環上の線形写像

代数学において、加群準同型とは、加群の構造を保存する加群間の写像である。具体的には、 MとNが環R上の左加群であるとき、Mの任意のx、y、Rの任意のrに対して、 R加群準同型写像またはR線型写像と呼ばれる。 ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

言い換えれば、fは（基底加法群に対する）群準同型であり、スカラー乗法と可換である。M 、N が右R -加群である場合、2番目の条件は次のように置き換えられる。

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

fによる零元の逆像はfの核と呼ばれる。MからNへのすべての加群準同型全体の集合は で表される。これは（各点の加法に関して）アーベル群であるが、Rが可換でない限り、必ずしも加群とは限らない。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

加群準同型の合成もまた加群準同型であり、加群上の恒等写像も加群準同型である。したがって、すべての（例えば左）加群と、それらの間のすべての加群準同型は、加群の圏を形成する。

用語

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加群準同型は、逆準同型を許す場合、特に単射である場合、加群同型と呼ばれる。逆に、単射加群準同型は同型であることを示すことができる。すなわち、逆は加群準同型である。特に、加群準同型が同型であるためには、それが基礎となるアーベル群間の同型である場合が必要である。

同型定理はモジュール準同型に対して成り立ちます。

加群Mからそれ自身への加群準同型は自己準同型、 Mからそれ自身への同型は自己同型と呼ばれる。加群Mのすべての自己準同型の集合は と書く。これはアーベル群であるだけでなく、乗法が関数合成によって与えられる環でもあり、Mの自己準同型環と呼ばれる。この環の単位群はMの自己同型群である。 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

シュアーの補題によれば、単純加群（非自明な部分加群を持たない加群）間の準同型は、零か同型のいずれかでなければならない。特に、単純加群の自己準同型環は、除算環である。

圏論の言語では、注入準同型は単射とも呼ばれ、射影準同型はエピモーフィズムとも呼ばれます。

例

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• すべての要素をゼロにマッピングするゼロマップ M → N。
• ベクトル空間間の線形変換。
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$。
• 可換環Rとイデアル I、Jに対して、標準的同一視が存在する。

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

によって与えられる。特に、はIを消滅させる。 ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• 環Rと元rが与えられ、rによる左乗法を と表記する。すると、R内の任意のs、tに対して、 ${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$。

つまり、はR線形です。 ${\displaystyle l_{r}}$

• 任意の環Rに対して、
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$R を自身の右加群と見なすと、環として表すことができます。この同型性は、左正規表現 によって明示的に与えられます。 ${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • 同様に、R を自身の左加群とみなすと、環としても同様です。教科書やその他の参考文献では、通常、どちらの表記法が用いられるかが明記されています。 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$任意の左加群Mについて、を通して成り立つ。^{[ 1 ]} （ここでのHom上の加群構造はR上の右R作用から来ている。下の#Hom上の加群構造を参照。） ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$はMの双対加群と呼ばれる。M がR上の右（左）加群であり、加群構造がRへのR作用から生じるとき、 Mは左（右）加群と呼ばれる。これは と表記される。 ${\displaystyle M^{*}}$
• 可換環の環準同型R → SとS加群Mが与えられたとき、S内の任意のf、gに対してθ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) gが成立するとき、 R 線型写像 θ : S → Mは微分と呼ばれる。
• S、T が環R上の単位結合代数である場合、SからTへの代数準同型は環準同型であり、またR加群準同型でもある。

Homのモジュール構造

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要するに、HomはHomを形成するために使われなかった環作用を継承する。より正確には、MとNを左R加群とする。MがR作用と可換な環Sの右作用を​​持つと仮定する。つまり、Mは( R , S )加群である。すると、

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

は、次のように定義される左S加群の構造を持つ：SのsとMのxに対して、

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

これは明確に定義されている（つまり、R線形である）ため、 ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

そしてリングアクションである ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$。

注：右Sアクションの代わりに左Rアクションを用いた場合、上記の検証は「失敗」します。この意味で、HomはRアクションを「使い果たす」と言われることがよくあります。

同様に、Mが左R加群でNが ( R , S ) 加群である場合、 は によって右S加群になります。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ ${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

行列表現

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線型代数における行列と線型変換の関係は、自由加群間の加群準同型へと自然に一般化される。正確には、右R加群Uが与えられたとき、アーベル群の標準同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

