量子回転子モデル

量子回転子モデルは、量子系の数学モデルです。回転する電子の配列として視覚化することができ、これらの電子は剛体回転子として振る舞い、磁気双極子モーメントに起因する短距離双極子間磁気力（クーロン力は無視）を介して相互作用します。このモデルは、運動エネルギーに相当する項を含む点で、イジングモデルやハイゼンベルクモデルなどの類似のスピンモデルと異なります。

基本的な量子回転子は自然界には存在しないが、このモデルは低エネルギー状態にある十分に少数の密接に結合した電子のシステムの有効自由度を記述することができる。 ^{[ 1 ]}

処方

与えられたサイトにおけるモデルのn次元位置（方向）ベクトルをと仮定する。すると、回転子の運動量は、成分の交換関係によって定義できる。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle [n_{\alpha },p_{\beta }]=i\delta _{\alpha \beta }}$

しかし、回転子角運動量演算子を（3次元で）成分で定義すると便利であることがわかっている^{[ 1 ]。} ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }n_{\beta }p_{\gamma }}$

そして、量子ローター間の磁気相互作用、ひいてはそれらのエネルギー状態は、次のハミルトニアンで記述できます。

${\displaystyle H_{R}={\frac {J{\bar {g}}}{2}}\sum _{i}\mathbf {L} _{i}^{2}-J\sum _{\langle ij\rangle }\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {n} _{j}}$

ここで、は定数です。相互作用の和は、山括弧で示されているように、最も近い近傍について行われます。非常に小さい場合と非常に大きい場合、ハミルトニアンは2つの異なる構成（基底状態）を予測します。それぞれ「磁気的に」秩序立った回転子と、無秩序または「常磁性」回転子です。^{[ 1 ]} ${\displaystyle J,{\bar {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {g}}}$

量子回転子間の相互作用は、回転子を磁気モーメントではなく局所電流として扱う別の（同等の）ハミルトニアンで記述することができる。^{[ 2 ]}

高次元では、ハミルトニアンは次のように定義される。

${\displaystyle H_{R}={\frac {J{\bar {g}}}{2}}\sum _{i}\Delta _{i}-J\sum _{\langle ij\rangle }\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {n} _{j}}$

ここで、は球面上のラプラス・ベルトラミ作用素である。これは大n極限において正確に解ける。^{[ 1 ] [ 3 ]} ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

プロパティ

回転子モデルの重要な特徴の一つは連続的なO(N)対称性であり、したがって磁気秩序状態において連続的な対称性の破れが生じることである。2層のハイゼンベルクスピン とを持つ系において、回転子モデルはハイゼンベルク反強磁性体の低エネルギー状態を近似し、ハミルトニアンは次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {S} _{1i}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{2i}}$

${\displaystyle H_{d}=K\sum _{i}\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{2i}+J\sum _{\langle ij\rangle }\left(\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{1j}+\mathbf {S} _{2i}\cdot \mathbf {S} _{2j}\right)}$

対応関係^{[ 1 ]を使用する} ${\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {S} _{1i}+\mathbf {S} _{2i}}$

アプリケーション

O(2)対称性を持つ量子回転子モデルの特殊なケースは、ジョセフソン接合の超伝導アレイや光格子におけるボソンの挙動を記述するために使用できます。^{[ 4 ]} O(3)対称性の別の特殊なケースは、量子ハイゼンベルク反強磁性体の2層（二重層）のシステムと同等であり、二重層量子ホール強磁性体を記述することもできます。^{[ 4 ]}また、2次元回転子モデルの相転移は、反強磁性ハイゼンベルクスピンモデルと同じ普遍性クラスを持つことも示されています。^{[ 5 ]}

参照

• 量子ハイゼンベルクモデル
• Nベクトルモデル
• 古典ハイゼンベルクモデル
• 古典的なXYモデル
• イジングモデル

参考文献

1. サッチデフ、スビール（1999年）『量子相転移』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-00454-1. 2010年7月10日閲覧。
2. Alet, Fabien; Erik S. Sørensen (2003). 「量子回転子モデルのためのクラスターモンテカルロアルゴリズム」. Phys. Rev. E . 67 (1) 015701. arXiv : cond-mat/0211262 . Bibcode : 2003PhRvE..67a5701A . doi : 10.1103/PhysRevE.67.015701 . PMID 12636557 . S2CID 25176793 .  
3. Zinn-Justin, Jean (1998年10月23日). 「大N極限におけるベクトルモデル：いくつかの応用」 . arXiv.org .
4. Vojta, Thomas; Sknepnek, Rastko (2006). 「希釈O(3)回転子模型の量子相転移」. Physical Review B. 74 ( 9) 094415. arXiv : cond-mat/0606154 . Bibcode : 2006PhRvB..74i4415V . doi : 10.1103/PhysRevB.74.094415 . S2CID 119348100 . 
5. Sachdev, Subir (1995). 「スピン系における量子相転移と連続量子場理論の高温極限」arXiv : cond-mat/9508080 .

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quantum_rotor_model&oldid=1336772941」より取得