量子相互情報量

Measure in quantum information theory

量子情報理論において、量子相互情報量（QMI）、あるいはジョン・フォン・ノイマンにちなんでフォン・ノイマン相互情報量と呼ばれるものは、量子状態のサブシステム間の相関関係の尺度である。これは、シャノン相互情報量の量子力学的類似物である。

モチベーション

簡単にするために、この記事内のすべてのオブジェクトは有限次元であると仮定します。

量子相互エントロピーの定義は古典的なケースに由来する。2変数p ( x , y )の確率分布に対して、2つの周辺分布は

${\displaystyle p(x)=\sum _{y}p(x,y),\qquad p(y)=\sum _{x}p(x,y).}$

古典的な相互情報量I ( X : Y )は次のように定義される。

${\displaystyle I(X:Y)=S(p(x))+S(p(y))-S(p(x,y))}$

ここで、S ( q )は確率分布qのシャノンエントロピーを表します。

直接計算できる

${\displaystyle {\begin{aligned}S(p(x))+S(p(y))&=-\left(\sum _{x}p_{x}\log p(x)+\sum _{y}p_{y}\log p(y)\right)\\&=-\left(\sum _{x}\left(\sum _{y'}p(x,y')\log \sum _{y'}p(x,y')\right)+\sum _{y}\left(\sum _{x'}p(x',y)\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\left(\sum _{x,y}p(x,y)\left(\log \sum _{y'}p(x,y')+\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x)p(y)\end{aligned}}}$

相互情報量は

${\displaystyle I(X:Y)=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}},}$

ここで、相互情報量をビット単位で得るために、基底2の対数が取られています。しかし、これはまさにp ( x , y )とp ( x ) p ( y )間の相対エントロピーです。言い換えれば、2つの変数xとyが無相関であると仮定した場合、相互情報量とは、この（おそらく誤った）仮定から生じる不確実性の差異です。

相対エントロピーの性質から、I ( X : Y ) ≥ 0 となり、 p ( x , y ) = p ( x ) p ( y )の場合にのみ等式が成立することがわかります。

意味

古典的な確率分布の量子力学的対応物は、密度行列でモデル化されます。

AとBの2つの部分に分割でき、どちらの部分でも独立に測定できる量子系を考える。量子系全体の状態空間は、2つの部分の空間のテンソル積となる。

${\displaystyle H_{AB}:=H_{A}\otimes H_{B}.}$

ρ ^{AB を}H _ABの状態に作用する密度行列とする。密度行列 S( ρ ) のフォン・ノイマン・エントロピーは、シャノン・エントロピーの量子力学的類似である。

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .}$

確率分布p ( x , y ) に対して、周辺分布は変数xまたはyを積分することによって得られる。密度行列に対する対応する演算は部分トレースである。したがって、 ρにサブシステムA上の状態を割り当てるには、次のように する。

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho ^{AB}}$

ここでTr _Bは系Bに関する部分トレースである。これは系Aにおけるρ ^ABの縮約状態である。系Aに関するρ ^ABの縮約フォン・ノイマン・エントロピーは

${\displaystyle \;S(\rho ^{A}).}$

S ( ρ ^B ) も同様に定義されます。

古典的な定義に対応する量子相互情報量の定義は次のようになることがわかります。

${\displaystyle \;I(A\!:\!B):=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB}).}$

量子相互情報量は古典的場合と同じように解釈できる。

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{AB}\|\rho ^{A}\otimes \rho ^{B})}$

ここで、 は量子相対エントロピーを表します。相互情報量の量子的なケースへの別の一般化が存在することに注意してください。ある状態における両者の差は量子不一致と呼ばれ、これは当該状態における量子相関の尺度です。 ${\displaystyle S(\cdot \|\cdot )}$

プロパティ

状態が純粋な場合（つまり）、相互情報量は状態のエンタングルメントエントロピーの2倍になります。 ${\displaystyle \rho ^{AB}}$ ${\displaystyle S(\rho ^{AB})=0}$

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})=2S(\rho ^{A})}$

しかしながら、量子相互情報量が正であることは必ずしもエンタングルメントを示すものではない。分離可能な状態の古典的な混合ではエンタングルメントは常にゼロとなるが、QMIがゼロでない場合もある。

${\displaystyle \rho ^{AB}={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I(A\!:\!B)&=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})\\&=S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)+S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)-S\left({\frac {1}{2}}(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)\right)\\&=\log 2+\log 2-\log 2=\log 2\end{aligned}}}$

この場合、状態は単に古典的に相関した状態になります。

参考文献

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