量子相対エントロピー

Measure of distinguishability between two quantum states

量子情報理論において、量子相対エントロピーは2つの量子状態を区別できる尺度であり、相対エントロピーの量子力学的類似物である。

動機

簡潔にするために、この記事内のすべてのオブジェクトは有限次元であると仮定します

まず、古典的なケースについて考察する。有限の事象列の確率が確率分布P = { p ₁ ... p _n }で与えられるとする。しかし、何らかの理由で、我々はそれをQ = { q ₁ ... q _n }と誤って仮定したとする。例えば、不正なコインを不正なコインと誤認することがある。この誤った仮定によれば、j番目の事象に関する不確実性、あるいはj番目の事象を観測した後に得られる情報量は、

${\displaystyle \;-\log q_{j}.}$

全ての起こり得る事象の（仮定された）平均不確実性は、

${\displaystyle \;-\sum _{j}p_{j}\log q_{j}.}$

一方、確率分布pのシャノンエントロピーは次のように定義される。

${\displaystyle \;-\sum _{j}p_{j}\log p_{j},}$

は観測前の不確かさの真の量である。したがって、これら2つの量の差は

${\displaystyle \;-\sum _{j}p_{j}\log q_{j}-\left(-\sum _{j}p_{j}\log p_{j}\right)=\sum _{j}p_{j}\log p_{j}-\sum _{j}p_{j}\log q_{j}}$

は、2つの確率分布pとqの区別可能性を表す尺度です。これはまさに古典的な相対エントロピー、つまりカルバック・ライブラー情報量です。

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{j}p_{j}\log {\frac {p_{j}}{q_{j}}}\!.}$

注記

1. 上記の定義では、0·log 0 = 0という規則が仮定されています。直感的には、確率がゼロのイベントはエントロピーに何の寄与もしないと予想されます。 ${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}x\log(x)=0}$
2. 相対エントロピーは指標ではありません。例えば、対称的ではありません。公平なコインを不公平だと誤認することによる不確実性の矛盾は、その逆の状況とは異なります。

定義

量子情報理論における他の多くの対象と同様に、量子相対エントロピーは、古典的な定義を確率分布から密度行列へと拡張することによって定義されます。ρを密度行列とします。シャノンエントロピーの量子力学的類似物であるρのフォン・ノイマンエントロピーは、次のように与えられます

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .}$

2つの密度行列ρとσに対して、σに関するρの量子相対エントロピーは次のように定義される。

${\displaystyle S(\rho \|\sigma )=-\operatorname {Tr} \rho \log \sigma -S(\rho )=\operatorname {Tr} \rho \log \rho -\operatorname {Tr} \rho \log \sigma =\operatorname {Tr} \rho (\log \rho -\log \sigma ).}$

状態が古典的に関連している場合、つまりρσ = σρの場合、定義は古典的な場合と一致することがわかります。つまり、およびがおよびである場合（と は可換であるため、それらは同時に対角化可能）、 は確率ベクトル に関する確率ベクトルの通常のKullback–Leibler ダイバージェンスになります。 ${\displaystyle \rho =SD_{1}S^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \sigma =SD_{2}S^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle D_{1}={\text{diag}}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle D_{2}={\text{diag}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S(\rho \|\sigma )=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\ln \left({\frac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}\right)}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle (\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})}$

非有限（発散）相対エントロピー

一般に、行列Mの台はその核の直交補行列、すなわち である。量子相対エントロピーを考える場合、任意のs > 0 に対して − s  · log 0 = ∞という慣例を仮定する 。このことから、次の定義が導かれる。 ${\displaystyle {\text{supp}}(M)={\text{ker}}(M)^{\perp }}$

${\displaystyle S(\rho \|\sigma )=\infty }$

とき

${\displaystyle {\text{supp}}(\rho )\cap {\text{ker}}(\sigma )\neq \{0\}.}$

これは次のように解釈できます。非公式には、量子相対エントロピーは2つの量子状態を区別する能力の尺度であり、値が大きいほど状態が異なることを示します。直交であることは、最も異なる量子状態が存在できることを表します。これは、直交量子状態に対する量子相対エントロピーが有限でないことに反映されています。「動機付け」のセクションで示した議論に従うと、状態がでサポートされていると誤って仮定した場合、これは回復不可能なエラーです ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{ker}}(\sigma )}$

