数学 において、一組 の値の二乗平均平方根 （略称：RMS 、RMS rms ）は、その組の平均二乗の 平方根 です。[ 1 ] 2次平均 （ と表記）とも呼ばれ、 [ 2 ] [ 3 ] 一般化平均 の特殊なケースです。連続関数 のRMSは と表記され、関数の二乗の積分 で定義できます。推定理論 では、推定量の二乗平均平方根偏差は、 推定量がデータからどれだけ離れているかを測定します。 × 私 {\displaystyle x_{i}} × R M S {\displaystyle x_{\mathrm {RMS} }} R M S × {\displaystyle \mathrm {RMS} _{x}} M 2 {\displaystyle M_{2}} f R M S {\displaystyle f_{\mathrm {RMS} }}
意味 一連の値 (または連続時間 波形 ) の RMS 値は、値の二乗の算術平均の平方根、または連続波形を定義する関数の二乗です。
n 個の値のセットの場合、RMSは { × 1 、 × 2 、 … 、 × n } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}
× RMS ＝ 1 n （ × 1 2 + × 2 2 + ⋯ + × n 2 ） 。 {\displaystyle x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)}}.}} 区間にわたって定義された連続関数（または波形）f （t ）の対応する式は、 T 1 ≤ t ≤ T 2 {\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}
f RMS ＝ 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 [ f （ t ） ] 2 d t 、 {\displaystyle f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},} そして、全時間にわたる関数のRMSは
f RMS = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T T [ f ( t ) ] 2 d t . {\displaystyle f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.} 周期関数 の全時間にわたるRMSは、関数の1周期のRMSに等しい。連続関数または信号のRMS値は、等間隔の観測値からなるサンプルのRMSを取ることで近似できる。さらに、Cartwrightによって示されたように、様々な波形のRMS値は微積分 なしに決定することもできる。[ 4 ]
ランダムプロセス の RMS 統計の場合、平均の代わりに 期待値が使用されます。
正弦波 、方形波 、三角波 、のこぎり 波。それぞれの中心線は0、正のピークは、負のピークは、y = A 1 {\displaystyle y=A_{1}} y = − A 1 {\displaystyle y=-A_{1}} デューティサイクルDの矩形パルス波、パルス持続時間（ ）と周期（T）の比。ここではa = 1で示されています。τ {\displaystyle \tau } 正弦波の電圧と時間（度）の関係を示すグラフ。RMS、ピーク（PK）、およびピークツーピーク（PP）電圧が表示されます。 波形 が純粋な正弦波 の場合、振幅（ピークツーピーク、ピーク）とRMSの関係は、連続周期 波の場合と同様に固定され既知です。しかし、任意の波形の場合は周期的または連続的ではない可能性があるため、これは当てはまりません。平均ゼロの正弦波の場合、RMSとピークツーピーク振幅 の関係は次のようになります。
ピークツーピーク = 2 2 × RMS ≈ 2.8 × RMS . {\displaystyle =2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.} 他の波形の場合、正弦波の場合と同じ関係は適用されません。例えば、三角波やのこぎり波の場合、以下のようになります。
ピークツーピーク = 2 3 × RMS ≈ 3.5 × RMS . {\displaystyle =2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.} 波形 変数と演算子 RMS DC y = A 0 {\displaystyle y=A_{0}\,} A 0 {\displaystyle A_{0}\,} 正弦波 y = A 1 sin ( 2 π f t ) {\displaystyle y=A_{1}\sin(2\pi ft)\,} A 1 2 {\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}} 矩形波 y = { A 1 frac ( f t ) < 0.5 − A 1 frac ( f t ) > 0.5 {\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}} A 1 {\displaystyle A_{1}\,} DCシフト矩形波 y = A 0 + { A 1 frac ( f t ) < 0.5 − A 1 frac ( f t ) > 0.5 {\displaystyle y=A_{0}+{\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}} A 0 2 + A 1 2 {\displaystyle {\sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}}\,} 修正正弦波（一部の電気インバータから） y = { 0 frac ( f t ) < 0.25 A 1 0.25 < frac ( f t ) < 0.5 0 0.5 < frac ( f t ) < 0.75 − A 1 frac ( f t ) > 0.75 {\displaystyle y={\begin{cases}0&\operatorname {frac} (ft)<0.25\\A_{1}&0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\0&0.