放射状の軌道

天体力学と天体力学において、ラジアル軌道とは、角運動量がゼロのケプラー軌道を指します。ラジアル軌道上の2つの物体は、直線上で互いに近づいたり遠ざかったりします。

分類

放射状の軌道（軌道）には3つの種類がある。^[1]

放射状楕円軌道：物体が接触し、互いに離れ、再び接触するまでの、縮退楕円の一部に相当する軌道。2つの物体の相対速度は脱出速度よりも小さい。これは、短軸半径が0で離心率が1の楕円軌道である。離心率は1であるが、放物線軌道ではない。2つの物体の反発係数が1（完全弾性）の場合、この軌道は周期的である。反発係数が1未満（非弾性）の場合、この軌道は非周期的である。
放射放物線軌道は、2つの物体の相対速度が常に脱出速度に等しい非周期軌道です。物体が互いに離れる場合と近づく場合の2つのケースがあります。
放射状双曲軌道：2つの物体の相対速度が常に脱出速度を超える非周期軌道。物体が互いに離れる場合と近づく場合の2つのケースがあります。これは短半径が0で離心率が1の双曲軌道です。離心率は1ですが、放物線軌道ではありません。

軌道離心率で分類される標準軌道とは異なり、ラジアル軌道は、総運動エネルギーと位置エネルギーの定数の合計を縮約質量で割った値である特定の軌道エネルギーで分類されます。ここで、 $x$ は質量中心間の距離、 $v$ は相対速度、は標準の重力パラメータです。 $\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}$ $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$

別の定数は次のように与えられます。 $w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\varepsilon }{\mu }}$

楕円軌道の場合、wは正です。これは遠点距離（最大距離）の逆数です。
放物線軌道の場合、w はゼロになります。
双曲線軌道の場合、w は負で、無限距離での速度になります。 $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ $\textstyle v_{\infty }$

距離の関数としての時間

任意の時点での分離と速度、および総質量がわかれば、他の任意の時点での位置を決定することが可能です。

最初のステップは定数 $wを決定することです。w$ $の$ 符号を用いて軌道の種類を決定します。ここで、とは任意の時点における間隔と相対速度です。 $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ ${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle v_{0}}$

放物線軌道

$t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}$ ここで、 $t$ は、2 つの質量が質点である場合に一致する時刻からの、または一致する時刻までの時間であり、 $x$ は距離です。

この方程式は放射状の放物線軌道にのみ適用されます。一般的な放物線軌道については、Barker の方程式を参照してください。

楕円軌道

$t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}$ ここで、 $t$ は、2 つの質量が質点である場合に一致する時刻からの、または一致する時刻までの時間であり、 $x$ は距離です。

これはラジアルケプラー方程式である。^[2]

双曲線軌道

$t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}$ ここで、tは、2 つの質量が質点である場合に一致する時刻からの、または一致する時刻までの時間であり、xは距離です。

普遍的な形（任意の軌道）

ラジアルケプラー方程式は「普遍的」（すべての軌道に適用可能）にすることができます。または、べき級数的に展開することによって次のようにすることができます。 $t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}$ $t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}$

ラジアルケプラー問題（距離と時間の関数）

ある時刻における二つの物体の距離と速度が与えられたとき、ある時刻におけるそれらの物体の距離を求める問題は、ケプラー問題として知られています。このセクションでは、放射状軌道におけるケプラー問題を解きます。

最初のステップは定数を決定することです。の符号を用いて軌道の種類を決定します。ここで、とは任意の時点における間隔と速度です。 ${\textstyle w}$ ${\textstyle w}$ $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ ${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle v_{0}}$

放物線軌道

$x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$

普遍的な形（任意の軌道）

2 つの中間量が使用されます。 $w$ と、物体が放物線軌道上にある場合に時刻 $t$ で持つであろう距離 $p です$ 。 $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{and}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}$

ここで、 $t$ は時間、は初期位置、は初期速度、です。 $x_{0}$ $v_{0}$ $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$

逆ラジアルケプラー方程式はラジアルケプラー問題の解です。 $x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {r-r^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)$

これを評価すると次のようになります。 $x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots$

べき級数は項ごとに簡単に微分できます。繰り返し微分することで、速度、加速度、ジャーク、スナップなどの公式が得られます。

ラジアルシャフト内の軌道

均一な球体^{[3]における放射軸内の軌道は}単振動となる。なぜなら、そのような球体内部の重力は中心からの距離に比例するからである。小さな物体が大きな物体の表面に入り込んだり、あるいは表面から出たりすると、軌道は前述のいずれかの軌道から変化したり、あるいはその軌道へと変化する。例えば、軸が表面から表面へと伸びている場合、2周期の単振動の一部と、2つの異なる（しかし対称的な）放射状楕円軌道の一部からなる閉軌道が可能である。

参照

参考文献

カウエル、ピーター (1993)、「3 世紀にわたるケプラーの方程式の解明」、ウィリアムベル。

^ トムソン、ウィリアム・ティレル著『宇宙力学入門』ドーバー、1986年
^ ブラウン、ケビン; MathPages
^ 厳密には矛盾している。しかし、シャフトが重力に与える影響は無視できると仮定している。

外部リンク

Mathworldのケプラーの方程式[1]

[1] トムソン、ウィリアム・ティレル著『宇宙力学入門』ドーバー、1986年

[2] ブラウン、ケビン; MathPages

[3] 厳密には矛盾している。しかし、シャフトが重力に与える影響は無視できると仮定している。