しかし、量子相対エントロピーの発散が、状態とが直交している、あるいは他の尺度では非常に異なることを意味すると結論付けないように注意する必要がある。具体的には、あるノルムで測った場合に、状態とが無視できるほど小さい差しかない場合、状態は発散する可能性がある。例えば、対角表現が ${\displaystyle S(\rho \|\sigma )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S(\rho \|\sigma )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma =\sum _{n}\lambda _{n}|f_{n}\rangle \langle f_{n}|}$

に対しては、に対しては となる。ここでは直交集合である。 の核は集合 が張る空間である。次に ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{n}=0}$ ${\displaystyle n=-1,-2,\ldots }$ ${\displaystyle \{|f_{n}\rangle ,n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{|f_{n}\rangle ,n=-1,-2,\ldots \}}$

${\displaystyle \rho =\sigma +\epsilon |f_{-1}\rangle \langle f_{-1}|-\epsilon |f_{1}\rangle \langle f_{1}|}$

小さな正の数 に対して。の核においてがサポート（つまり状態 ）を持つため、の差のトレースノルムがであるにもかかわらず、 は発散する。これは、 と の差をトレースノルムで測ると、 が発散する（すなわち無限大である）にもかかわらず、 と の差が のようにほぼゼロに小さくなることを意味する。量子相対エントロピーのこの性質は、注意深く扱わなければ重大な欠陥となる。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |f_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S(\rho \|\sigma )}$ ${\displaystyle (\rho -\sigma )}$ ${\displaystyle 2\epsilon }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle S(\rho \|\sigma )}$

相対エントロピーの非負性

対応する古典的な記述

古典的なカルバック・ライブラー距離については、次のように示される

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{j}p_{j}\log {\frac {p_{j}}{q_{j}}}\geq 0,}$

そして、この等式はP = Qの場合にのみ成立します。口語的に言えば、これは誤った仮定に基づいて計算された不確実性は、実際の不確実性よりも常に大きいことを意味します。

不等式を示すために書き直すと、

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{j}p_{j}\log {\frac {p_{j}}{q_{j}}}=\sum _{j}(-\log {\frac {q_{j}}{p_{j}}})(p_{j}).}$

log は凹関数であることに注意する。したがって、-log は凸関数である。Jensenの不等式を適用すると、次式が得られる。

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{j}(-\log {\frac {q_{j}}{p_{j}}})(p_{j})\geq -\log(\sum _{j}{\frac {q_{j}}{p_{j}}}p_{j})=0.}$

ジェンセンの不等式は、すべてのiに対してq _i = (Σ q _j ) p _i、つまりp = qの場合にのみ等式が成立することを述べています。

結果

クラインの不等式は、量子相対エントロピーが

${\displaystyle S(\rho \|\sigma )=\operatorname {Tr} \rho (\log \rho -\log \sigma ).}$

は一般に非負です。ρ = σの場合にのみゼロになります。

証明

ρとσはスペクトル分解を持つとする

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}\;,\;\sigma =\sum _{i}q_{i}w_{i}w_{i}^{*}.}$

つまり

${\displaystyle \log \rho =\sum _{i}(\log p_{i})v_{i}v_{i}^{*}\;,\;\log \sigma =\sum _{i}(\log q_{i})w_{i}w_{i}^{*}.}$

直接計算すると

${\displaystyle S(\rho \|\sigma )=\sum _{k}p_{k}\log p_{k}-\sum _{i,j}(p_{i}\log q_{j})|v_{i}^{*}w_{j}|^{2}}$

${\displaystyle \qquad \quad \;=\sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\sum _{j}\log q_{j}|v_{i}^{*}w_{j}|^{2})}$

${\displaystyle \qquad \quad \;=\sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\sum _{j}(\log q_{j})P_{ij}),}$