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.75\end{cases}}} A 1 2 {\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}} 三角波 y = | 2 A 1 frac ( f t ) − A 1 | {\displaystyle y=\left|2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\right|} A 1 3 {\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}} のこぎり波 y = 2 A 1 frac ( f t ) − A 1 {\displaystyle y=2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\,} A 1 3 {\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}} 脈波 y = { A 1 frac ( f t ) < D 0 frac ( f t ) > D {\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<D\\0&\operatorname {frac} (ft)>D\end{cases}}} A 1 D {\displaystyle A_{1}{\sqrt {D}}} 相間正弦波 y = A 1 sin ( t ) − A 1 sin ( t − 2 π 3 ) {\displaystyle y=A_{1}\sin(t)-A_{1}\sin \left(t-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,} A 1 3 2 {\displaystyle A_{1}{\sqrt {\frac {3}{2}}}} どこ：y は変位、それ は時間です、f は周波数、A i は振幅（ピーク値）であり、D はデューティサイクル 、つまりハイ期間（1/ f ）の割合です。frac( r ) はr の小数部 です。
既知の単純な波形を足し合わせて作られた波形のRMS値は、構成波形が直交している場合（つまり、ある波形と別の波形の積の平均が、波形の積以外のすべてのペアでゼロである場合）、構成RMS値の二乗和の平方根 となる。[ 5 ]
RMS Total = RMS 1 2 + RMS 2 2 + ⋯ + RMS n 2 {\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}} あるいは、完全に正に相関している、つまり互いに「同位相」である波形の場合、それらの RMS 値は直接合計されます。
用途
電気工学では
現在 交流電流 の実効値は、抵抗負荷 で同じ電力を消費する一定の直流電流 の値に等しい。[ 1 ]
電圧 波形の組み合わせのRMSの特殊なケースは次の通りである: [ 6 ]
RMS AC+DC = V DC 2 + RMS AC 2 {\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{V}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}} ここで、 は信号の直流 （または平均）成分を指し、 は信号の 交流 成分です。V DC {\displaystyle {\text{V}}_{\text{DC}}} RMS AC {\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC}}}
平均電力 電気技師は、電気抵抗 R によって消費される電力 P を知る必要があることがよくあります。抵抗に一定の電流 I が流れている場合、計算は簡単です。負荷がR オームの場合、電力は次のように表されます。
P = I 2 R . {\displaystyle P=I^{2}R.} しかし、電流が時間変化関数I ( t ) である場合、この式は電流（ひいては瞬時電力）が時間とともに変化するという事実を反映するように拡張する必要があります。関数が周期的である場合（家庭用交流電源など）、時間経過に伴う平均 消費電力について議論することは依然として意味があります。平均消費電力は、平均消費電力を用いて計算されます。
P Avg = ( I ( t ) 2 R ) Avg where ( ⋯ ) Avg denotes the temporal mean of a function = ( I ( t ) 2 ) Avg R (as R does not vary over time, it can be factored out) = I RMS 2 R by definition of root-mean-square {\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{Avg}}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{\text{Avg}}&&{\text{where }}(\cdots )_{\text{Avg}}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{\text{Avg}}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}} したがって、関数I ( t ) のRMS 値I RMSは、電流 I ( t )の時間平均電力消費と同じ電力消費を生み出す定電流です。
平均電力は、時間とともに変化する電圧 V ( t )、RMS値V RMS の場合と同じ方法で求めることもできる。
P Avg = V RMS 2 R . {\displaystyle P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.} この式は、正弦波 やのこぎり波 などの任意の周期波形 に使用でき、指定された負荷に供給される平均電力を計算できます。
これら 2 つの式の平方根をとって掛け合わせると、次の式で表されるべき乗が得られます。
