四元数多様体

幾何学の概念

微分幾何学において、四元数多様体は複素多様体の四元数類似体である。その定義は、四元数の非可換性と、四元数に対する適切な正則関数の計算が存在しないことにより、複素多様体の定義よりも複雑で専門的である。最も簡潔な定義は、多様体上のG構造の言語を使用する。具体的には、四元数n多様体は、捩れのない -構造を備えた実次元 4 nの滑らかな多様体として定義できる。より素朴だが直接的な定義は例の不足につながり、明らかに四元数多様体として考えるべき四元数射影空間などの空間を除外する。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$

初期の歴史

1955年にマルセル・ベルガーが発表したリーマンホロノミー群の分類に関する論文^{[1]は、ホロノミーSp(} n )·Sp(1)を持つ非対称多様体の存在の問題を初めて提起した。1960年代半ばには、エドモンド・ボナン^[2]とクライネス^[3]による先駆的な研究で興味深い結果が証明され、彼らは独立に、そのような多様体は平行4次元形式を許容することを証明した。長い間待たれていた強いレフシェッツ定理の類似物が1982年に発表された^[4]。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

定義

拡張四元数一般線型群

四元数ベクトル空間を 右- 加群と見なすと、右- 線型写像の代数を、左 からに作用する四元数行列の代数と同一視することができます。すると、可逆な右- 線型写像はのサブグループを形成します。このグループを、右 からへのスカラー乗算によって作用する非ゼロ四元数のグループで拡張することができます。このスカラー乗算は- 線型（ただし- 線型ではない）であるため、への別の埋め込みが得られます。このグループは、 におけるこれらのサブグループの積として定義されます。におけるサブグループとの交差はそれらの相互の中心（非ゼロの実数係数を持つスカラー行列のグループ）であるため、同型性が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.}$

ほぼ四元構造

滑らかな多様体上の概四元数構造は、単に上の -構造である。同様に、それは自己準同型束の部分束として定義することができ、その各ファイバーは（実代数として）四元数代数 と同型である。この部分束は概四元数構造束と呼ばれる。概四元数構造を備えた多様体は概四元数多様体と呼ばれる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (TM)}$ ${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle H}$

四元数構造バンドルは、四元数代数構造に由来するバンドル計量（バンドル距離）を自然に受け入れ、この計量を用いてベクトルバンドルの 直交直和に分解します。ここで、 は恒等演算子を通した自明な直線バンドルであり、 は純虚数四元数に対応する階数3のベクトルバンドルです。バンドルも も必ずしも自明ではありません。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=L\oplus E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$

内部の単位球面束は、純単位虚数四元数に対応する。これらは、-1 に平方する接空間の自己準同型である。この束は多様体 のツイスター空間と呼ばれ、その性質については以下でより詳しく説明する。の局所切断は（局所的に定義された）ほぼ複素構造 である。ほぼ四元数多様体上の任意の点の近傍が存在し、その近傍には 上に定義されたほぼ複素構造の2 次元球面全体が存在する。常に、 ${\displaystyle Z=S(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

ただし、これらの演算子はいずれも 全体に拡張可能ではないことに注意する必要がある。つまり、 という束は大域的切断を全く持ち得ない可能性がある（例えば、四元数射影空間の場合）。これは、常に大域的に定義された概複素構造を持つ複素多様体の場合とは著しく対照的である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

四元数構造

滑らかな多様体上の四元数構造は、を保存する捩れのないアフィン接続を許容するほぼ四元数構造である。このような接続は一意ではなく、四元数構造の一部とはみなされない。四元数多様体とは、 上の四元数構造を持つ滑らかな多様体である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

特殊なケースと追加の構造

超複素多様体

超複素多様体とは、捩れのない -構造を持つ四元数多様体である。構造群を に縮約できるのは、概四元数構造束が自明（すなわち に同型）である場合に限る。概超複素構造は の大域フレーム、あるいは同値として、概複素構造の三つ組、およびであって 、 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle H\subset \operatorname {End} (TM)}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {H} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

超複素構造とは、、、のそれぞれが積分可能であるようなほぼ超複素構造です。 ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle K}$

四元数ケーラー多様体

四元数ケーラー多様体は、ねじれのない構造を持つ四元数多様体です。 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)}$

ハイパーケーラー多様体

ハイパーケーラー多様体は、捩れのない -構造を持つ四元数多様体である。ハイパーケーラー多様体は、超複素多様体であると同時に四元数ケーラー多様体でもある。 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

ツイスター空間

四元数 -多様体が与えられたとき、純単位虚四元数（またはほぼ複素構造）に対応する単位2球面部分束は、のツイスター空間と呼ばれます。 のとき、上に自然な複素構造が存在し、その射影のファイバーはに同型であることがわかります。 のとき、空間は自然なほぼ複素構造を許容しますが、この構造は多様体が自己双対である場合にのみ積分可能です。 上の四元数幾何学は、 上の正則データから完全に再構成できることがわかっています。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z=S(E)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

ツイスター空間理論は、四元数多様体上の問題を複素多様体上の問題に変換する手法を与え、複素多様体上の問題はより深く理解され、代数幾何学の手法にも適用可能である。しかしながら、四元数多様体のツイスター空間は、 のような単純な空間であっても、非常に複雑になることがある。 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

参考文献

• ベス、アーサー L. (1987)。アインシュタイン多様体。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-15279-2。
• ジョイス、ドミニク（2000年）『特殊ホロノミーを持つコンパクト多様体』オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-850601-5。

1. マルセル、バーガー (1955)。 "Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes" (PDF)。ブル。社会数学。フランス。83 : 279–330 .土井: 10.24033/bsmf.1464。
2. エドモンド・ボナン (1965)。 「微分可能な四分の一の構造」。科学アカデミーのコンテス。261 : 5445 – 8.
3. Kraines, Vivian Yoh (1966). 「四元数多様体の位相幾何学」(PDF) .アメリカ数学会誌. 122 (2): 357– 367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR  1994553.
4. エドモンド・ボナン (1982)。 "Sur l'algebre extérieure d'une variété presque hermitienne quaternionique"。科学アカデミーのコンテス。295 : 115-118 .

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