ここでP _{i j} = | v _i * w _j | ²となります

行列 ( P _{i j} ) _ijは二重確率行列であり、 -log は凸関数であるため、上記の式は

${\displaystyle \geq \sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\log(\sum _{j}q_{j}P_{ij})).}$

r _i = Σ _j q _j P _{i j}と定義する。すると{ r _i }は確率分布となる。古典的相対エントロピーの非負性から、

${\displaystyle S(\rho \|\sigma )\geq \sum _{i}p_{i}\log {\frac {p_{i}}{r_{i}}}\geq 0.}$

主張の2番目の部分は、-logが厳密に凸であるため、等式が達成されるという事実から導かれる。

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\sum _{j}(\log q_{j})P_{ij})\geq \sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\log(\sum _{j}q_{j}P_{ij}))}$

（ P _{i j}）が順列行列である場合に限り、固有ベクトル{ v _i }と{ w _i }を適切にラベル付けした後、 ρ = σが成り立つ。 ^{[1] :513}

相対エントロピーの共凸性

相対エントロピーは共凸である。との状態に対して、 ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ ${\displaystyle \rho _{1(2)},\sigma _{1(2)}}$

${\displaystyle D(\lambda \rho _{1}+(1-\lambda )\rho _{2}\|\lambda \sigma _{1}+(1-\lambda )\sigma _{2})\leq \lambda D(\rho _{1}\|\sigma _{1})+(1-\lambda )D(\rho _{2}\|\sigma _{2})}$

相対エントロピーの単調性

相対エントロピーは密度行列に対する完全正値 トレース保存（CPTP）演算の下で単調に減少する。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )}$。

この不等式は量子相対エントロピーの単調性と呼ばれ、ヨーラン・リンドブラッドによって初めて証明されました

エンタングルメント測度

複合量子系が状態空間を持つとする

${\displaystyle H=\otimes _{k}H_{k}}$

ρをHに作用する密度行列とする

ρの相対エントロピーは次のように定義される。

${\displaystyle \;D_{\mathrm {REE} }(\rho )=\min _{\sigma }S(\rho \|\sigma )}$

ここで、最小値は分離可能な状態の族にわたって取られる。この量の物理的な解釈は、状態ρと分離可能な状態との最適な区別可能性である。

明らかにρが絡まっていないとき

${\displaystyle \;D_{\mathrm {REE} }(\rho )=0}$

クラインの不等式によって

他の量子情報量との関係

量子相対エントロピーが有用な理由の1つは、他のいくつかの重要な量子情報量がその特別な場合であるためです。多くの場合、定理は量子相対エントロピーを用いて述べられ、他の量に関する直接的な系が導かれます。以下に、これらの関係のいくつかを挙げます

ρ _{AB を}、n _A次元の部分系Aとn _B次元の部分系Bからなる二部システムの結合状態とする。ρ A _、 ρ B_をそれぞれの縮約状態、I _A、I _Bをそれぞれの恒等状態とする。最大混合状態はI _A / n _AとI _B / n _Bである。このとき、直接計算によって次式が示される。

${\displaystyle S(\rho _{A}||I_{A}/n_{A})=\mathrm {log} (n_{A})-S(\rho _{A}),\;}$

${\displaystyle S(\rho _{AB}||\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB})=I(A:B),}$

${\displaystyle S(\rho _{AB}||\rho _{A}\otimes I_{B}/n_{B})=\mathrm {log} (n_{B})+S(\rho _{A})-S(\rho _{AB})=\mathrm {log} (n_{B})-S(B|A),}$

ここで、I ( A : B )は量子相互情報量であり、S ( B | A )は量子条件エントロピーである。

参考文献

1. ニールセン、マイケル・A.、チュアン、アイザック・L. (2010). 量子計算と量子情報（10周年記念版）. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-00217-3。

• Vedral, V. (2002年3月8日). 「量子情報理論における相対エントロピーの役割」. Reviews of Modern Physics . 74 (1). American Physical Society (APS): 197–234 . arXiv : quant-ph/0102094 . Bibcode : 2002RvMP...74..197V. doi : 10.1103/revmodphys.74.197. ISSN  0034-6861. S2CID  6370982
• マルコ・トマミチェル、「有限資源による量子情報処理 ― 数学的基礎」arXiv:1504.00233

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