P Avg = V RMS I RMS . {\displaystyle P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.} どちらの導出も、電圧と電流が比例関係にあること（つまり、負荷R が純抵抗であること）を前提としています。リアクタンス負荷（つまり、エネルギーを消費するだけでなく、蓄積することもできる負荷）については、 交流電力 の項で説明します。
一般的な交流電流 の場合、主電源の場合と同様にI ( t ) が正弦波電流となるため、実効値は上記の連続電流の場合の式から簡単に計算できます。I p を ピーク電流と定義すると、次の式が成り立ちます。
I RMS = 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 [ I p sin ( ω t ) ] 2 d t , {\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},} ここで、 t は時間、ωは 角周波数 （ω = 2 π / T 、T は波の周期） です。
I p は正の定数であり、積分内で2乗されるので 、
I RMS = I p 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 sin 2 ( ω t ) d t . {\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.} 三角関数の恒等式 を使用して三角関数の二乗を排除する:
I RMS = I p 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 1 − cos ( 2 ω t ) 2 d t = I p 1 T 2 − T 1 [ t 2 − sin ( 2 ω t ) 4 ω ] T 1 T 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}} しかし、間隔は完全なサイクルの整数倍（RMSの定義による）なので、正弦項は打ち消され、次のようになります。
I RMS = I p 1 T 2 − T 1 [ t 2 ] T 1 T 2 = I p 1 T 2 − T 1 T 2 − T 1 2 = I p 2 . {\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.} 同様の分析により、正弦波電圧の類似の式が得られます。
V RMS = V p 2 , {\displaystyle V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},} ここで、I P は ピーク電流を表し、V P は ピーク電圧を表します。
電力計算に便利なため、電源コンセントの電圧 （たとえば、 米国では 120 V、 欧州では 230 V）は、ほとんどの場合、ピーク値ではなく RMS 値で示されています。ピーク値は、上記の式（電源が純粋な正弦波であると仮定した場合、V P = V RMS × √ 2 ） の RMS 値から計算できます。したがって、米国の主電源電圧のピーク値は約 120 × √ 2 、つまり約 170 ボルトです。ピークツーピーク電圧はこの 2 倍で、約 340 ボルトです。同様の計算から、欧州のピーク主電源電圧は約 325 ボルト、ピークツーピーク主電源電圧は約 650 ボルトであることがわかります。
電流などの実効値は、通常、1サイクル単位で計算されます。しかし、送電損失を計算する場合など、より長い期間の実効値電流が必要となる場合もあります。同じ原理が適用され、例えば、1日24時間のうち12時間、10アンペアの電流を使用した場合、平均電流は5アンペアですが、長期的には実効値電流は7.07アンペアとなります。
RMS電力 という用語は、（例えばオーディオ業界において）平均電力 または平均電力 （抵抗負荷におけるRMS電圧またはRMS電流の2乗に比例します）の同義語として誤って使用されることがあります。オーディオ電力測定とその欠点に関する議論については、「オーディオ電力」を 参照してください。
スピード 気体 分子の物理学 において、実効速度（RMS） は平均速度の二乗の平方根として定義されます。理想気体のRMS速度は、次の式で 計算されます。
v RMS = 3 R T M {\displaystyle v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}} ここで、R は気体定数 （8.314 J/(mol·K)）、Tは ケルビン単位 で表した気体の温度、Mはキログラム/モル単位で表した気体の モル質量 です。物理学では、速度は速度のスカラー量として定義されます。静止した気体の場合、分子の平均速度はゼロであっても、数千km/hのオーダーになることがあります。
エラー 2つのデータセット（例えば、1つは理論予測から、もう1つは物理変数の実測値から）を比較する場合、2つのデータセットのペアワイズ差のRMSは、誤差が平均して0からどれだけ離れているかを示す指標として役立ちます。ペアワイズ差の絶対値の平均は、差の変動性を示す有用な指標となり得ます。しかし、数学的な慣習や他の公式との互換性から、通常は差のRMSが好まれる指標です。
オーディオエンジニアリング RMSは、オーディオエンジニアリング、特に オーディオ処理 において信号音量を測定するために使用されます。代替的な音量測定法としてピーク音量があり、アナログでは信号V pp 、デジタルではエンコード形式に応じてクリッピング以下の-dBピークとして表されます。この文脈における信号RMSは、圧縮 の比較信号としてよく使用され、ドラムのような鋭いトランジェントにゆっくりと反応することで、圧縮時に「スムージング」効果を生み出します。[ 7 ] RMSは、 LUF などの他の時間平均単位と比較するためのマスタリング 指標としても使用されます。[ 8 ]
周波数領域 RMSはパーセバルの定理 を用いて周波数領域で計算できる。サンプリングされた信号の場合、サンプリング周期は x [ n ] = x ( t = n T ) {\displaystyle x[n]=x(t=nT)} T {\displaystyle T}
