量子微分積分

量子幾何学または非可換幾何学において、体上の代数上の量子微分計算または非可換微分構造とは、代数上の微分形式の空間の指定を意味する。ここで代数は座標環とみなされるが、非可換である可能性があり、したがって実空間上の座標関数の実在代数ではない可能性があるという点が重要である。したがって、これは実空間の微分可能構造の指定に代わる観点を表している。通常の微分幾何学では、微分1形式に左関数と右関数を乗じることができ、外微分が存在する。これに対応して、1階の量子微分計算は少なくとも以下のことを意味する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

1. 上の-双加群、つまり の要素と の要素を結合的に掛け合わせることができる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle a(\omega b)=(a\omega )b,\ \forall a,b\in A,\ \omega \in \Omega ^{1}.}$$
2. ライプニッツ則に従う線型写像 ${\displaystyle {\rm {d}}:A\to \Omega ^{1}}$ $${\displaystyle {\rm {d}}(ab)=a({\rm {d}}b)+({\rm {d}}a)b,\ \forall a,b\in A}$$
3. ${\displaystyle \Omega ^{1}=\{a({\rm {d}}b)\ |\ a,b\in A\}}$
4. （オプションの接続条件） ${\displaystyle \ker \ {\rm {d}}=k1}$

最後の条件は常に課されるわけではないが、多様体が連結されている場合、通常の幾何学において成立する。これは、 によって殺される関数は定数関数のみであることを意味する。 ${\displaystyle {\rm {d}}}$

上の外積代数または微分次数代数構造は、高階微分形式の類似物を含むように互換的に拡張されたことを意味する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$

$${\displaystyle \Omega =\oplus _{n}\Omega ^{n},\ {\rm {d}}:\Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}}$$

は 上の結合積に関する次数ライプニッツ則に従い、 に従う。ここで、 は通常によって生成されることが求められる。微分形式の積は外積または楔積と呼ばれ、しばしば と表記される。非可換または量子ド・ラーム・コホモロジーは、この複体のコホモロジーとして定義される。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\rm {d}}^{2}=0}$ ${\displaystyle \Omega ^{0}=A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A,\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \wedge }$

高階微分積分は、外積代数を意味する場合もあれば、ある最高次数までの代数の部分指定を意味し、最高次数を超える次数になる積は指定されないことを意味する場合もあります。

上記の定義は、非可換幾何学への2つのアプローチの交差点に位置します。コンヌのアプローチでは、より基本的な対象としてディラック作用素のスペクトル三重項の形での置き換えが用いられ、このデータから外積代数を構築することができます。量子群のアプローチによる非可換幾何学では、代数と一階微分積分学の選択から始めますが、量子群対称性の下での共変性によって制約されます。

注記

上記の定義は最小限であり、代数が可換であったり実空間上の関数であったりする場合でも、古典的な微分積分​​よりも一般的なものを与える。これは、 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle a({\rm {d}}b)=({\rm {d}}b)a,\ \forall a,b\in A}$$

これは を意味し、代数が非可換である場合、公理4に違反することになるからです。副産物として、この拡張された定義には、有限集合と有限群（有限群リー代数理論）上の有限差分計算と量子微分計算が含まれます。 ${\displaystyle {\rm {d}}(ab-ba)=0,\ \forall a,b\in A}$

例

1. 一変数多項式代数に対して、並進共変量子微分計算は によってパラメータ化され、 の形をとります。これは、量子幾何学において有限差分が自然に生じる様子を示しています。 の極限のみが1-形式と可換な関数を持ち、これは高校微分積分の特殊なケースです。 ${\displaystyle A={\mathbb {C} }[x]}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}x,\quad ({\rm {d}}x)f(x)=f(x+\lambda )({\rm {d}}x),\quad {\rm {d}}f={f(x+\lambda )-f(x) \over \lambda }{\rm {d}}x}$$ ${\displaystyle \lambda \to 0}$
2. 代数円上の関数の代数の場合、変換（つまり円回転）共変微分計算は によってパラメータ化され、 という形式になります。これは、量子幾何学で - 微分が自然に生じる様子を示しています。 ${\displaystyle A={\mathbb {C} }[t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle q\neq 0\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}t,\quad ({\rm {d}}t)f(t)=f(qt)({\rm {d}}t),\quad {\rm {d}}f={f(qt)-f(t) \over q(t-1)}\,{\rm {dt}}}$$ ${\displaystyle q}$
3. 任意の代数に対して、で定義される普遍微分積分が存在する。ここでは代数積である。公理3. により、任意の一階微分積分はこれの商となる。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Omega ^{1}=\ker(m:A\otimes A\to A),\quad {\rm {d}}a=1\otimes a-a\otimes 1,\quad \forall a\in A}$$ ${\displaystyle m}$

参照

• 量子幾何学
• 非可換幾何学
• 量子計算
• 量子群
• 量子時空

さらに読む

• Connes, A. (1994),非可換幾何学, Academic Press , ISBN 0-12-185860-X
• Majid, S. (2002),量子群入門, ロンドン数学会講義ノートシリーズ, 第292巻,ケンブリッジ大学出版局, doi :10.1017/CBO9780511549892, ISBN 978-0-521-01041-2、MR  1904789

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