで電子の「静止エネルギー」は「静止エネルギー」です。したがって、誘導電束は次のようになります。 ${\displaystyle W_{0}=m_{0}c^{2}-\ }$

${\displaystyle Q_{e}={\sqrt {2\alpha m_{0}c^{2}\epsilon _{0}\lambda _{0}}}=e.\ }$

したがって、電子の静電容量を通じて、電子の電荷に等しい量子化された電束が得られます。

インダクタンスを通る磁束:

${\displaystyle \Phi _{e}=L_{e}I_{e}.\ }$

インダクタンスに蓄えられた磁気エネルギー:

${\displaystyle W_{Le}={\frac {L_{e}I_{e}^{2}}{2}}={\frac {\Phi _{e}^{2}}{2L_{e}}}=2\pi \alpha W_{0}.\ }$

したがって、誘導磁束は次のようになります。

${\displaystyle \Phi _{e}={\sqrt {2\mu _{0}hc\alpha }}=2\alpha \Phi _{0}.\ }$

ここで磁束量子が存在します。したがって、電子インダクタンスを通して磁束の量子化は起こりません。 ${\displaystyle \Phi _{0}=h/e-\ }$

ボーア原子をLC回路として

ボーア半径:

${\displaystyle a_{B}={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \alpha }}\ }$

ここで、電子のコンプトン波長、微細構造定数。 ${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {h}{m_{0}c}}-\ }$ ${\displaystyle \alpha -\ }$

ボーア原子表面:

${\displaystyle S_{B}=4\pi a_{B}^{2}\ }$。

ボーアインダクタンス:

${\displaystyle L_{B}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{B}\ }$。

ボーア容量:

${\displaystyle C_{B}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{B}\ }$。

ボーア波インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{B}={\sqrt {\frac {L_{B}}{C_{B}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}.\ }$

ボーア角周波数:

${\displaystyle \omega _{B}={\sqrt {\frac {1}{L_{B}C_{B}}}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\cdot {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}={\frac {2\pi c}{\lambda _{B}}},\ }$

ここで、ボーア波長は最初のエネルギーレベルの波長です。 ${\displaystyle \lambda _{B}={\frac {4\pi a_{B}}{\alpha }}-\ }$

ボーア第一エネルギー準位の誘導電束：

${\displaystyle Q_{B}=C_{B}V_{B}.\ }$

ボーア容量に蓄えられるエネルギー:

${\displaystyle W_{C}B={\frac {C_{B}V_{B}^{2}}{2}}={\frac {Q_{B}^{2}}{2C_{B}}}=2\pi \alpha W_{B},\ }$

ボーアエネルギーはここにあります。したがって、誘導電束は次のようになります。 ${\displaystyle W_{B}=\hbar \omega _{B}-\ }$

${\displaystyle Q_{B}={\sqrt {2\pi \alpha ^{3}m_{0}c^{2}C_{B}}}=e.\ }$

したがって、ボーア容量を通じて、電子の電荷に等しい量子化された電束が得られます。

ボーアインダクタンスを通る磁束:

${\displaystyle W_{L}B={\frac {L_{B}I_{B}^{2}}{2}}={\frac {\Phi _{B}^{2}}{2L_{B}}}=2\pi \alpha W_{0}.\ }$

したがって、誘導磁束は次のようになります。

${\displaystyle \Phi _{B}={\frac {\pi \alpha ^{2}ec}{\lambda _{0}}}L_{B}=2\alpha \Phi _{0}.\ }$

したがって、ボーアインダクタンスを通じて磁束の量子化は起こりません。

LC回路としての光子

光子の「共鳴角周波数」：

${\displaystyle \omega _{w}={\sqrt {\frac {1}{L_{w}C_{w}}}}.\ }$

光子の「波動インピーダンス」：

${\displaystyle \rho _{w}={\sqrt {\frac {L_{w}}{C_{w}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}.\ }$

光子の「波の誘導」：

${\displaystyle L_{w}={\frac {\rho _{0}}{\omega _{w}}}.\ }$

光子の「波動容量」：

${\displaystyle C_{w}={\frac {1}{\rho _{0}\omega _{w}}}.\ }$

光子「磁束量子」：

${\displaystyle \phi _{w}=L_{w}I_{w}=\phi _{0}={\frac {h}{e}}.\ }$

光子の「波動電流」：

${\displaystyle I_{w}={\frac {h}{eL_{w}}}={\frac {e\omega _{w}}{2\alpha }}.\ }$

LC回路としての量子ホール効果

一般的なケースでは、固体内の 2D 状態密度 (DOS) は次のように定義されます。

${\displaystyle D_{2D}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}\ }$、

ここで、電流キャリアは固体中の有効質量、電子質量、そして固体のバンド構造を考慮した無次元パラメータである。したがって、量子インダクタンスは次のように定義できる。 ${\displaystyle m^{*}=\xi m_{0}-\ }$ ${\displaystyle m_{0}-\ }$ ${\displaystyle \xi -\ }$

