ラジカル軸

 M ₁、M ₂ を中心とする2つの円

 サンプル点P を持つ根軸

  両円からPまでの接線距離

根軸上のどの点でも接線の長さは等しくなければなりません。P 、T 1、T _2が共通の接線上にある場合、 Pは⁠ ⁠の中点です。 ${\displaystyle |PT_{1}|=|PT_{2}|.}$ ${\displaystyle {\overline {T_{1}T_{2}}}.}$

ユークリッド幾何学において、二つの非同心円の根軸とは、二つの円に対する冪が等しい点の集合である。このため、根軸は二つの円の冪線または冪二等分線とも呼ばれる。詳細は以下の通りである。

中心がそれぞれM ₁、M ₂、半径がそれぞれr ₁、r ₂である2つの円c ₁、c ₂について、点Pのこれらの円に対するべき乗は

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}.}$

点Pが根軸に属する場合、

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P).}$

円が2点を共有する場合、根軸は円の共通割線となります。 点Pが円の外側にある場合、Pは両方の円に対して等しい接線距離を持ちます。 半径が等しい場合、根軸はM ₁、M ₂の線分の二等分線となります。 いずれの場合も、根軸はM 1 、M 2 に垂直な直線となります。 ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}.}$

表記について

ラジカル軸という用語は、フランスの数学者M.シャスルによって斧ラジカルとして使われました。^{[ 1 ]} JVポンスレはchorde idealeという用語を使用しました。^{[ 2 ]} J.プリュッカーはChordaleという用語を導入しました。^{[ 3 ]} J.シュタイナーはラジカル軸を等力線（ドイツ語：Linie der gleichen Potenzen ）と呼び、これがべき乗線（Potenzgerade ）という用語につながりました。^{[ 4 ]}

プロパティ

幾何学的形状とその位置

点の位置ベクトルをとします。すると、根号直線の定義方程式は次のように表されます。 ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {m}}_{1},{\vec {m}}_{2}}$ ${\displaystyle P,M_{1},M_{2}}$

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}\quad \leftrightarrow \quad 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0}$

定義と計算 ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

正しい方程式から得られるものは

• 根軸の点集合は実際には直線であり、円の中心を通る直線に垂直です。

（は根軸に対する法線ベクトルです！） ${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$

この式を で割ると、ヘッセ行列の正規形が得られる。中心の位置ベクトルを代入すると、中心から根軸までの距離が得られる。 ${\displaystyle 2|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$、

と。 ${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|=|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|}$

(が の間にない場合は負になることがあります。) ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

円が2点で交差する場合、根号線は共通点を通ります。円と円が互いに接しているだけの場合、根号線は共通接線となります。

特別なポジション

根軸：バリエーション

• 交差する 2 つの円の根軸は、それらの共通の割線です。
• 二つの接する円の根軸はそれらの共通接線です。
• 交差しない 2 つの円の根軸は、2 つの便利な等角円の共通正割です (下記の「直交円」を参照)。

直交円

接線の接点は直交円（緑）上にある。 ${\displaystyle P}$

• 円の外点と2つの接点に対して、方程式は成立し、中心と半径 の円上に存在します。円は2つの円と直交します。したがって、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle S_{i},T_{i}}$ ${\displaystyle |PS_{i}|^{2}=|PT_{i}|^{2}=\Pi _{i}(P)}$ ${\displaystyle S_{i},T_{i}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi _{i}(P)}}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

が根軸の点である場合、4 つの点は円 上にあり、円 は与えられた円と直交します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{1},T_{1},S_{2},T_{2}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

• 根軸は、与えられた円と直交するすべての円の中心で構成されます。

直交円のシステム

前のセクションで説明した、与えられた2つの円と直交する円束の構築方法は、2つの直交する円のシステムの構築に拡張できます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

前のセクションと同様に、2つの離れた円をそれぞれ中心と半径とし、を根軸とします。ここで、直線を根軸とするすべての円の中心は、直線上に決定されます。もしがそのような円で、その中心から中心までの距離が で半径がであるとき、前のセクションの結果から、次の式が得られます 。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }},\quad }$どこが固定されているか。 ${\displaystyle d_{1}>r_{1}}$

この式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \delta _{2}=\delta -d_{1}}$

${\displaystyle \delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}$。

直交円のシステム：構築

半径が与えられている場合、この式から新しい中心の（固定された）根軸までの 距離が求められます。図では、新しい円の色は紫色です。緑色の円はすべて根軸上に中心を持ち、円と直交するため、すべての新しい円（紫色の円）とも直交します。根軸（赤い線）を-軸、直線を-軸とすると、2つの円束の式は次のようになります。 ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle x}$

紫： ${\displaystyle \ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$

緑： ${\displaystyle \ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

(点は緑色の円の中心です。) ${\displaystyle \;(0,y_{g})}$

特性：a)任意の2つの緑色の円は、直交円系の極である点 で -軸上で交差します。つまり、 -軸は緑色の円の根軸です。b )紫色の円には共通点がありません。しかし、実平面を複素平面の一部と見なすと、任意の2つの紫色の円は、共通の根軸である -軸上で点 で 交差します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$