列ベクトルからなると見なし、 fをm × n行列と書き表すことで得られる。特に、Rを右R加群と見なし、を用いると、 ${\displaystyle U^{\oplus n}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$、

これは環同型であることがわかります（合成は行列の乗算に対応するため）。

上記の同型性は標準的であり、選択は不要であることに注意してください。一方、有限ランクの自由加群間の加群準同型が与えられた場合、順序付き基底の選択は同型の選択に対応します。上記の手順により、このような基底の選択に関する行列表現が得られます。より一般的な加群では、行列表現は一意性を欠くか、存在しない可能性があります。 ${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

定義

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実際には、加群準同型性は生成集合における値を指定することによって定義されることが多い。より正確には、MとN をR加群としよう。部分集合 S がM を生成するとしよう。すなわち、 Sでインデックス付けされた基底と核Kを持つ自由加群Fとの射影が存在する（すなわち、自由表示 を持つ）。この場合、加群準同型性を与えることは、 K を消滅させる（すなわち、K をゼロに写像する）加群準同型性を与えることと同じである。 ${\displaystyle F\to M}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle F\to N}$

オペレーション

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とが加群準同型ならば、それらの直和は ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

そしてそれらのテンソル積は

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

を左加群間の加群準同型とする。fのグラフΓ f_はM ⊕ Nの部分加群であり、次式で与えられる。 ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$、

これは、モジュール準同型M → M ⊕ N、x → ( x、f ( x ))の像であり、グラフ射と呼ばれる。

fの転置は​

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

fが同型ならば、 fの逆写像の転置はfの反証写像と呼ばれます。

正確なシーケンス

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モジュール準同型の列を考える

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

このような列は、各合成がゼロである場合、すなわち 、あるいはそれと同義で の像がの核に含まれる場合、連鎖複体（または単に複体）と呼ばれます。（数が減少するのではなく増加する場合、それはコチェーン複体と呼ばれます。例えば、ド・ラーム複体などです。） 連鎖複体はの場合、完全列と呼ばれます。完全列の特殊なケースとして、短完全列があります。 ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$ ${\displaystyle f_{i+1}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

ここでは単射であり、 の核はの像であり、は射影的です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

任意のモジュール準同型は正確なシーケンスを定義する ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

ここでは の核、は余核、つまり を の像で割った商です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$

可換環上の加群の場合、列が完全となるのは、すべての極大イデアルにおいて完全となる場合のみである。つまり、すべての列が完全となる。

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

は正確であり、下付き文字は最大理想における局所化を意味します。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

がモジュール準同型である場合、 M × _B Nで表されるファイバースクエア（またはプルバックスクエア）を形成すると言われ、これは次の式に当てはまる。 ${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

どこ。 ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$

例: が可換環であり、I が商B加群A / B （これはAのイデアルである）の消滅子であるとする。すると、標準写像はファイバー平方を形成し、 ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$ ${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

有限生成加群の準同型

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を可換環Rの有限生成R加群間の準同型とする。すると、 ${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi }$は、 Mの生成元に対する特性多項式によって消去されます。Nakayamaの補題#証明を参照してください。
• が射影的であれば、それは単射である。^{[ 2 ]} ${\displaystyle \phi }$

参照:エルブラン商(これは、いくつかの有限条件を持つ任意の自己準同型に対して定義できます。)

変種: 加法関係

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参照:二項関係

加群Mから加群Nへの加法関係は ^{[ 3 ]}の部分加群である。言い換えれば、それはMのある部分加群上に定義された「多値」準同型である。fの逆は部分加群である。任意の加法関係fは、 Mの部分加群からNの商への準同型を決定する。 ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M\oplus N.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

ここで、Nの何らかのyに対して( x , y ) がfに属するようなMのすべての要素xから構成されます。 ${\displaystyle D(f)}$

スペクトルシーケンスから生じる違反は、加法関係の例です。

参照

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• マッピング円錐（ホモロジー代数）
• スミス正規形
• 鎖複合体
• ペアリング

注記

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1. ブルバキ、ニコラ（1998年）「第2章、§1.14、注釈2」、代数I、第1章から第3章、数学の原点、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-64243-9、MR  1727844
2. 松村秀之 (1989)、「定理2.4」、可換環論、ケンブリッジ数学研究第8巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36764-6、MR  1011461
3. Mac Lane, Saunders (1995), Homology , Classics in Mathematics, Springer-Verlag, p.  52 , ISBN 3-540-58662-8、MR  1344215

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