準解析関数

数学において、準解析的関数クラスとは、実解析的関数クラスの一般化であり、以下の事実に基づいています。fが区間 [ a , b ] ⊂  R上の解析関数であり、ある点においてfとそのすべての導関数がゼロになるとき、fは [ a , b ]のすべてにおいて常にゼロになります。準解析的クラスは、この記述が成り立つより広い関数クラスです。

定義

を正の実数列とする。このとき、デンジョイ・カルマン関数類C ^M ([ a , b ])は、次を満たすf  ∈  C ^∞ ([ a , b ])であると定義される。 ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$

${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}}$

任意のx  ∈ [ a , b ]、定数A、および任意の非負整数kに対して、 M _k = 1 のとき、これはまさに[ a , b ] 上の実解析関数 のクラスである。

クラスC ^M ([ a , b ]) が準解析的であるとは、f  ∈  C ^M ([ a , b ]) かつ

${\displaystyle {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0}$

ある点x  ∈ [ a , b ] とすべてのkに対して、fは常にゼロに等しくなります。

関数fが何らかの準解析クラスに属する場合、その関数fは準解析関数と呼ばれます。

多変数の準解析関数

関数と多重添字の場合、と書き、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}$

${\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

${\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}$

そして

${\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}$

が開集合上の準解析的であるとは、任意のコンパクトに対して定数が存在し、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}}$

すべてのマルチインデックスとすべてのポイントに対して。 ${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in K}$

集合上のシーケンスに関する変数の関数の Denjoy-Carleman クラスはと表記できますが、他の表記法も多数あります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$

デンジョイ-カルマン類は、その中のすべての偏導関数が一点でゼロになる唯一の関数が恒等的にゼロになる関数である場合に、準解析的であると言われます。 ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$

複数の変数を持つ関数は、準解析的デンジョイ-カルマン類に属する場合、準解析的であると言われます。

対数凸列に関する準解析類

上記の定義では、シーケンスが非減少であると仮定することができます。 ${\displaystyle M_{1}=1}$ ${\displaystyle M_{k}}$

この数列は、次の場合、 対数的に凸であるという。 ${\displaystyle M_{k}}$

${\displaystyle M_{k+1}/M_{k}}$増加しています。

が対数凸であるとき、は増加し、 ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle (M_{k})^{1/k}}$

${\displaystyle M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}}$すべてのために。 ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}$

対数凸列に関する準解析クラスは以下を満たす: ${\displaystyle C_{n}^{M}}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$は環である。特に、乗法に関して閉じている。
• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$は合成に関して閉じている。具体的には、かつならばとなる。 ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}$ ${\displaystyle g\in C_{p}^{M}}$ ${\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}$

デンジョイ・カルマン定理

デンジョイ（1921）が部分的な結果を示した後、カールマン（1926）によって証明されたデンジョイ・カールマン定理は、C ^M ([ a , b ])が準解析類となるための列Mの条件を与える。この定理は、以下の条件が同値であることを述べている。

• C ^M ([ a , b ]) は準解析的です。
• ${\displaystyle \sum 1/L_{j}=\infty }$どこ。 ${\displaystyle L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}$
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty }$ここで、M _j ^*は、 M _jによって上界される最大の対数凸列です。
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .}$

最後の 2 つの条件が 2 番目の条件と同等であることの証明には、カールマンの不等式が使用されます。

例: デンジョイ(1921)は、M _{n が}以下のいずれかのシーケンスで与えられる 場合、

${\displaystyle 1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,}$

対応するクラスは準解析的である。最初の列は解析関数を与える。

追加のプロパティ

対数的に凸な列の場合、対応する関数のクラスには次の特性が成り立ちます。 ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle C^{M}}$解析関数を含み、それが等しいのは ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty }$
• が別の対数凸列である場合、何らかの定数に対して となる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{j}\leq C^{j}N_{j}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{M}\subset C^{N}}$
• ${\displaystyle C^{M}}$は、 のときのみ微分に対して安定である。 ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty }$
• 任意の無限微分可能関数に対して、となる準解析環、および元、が存在します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle C^{N}}$ ${\displaystyle g\in C^{M}}$ ${\displaystyle h\in C^{N}}$ ${\displaystyle f=g+h}$

ヴァイエルシュトラス部門

関数が に関して の位数が正則であるとは、かつ であることを意味する。に関しての位数が正則であるとすると、実数または複素数の変数関数の環は、任意の に対して が存在し、かつ であるとき、に関してワイエルシュトラス除算を満たすことを意味する。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}$ ${\displaystyle h(0)\neq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in A_{n}}$ ${\displaystyle q\in A}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}$

${\displaystyle f=gq+h}$と。 ${\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}$

解析関数の環と形式冪級数の環は両方ともワイエルシュトラスの除算特性を満たしますが、他の準解析クラスでは同じことが当てはまりません。

が対数的に凸であり、解析関数のクラスと等しくない場合、 はに関してワイエルシュトラスの除算特性を満たしません。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}$

参考文献

• Carleman, T. (1926)、Les fonctions quasi-analytiques、Gauthier-Villars
• コーエン、ポール・J. (1968)、「デンジョイ・カルマン定理の簡単な証明」、アメリカ数学月刊誌、75 (1)、アメリカ数学会誌: 26–31、doi :10.2307/2315100、ISSN  0002-9890、JSTOR  2315100、MR  0225957
• Denjoy、A. (1921)、「可変要素の擬似分析」、CR Acad。科学。パリ、173 : 1329–1331​
• Hörmander、Lars (1990)、線形偏微分演算子の分析 I、Springer-Verlag、ISBN 3-540-00662-1
• レオンテフ, AF (2001) [1994], 「準解析的類」,数学百科事典, EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「カールマンの定理」、数学百科事典、EMS Press

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quasi-analytic_function&oldid=1309749452"