放物線直交系

同軸円：種類

特殊なケース：a)緑の円が原点で - 軸を共通接線として接し、紫色の円も - 軸を共通接線として接している場合 。このような円系は共軸放物線円と呼ばれます（下記参照）。b )中心、つまり に縮小すると、方程式はより単純な形になり、 となります 。 ${\displaystyle d_{1}=r_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}=0}$ ${\displaystyle M_{1}=P_{1}}$

結論：a)任意の実数円の束 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ :}$

には次の性質があります: -軸は の根軸です。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$

円が点で交差する場合。 ${\displaystyle w>0}$ ${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$ ${\displaystyle P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})}$

共通点がない場合。 ${\displaystyle w<0}$

の場合、それらは で接し、-軸はそれらの共通接線です。 ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y}$

b)任意の実数に対して、2本の円の束 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\ }$

直交する円の系を形成します。つまり、任意の2つの円は直交して交差します。 ${\displaystyle c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )}$

c) b)の方程式から、座標フリー表現が得られます。

与えられた極に対する円の直交系 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

与えられた点、その中点、線分の二等分線に対して、 2つの方程式 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle g_{12}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\ ,}$

${\displaystyle |XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}}$では との間ではなく 、 との間 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g_{12}}$

システムの極が一意に決定される円の直交システムを説明します。 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

システムの軸を規定する必要がある。システムは放物線状である。 ${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}\ ,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}}$ずっと続きます 。​ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a_{2}}$

定規とコンパスを使った作図:

円の直交系：定規とコンパスによる作図

直交円の系はその極によって一意に決定されます。 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

1. 軸（根軸）は直線と極の線分の二等分線です。 ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle g_{12}}$
2. から までの円（図の緑色）は、 中心が にあります。簡単に描くことができます。点の半径は です。 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \;r_{N}=|NP_{1}|\;}$
3. 2 本目の鉛筆 (図の青色) で中心を とする円を描くには、ピタゴラスの定理を適用して半径を決定する必要があります(図を参照)。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle r_{M}}$ ${\displaystyle \;r_{M}^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\;}$

軸を追加で選択する必要がある 場合、システムは放物線状であり、簡単に描画できます。 ${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$

同軸円

定義とプロパティ:

2つの円とそのべき乗関数を仮定する。任意の ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

は円の方程式である（下記参照）。このような円のクラスは、円によって生成される共軸円系と呼ばれる。（この場合、方程式は の根軸を記述する。）^{[ 7 ] [ 8 ]} ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

のべき乗関数は ${\displaystyle c(\lambda )}$

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$。

のノルム方程式（ の係数は）は です。 ${\displaystyle x^{2},y^{2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)=0}$

簡単な計算で次のようになります。

• ${\displaystyle c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,}$と同じ根軸を持ち、 ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}.}$

を無限遠まで移動させることで、と が共軸円のシステムのメンバーであることがわかります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )}$

(E):が2 点 で交差する場合、 は任意の円 の点となり、直線 はそれらの共通根軸となります。このような系は楕円系と呼ばれます。(P):と がで接する場合、系の任意の円は点と の両方に で接します。共通接線がそれらの共通根軸となります。このような系は放物系と呼ばれます。(H):と に共通点がない場合、系の任意の円のペアについても同様です。任意の円のペアの根軸は、および の根軸です。この系は双曲系と呼ばれます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

詳細:

次のような座標を導入する

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$、

その場合、-軸はそれらの根軸になります (上記参照)。 ${\displaystyle y}$

べき乗関数を計算すると、ノルム円方程式が得られます。 ${\displaystyle \Pi (\lambda ,x,y)}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

平方完成して（中心の -座標）を代入すると、方程式の中心形が得られる。 ${\displaystyle \delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$。

円が2点で交差する とき ${\displaystyle r_{1}>d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}}$

そして同軸円のシステムは楕円形です。

の場合 、円は 共通点を持ち、システムは放物線状です。 ${\displaystyle r_{1}=d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$ ${\displaystyle P_{0}=(0,0)}$

円に共通点がなく、システムが双曲型である場合。 ${\displaystyle r_{1}<d_{1},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

代替方程式：1)共軸円系の定義方程式では、べき乗関数の倍数も使用できます。2 )円の1つの方程式を、目的の根軸の方程式に置き換えることができます。根軸は、無限大の半径を持つ円と見なすことができます。例えば、次のようになります。

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}}$、

最初の円と直線を 根軸とするすべての円を表します。3 ) 2つの円が等しい状態を表すために、次の形式がよく使用されます。 ${\displaystyle x=x_{2}}$