${\displaystyle L_{QL}=\phi _{0}^{2}\cdot D_{2D}=\xi \cdot L_{Q0}}$、

ここで、量子インダクタンスの「理想値」は であり、別の理想的な量子インダクタンスは次のようになります。 ${\displaystyle L_{Q0}8\pi \beta \cdot L_{QY}\ }$ ${\displaystyle \xi =1\ }$

${\displaystyle L_{QY}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}=H/m^{2}\ }$、（3）

ここで、磁気定数、磁気「微細構造定数」^[1]  （p.62）、微細構造定数、電子のコンプトン波長は、Yakymakha（1994） ^[4]によってシリコンMOSFETの分光学的研究において初めて定義されました。 ${\displaystyle \mu _{0}-\ }$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{4\alpha }}-\ }$ ${\displaystyle \alpha -\ }$ ${\displaystyle \lambda _{0}-\ }$

上記で定義した量子インダクタンスは単位面積あたりなので、その絶対値はQHEモードになります。

${\displaystyle L_{QA}={\frac {L_{QL}}{n_{B}}}\ }$、

ここでキャリア濃度は次のようになります。

${\displaystyle n_{B}={\frac {eB}{h}}\ }$、

はプランク定数です。同様に、量子ホール効果モードでは量子容量の絶対値は次のようになります。 ${\displaystyle h-\ }$

${\displaystyle C_{QA}={\frac {C_{QL}}{n_{B}}}\ }$、

どこ

${\displaystyle C_{QL}=e^{2}\cdot D_{2D}=\xi \cdot C_{Q0}}$、

^{はルリイ[5]} による量子容量のDOS定義である。量子容量は における「理想値」であり、他の量子容量は以下の通りである。 ${\displaystyle C_{Q0}=8\pi \alpha \cdot C_{QY}\ }$ ${\displaystyle \xi =1\ }$

${\displaystyle C_{QY}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}=3.6492417F/m^{2}\ }$、

ここで、誘電率は、Yakymakha (1994) ^[4]によってシリコンMOSFETの分光学的研究において初めて定義されました。QHE LC回路の標準的な波動インピーダンスの定義は、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \epsilon _{0}-\ }$

${\displaystyle \rho _{Q}={\sqrt {\frac {L_{QA}}{C_{QA}}}}={\sqrt {\frac {\phi _{0}^{2}}{e^{2}}}}={\frac {h}{e^{2}}}=R_{H}\ }$、

ここで、フォン・クリッツィングは抵抗の定数です。 ${\displaystyle R_{H}={\frac {h}{e^{2}}}=25.812813k\Omega \ }$

QHE LC回路の標準的な共振周波数の定義は次のように表すことができます。

${\displaystyle \omega _{Q}={\frac {1}{\sqrt {L_{QA}C_{QA}}}}={\frac {\hbar \omega _{c}}{\phi _{0}e}}={\frac {\omega _{c}}{2\pi }}}$、

ここで、磁場 B における標準サイクロトロン周波数です。 ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}}}-\ }$

ホールスケーリング電流量子は

${\displaystyle I_{H}={\frac {h}{eL_{QA}}}={\frac {e\omega _{B}}{4\pi }}\ }$、

ここで、ホール角周波数。 ${\displaystyle \omega _{B}={\frac {eB}{m^{*}}}-\ }$

LC回路としてのジョセフソン接合

電磁誘導（ファラデー）の法則：

${\displaystyle V_{ind}={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}},\ }$

ここで、磁束、ジョセフソン接合の量子インダクタンス、ジョセフソン接合の電流。電流に関するDCジョセフソン方程式： ${\displaystyle \Phi -\ }$ ${\displaystyle L-\ }$ ${\displaystyle I-\ }$

${\displaystyle I=I_{J}\cdot \sin \phi ,\ }$

ここで、電流のジョセフソンスケールは超伝導体間の位相差です。電流の時間微分は次のようになります。 ${\displaystyle I_{J}-\ }$ ${\displaystyle \phi -\ }$

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=I_{J}\cos \phi \cdot {\frac {\partial \phi }{\partial t}}.\ }$

ACジョセフソン方程式:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {q}{\hbar }}V={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V,\ }$

ここで、縮約プランク定数、ジョセフソン磁束量子、電子電荷である。導関数の式を組み合わせると、接合電圧が得られる。 ${\displaystyle \hbar -\ }$ ${\displaystyle \Phi _{0}=h/2e-}$ ${\displaystyle q=2e\ }$ ${\displaystyle e-\ }$

${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\cos \phi }}\cdot {\frac {\partial I}{\partial t}}=L_{J}\cdot {\frac {\partial I}{\partial t}},\ }$

どこ

${\displaystyle L_{J}={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\cos \phi }}\ }$

は Devoret (1997) ^[6]量子インダクタンスです。

角周波数に関するACジョセフソン方程式:

${\displaystyle \omega _{J}={\frac {q}{\hbar }}\cdot V.\ }$

ジョセフソンLC回路の共振周波数:

${\displaystyle \omega _{J}={\sqrt {\frac {1}{L_{J}C_{J}}}}.\ }$

ここで、Devoret量子容量は次のように定義されます。 ${\displaystyle C_{J}-\ }$

${\displaystyle C_{J}={\frac {1}{L_{J}\omega _{J}^{2}}}={\frac {\Phi _{0}I_{J}}{V_{0}^{2}}}\cdot {\frac {\cos \phi }{2\pi }}.\ }$

ジョセフソン接合の量子波インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{J}={\sqrt {\frac {L_{J}}{C_{J}}}}={\frac {V_{0}}{I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\cos \phi }}}.\ }$

mVおよびA波のインピーダンスは ${\displaystyle V_{0}=0,1}$ ${\displaystyle I_{J}=0,2\mu }$ ${\displaystyle \rho _{J}=500\Omega .\ }$

LC回路としての平面原子

平面原子の量子容量（FA）：

${\displaystyle C_{F0}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{F0}=5.1805\cdot 10^{-7}\ }$F、

どこ。 ${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {h}{m_{0}c}}\ }$

FAの量子インダクタンス:

${\displaystyle L_{F0}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{F0}=7.3524\cdot 10^{-2}\ }$H.

FAの量子面積要素:

${\displaystyle S_{F0}={\frac {\lambda _{0}c}{\omega _{F0}}}={\frac {h}{m_{0}\omega _{F0}}}=1.4196\cdot 10^{-7}\ }$メートル²。

FAの共振周波数:

${\displaystyle \omega _{F0}={\sqrt {\frac {1}{L_{F0}C_{F0}}}}=5123.9\ }$rad/s。

FAの特性インピーダンス:

${\displaystyle \rho _{F0}={\sqrt {\frac {L_{F0}}{C_{F0}}}}=\rho _{0}=2\alpha R_{H},\ }$

ここで自由空間のインピーダンスは です。 ${\displaystyle \rho _{0}\ }$

FAの最初のエネルギーレベルにおける全電荷:

${\displaystyle Q_{F1}=e{\sqrt {\frac {S_{F0}}{S_{B}}}}=2\cdot 10^{6}e\ }$、

ここで、ボーア量子面積要素である。最初のFAは、Yakymakha (1994) ^[4]によってpチャネルMOSFETの非常に低周波の共鳴として発見された。球状のボーア原子とは異なり、FAはエネルギー準位の数（n）に対して双曲的な依存性を持つ^[7]。 ${\displaystyle S_{B}=4\pi a_{B}^{2}-\ }$

${\displaystyle \omega _{F0n}={\frac {\omega _{F0}}{n}}.\ }$

参照

• LC回路
• 調和振動子
• 量子調和振動子
• 量子電磁共振器

参考文献

1. Yakymakha OL(1989). MOSFETの2次元反転層における高温量子ガルバノ磁気効果（ロシア語）. キエフ: Vyscha Shkola. p. 91. ISBN 5-11-002309-3. djvu 2011年6月5日アーカイブ、Wayback Machine
2. Devoret MH, Martinis JM (2004). 「超伝導集積回路による量子ビットの実装」. 量子情報処理, v.3, N1. PDF
3. Raphael TsuとTimir Datta (2008)「電子のコンダクタンスと波動インピーダンス」。電磁気学研究の進歩シンポジウム、中国杭州、3月24～28日。PDF
4. Yakymakha OL, Kalnibolotskij YM (1994). 「MOSFETアンプパラメータの超低周波共振」. Solid-State Electronics 37(10), 1739–1751. PDF
5. セルジュ・ルリ (1988). 「量子容量デバイス」. Appl.Phys.Lett. 52(6). PDF
6. Devoret MH (1997). 「量子変動」. アムステルダム, オランダ: Elsevier. pp. 351–386. PDF 2010年4月1日アーカイブ, Wayback Machine
7. Yakymakha OL, Kalnibolotskij YM, Solid-State Electronics, vol.38, no.3, 1995, pp. 661–671. PDF

出典

• WHルイゼル「放射線の量子統計特性」（ワイリー、ニューヨーク、1973年）
• ミシェル・H・デヴォレ電気回路における量子ゆらぎ。 PDF
• Fan Hong-yi, Pan Xiao-yin. Chin.Phys.Lett. No.9(1998)625. PDF Archived 2011-07-07 at the Wayback Machine
• Xu, Xing-Lei; Li, Hong-Qi; Wang, Ji-Suo「熱励起状態における相互容量・インダクタンス結合を有するメソスコピック減衰二重共鳴RLC回路の量子ゆらぎ」中​​国物理学、第16巻、第8号、pp. 2462–2470 (2007).[1]
• Hong-Qi Li、Xing-Lei Xu、Ji-Suo Wang。メソスコピック石英圧電結晶の熱真空状態における電流と電圧の量子ゆらぎ。[2]
• ボリス・ヤ・ゼルドヴィッチ「インピーダンスと発振器のパラメトリック励起」UFN、2008年、第178巻、第5号。PDF

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