商カテゴリ

数学において、商圏とは、射の集合を同一視することによって別の圏から得られる圏である。正式には、商群や商空間に類似した、（局所的に小さな）圏の圏における商対象であるが、圏論的な設定のもとで行われる。

意味

を圏とする。上の合同関係は次のように与えられる：における各オブジェクトのペアに対して、上の同値関係が射の合成を尊重する。すなわち、 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{X,Y}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$

${\displaystyle f_{1},f_{2}:X\to Y\,}$

は関連しており、 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$

${\displaystyle g_{1},g_{2}:Y\to Z\,}$

は で関連しているので、とは で関連しています。 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (Y,Z)}$ ${\displaystyle g_{1}f_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}f_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Z)}$

上の合同関係が与えられれば、商圏は、その対象が の対象であり、その射が の射の同値類であるような圏として定義できる。つまり、 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} /{\mathcal {R}}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(X,Y)/{\mathcal {R}}_{X,Y}.}$

は合同関係であるため、における射の合成は明確に定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

プロパティ

から への自然な商関手が存在し、これは各射をその同値類へ送る。この関手は対象に対して単射であり、Hom集合に対しては全射である（すなわち、完全関手である）。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$

任意の関手は、が成り立つことと等しくないことで、 の合同性を定める。そして、その関手は商関手を介して一意に因数分解する。これは圏の「第一同型定理」とみなすことができる。 ${\displaystyle F\colon \mathbf {C} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle f\sim g}$ ${\displaystyle F(f)=F(g)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \to \mathbf {C} /\sim }$

例

• モノイドと群は、一つの対象を持つ圏とみなすことができます。この場合、商圏は商モノイドまたは商群の概念と一致します。
• 位相空間 hTopのホモトピー圏は、位相空間の圏Topの商圏である。射の同値類は連続写像のホモトピー類である。
• kを体とし、k -線型写像を射とするk上のすべてのベクトル空間のアーベル圏Mod( k )を考える。すべての有限次元空間を「殺す」ために、2つの線型写像f , g  : X → Y が、それらの差が有限次元像を持つ場合に限り、合同であると呼べる。結果として得られる商圏において、すべての有限次元ベクトル空間は 0 に同型である。[これは実際には加法圏の商の例であり、下記を参照。]

関連概念

イデアルを法とする加法圏の商

Cが加法的なカテゴリであり、 C上の合同関係 ~ が加法的であることが必要な場合（つまり、f ₁、f ₂、g ₁、g _2が、 f ₁ ~ f ₂およびg ₁ ~ g ₂を満たすXからYへの射である場合、f ₁ + g ₁ ~ f ₂ + g ₂）、商カテゴリC /~ も加法的になり、商関数C → C /~ は加法的な関数になります。

加法的な合同関係の概念は、射の両側イデアルの概念と同等です。任意の2つのオブジェクトXとYに対して、 Hom _C ( X、Y )の加法的な部分群I ( X、Y )が与えられ、すべてのf ∈ I ( X、Y )、g ∈ Hom _C ( Y、Z )、h ∈ Hom _C ( W、X )に対して、gf ∈ I ( X、Z )およびfh ∈ I ( W、Y )が成り立ちます。Hom _C ( X、Y )の2つの射が合同である場合、それらの差はI ( X、Y )にあります。

すべての単位環は単一のオブジェクトを持つ加法カテゴリとして見ることができ、上で定義した加法カテゴリの商は、この場合、両側イデアルを法とする商環の概念と一致します。

カテゴリーのローカライズ

圏の局所化は、新たな射を導入し、元の圏の射のいくつかを同型に変換します。これは、商圏の場合のようにオブジェクト間の射の数を減らすのではなく、むしろ増やす傾向があります。しかし、どちらの構成においても、元の圏では同型ではなかった2つのオブジェクトが同型になることがしばしばあります。

アーベル圏のセール商

アーベル圏のセール部分圏によるセール商は、商圏に類似しているが、多くの場合、圏の局所化の特徴も持つ新しいアーベル圏である。

参考文献

• マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 .数学大学院テキスト. 第5巻（第2版）. シュプリンガー出版.

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