∑ n = 1 N x 2 [ n ] = 1 N ∑ m = 1 N | X [ m ] | 2 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},} ここで、N はサンプル サイズ、つまりサンプル内の観測値の数と DFT 係数です。 X [ m ] = DFT { x [ n ] } {\displaystyle X[m]=\operatorname {DFT} \{x[n]\}}
この場合、時間領域で計算された RMS は周波数領域で計算されたものと同じになります。
RMS { x [ n ] } = 1 N ∑ n x 2 [ n ] = 1 N 2 ∑ m | X [ m ] | 2 = ∑ m | X [ m ] N | 2 . {\displaystyle {\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.}
他の統計との関係 2つの異なる正の数aとbの 最大値 ( a 、b )二乗平均平方根 ( RMS )二次平均 ( QM )算術平均 ( AM )幾何平均 ( GM )調和平均 ( HM )最小値 ( a 、b )する [ 注 1 ] 母集団 または波形 の標準偏差 は、その算術平均 からのRMS偏差である。これらはRMS値と[ 9 ]の関係にある。 σ x = ( x − x ¯ ) rms {\displaystyle \sigma _{x}=(x-{\overline {x}})_{\text{rms}}} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} x {\displaystyle x}
σ x 2 = ( x − x ¯ ) 2 ¯ = x rms 2 − x ¯ 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}=x_{\text{rms}}^{2}-{\overline {x}}^{2}} このことから、RMS には二乗偏差 (誤差) も含まれるため、RMS 値は常に平均値以上であることがわかります。
物理学者は、入力信号の平均値がゼロであると仮定できる場合、標準偏差 の同義語として二乗平均平方根（root mean square）という用語をよく使用します。これは、与えられた基準値またはフィッティングからの信号の平均二乗偏差の平方根を指します。 [ 10 ] [ 11 ] DC成分は 除去されます（つまり、平均信号が0の場合、RMS(信号) = stdev(信号)となります）。
参照
注記 ^ NM = a 、 PM = b とすると、 AM = a とb のAM 、半径r = AQ = AG となります。ピタゴラスの定理 を用いると、 QM² = AQ² + AM² ∴ QM = √ AQ² + AM² = QM となります。ピタゴラスの定理を用いると、 AM² = AG² + GM² ∴ GM = √ AM² − AG² = GM となります。相似三角形 を用いると、 フム / GM GM / 午前 GM² / 午前 HM 。
参考文献
外部リンク
![{\displaystyle f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e25b4df390e845aacaaa0c7dfd0ba6f1fc5cdde)
![{\displaystyle f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty}{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8870ffec7ed1b4dfeb7f145630d2cecbe7b23b3e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{Avg}}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{\text{Avg}}&&{\text{ここで、}}(\cdots )_{\text{Avg}}{\text{は関数の時間平均を表します}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{\text{Avg}}R&&{\text{(}}R{\text{は時間とともに変化しないため、因数分解できます)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{二乗平均平方根の定義により}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b66c22138488b1a0487cfcb3763e3834e3a06b)
![{\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0578a1a0e325cba1139ef81b4867340cf0bf0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b151fc6495fb26320b04637150ff032c8d8797)
![{\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45eaa1a04872567a59a8400a8f100a1debe34ec7)
![{\displaystyle x[n]=x(t=nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de908f2452423bed903703e7bcdb147552d5859c)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5137ad83fb9b24095511bad31240b815a2d352)
![{\displaystyle X[m]=\operatorname {DFT} \{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12aee574790c3d79426ef841942408a85b1c8d3f)
![{\displaystyle {\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa1cc81ec8221d7db02af033f2d5424c477a416)