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.}$

しかし、この場合、パラメータによる円の表現は一意ではありません。 ${\displaystyle \mu ,\nu }$

応用：a)円の反転とメビウス変換は角度と一般化された円を保存する。したがって、円の直交系はこれらの写像の研究において重要な役割を果たす。^{[ 9 ] [ 10 ]} b)電磁気学では、同軸円は磁力線として現れる。^{[ 11 ]}

3つの円の根心、根軸の構築

3 つの円の根心緑色の円は 3 つの円と直交します。

3つの円があり、そのうち2つが同心円でない場合、3つの根軸が存在します。これらの円の中心が同一直線上にない場合、それらの根軸は共通点（3つの円の根中心）で交差します。中心が にある2つの円に直交する円は、 3つ目の円（根軸円） に直交します。 ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ ${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

証明。根軸は、円 に対して等しい接線距離を持つすべての点を含みます。との交点は、3つの円すべてに対して等しい接線距離を持ちます。したがって、も根軸上の点です。 ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle c_{i},c_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle g_{23}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{31}}$

この性質により、中心が である交差しない2つの円の根軸を描くことができます。与えられた中心と直線ではなく、 と交差する3つ目の円を描きます。根軸を描くことができます。それらの交点は3つの円の根中心であり、 上にあります。に垂直な直線が を通る線分が根軸です 。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle g_{13},g_{23}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle g_{12}}$

追加構築方法：

等しい力を持つ円による根軸の構築。これは成り立ちます。 ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$

与えられた円に対して同じ力を持つすべての点は、と同心円上にあります。これを等力円と呼びます。この性質は、2つの円の根軸の追加の作図法にも利用できます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

交差しない2つの円 に対して、に関して同じべき乗を持つ2つの等べき円 を描くことができます（図を参照）。詳細：べき乗が十分に大きい場合、2つの円は 根軸 上にある2つの共通点を持ちます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$ ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$

双極座標との関係

一般に、互いに交わらず同心円でない任意の2つの円は、双極座標系の円と一直線に並べることができます。その場合、根軸は単にこの座標系の - 軸となります。座標系の2つの焦点を通る軸上のすべての円は、2つの円と直交します。すべての円の中心が与えられた直線上にあり、すべての円のペアが同じ根軸を持つような円の最大の集合は、同軸円束と呼ばれます。 ${\displaystyle y}$

三線座標における根基中心

円を通常の方法で三線座標系で表す場合、その根心は特定の行列式として便宜的に与えられます。具体的には、辺の長さがである三角形の平面上の変数点を とすると、円は次のように表されます。 ${\displaystyle X=x:y:z}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,}$

${\displaystyle (dx+ey+fz)(ax+by+cz)+g(ayz+bzx+cxy)=0,}$

${\displaystyle (hx+iy+jz)(ax+by+cz)+k(ayz+bzx+cxy)=0,}$

${\displaystyle (lx+my+nz)(ax+by+cz)+p(ayz+bzx+cxy)=0.}$

根心は点である

${\displaystyle {\begin{vmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{vmatrix}}.}$

根平面と超平面

3次元における2つの非同心球の根軸平面も同様に定義されます。根軸平面は、2つの球の接線の長さが同じになる点の軌跡です。 ^{[ 12 ]} この軌跡が平面であるという事実は、根軸が直線であるという事実から3次元での回転によって生じます。

同じ定義は、任意の次元のユークリッド空間内の超球面にも適用でき、 2 つの非同心超球面の 根基超平面が得られます。

注記

1. Michel Chasles、CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie、erster Theil、Verlag Leibrock、ブラウンシュヴァイク、1856 年、p. 312
2. フィッシャー博士: Lehrbuch der Analytische Geometrie、ダルムシュタット、1851 年、Verlag Ernst Kern、p. 67
3. H. Schwarz: Die Elemente der Analytischen Geometrie der Ebene、Verlag HW Schmidt、ハレ、1858 年、p. 218
4. ヤコブ・シュタイナー: Einige geometrische Betrachtungen。掲載: Journal für die reine und angewandte Mathematik、バンド 1、1826、p. 165
5. A. Schoenfliess、R. Courant: Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes、Springer-Verlag、1931 年、p. 113
6. C. Carathéodory: Funktionentheorie、Birkhäuser-Verlag、バーゼル、1961、ISBN 978-3-7643-0064-7、p. 46
7. ダン・ペドー著『 Circles: A Mathematical View』アメリカ数学会、2020年、ISBN 9781470457327、16ページ
8. R. ラクラン著『現代純粋幾何学に関する初等的論文集』マクミラン社、ニューヨーク、1893年、200ページ
9. Carathéodory: Funktionentheorie、p. 47.
10. R. Sauer: Ingenieur-Mathematik: Zweiter Band: Differentialgleichungen und Funktionentheorie、Springer-Verlag、1962 年、ISBN 978-3-642-53232-0、p. 105
11. Clemens Schaefer: Elektrodynamik und Optik、Verlag: De Gruyter、1950、ISBN 978-3-11-230936-0、p. 358.
12. Merriam–Websterオンライン辞書を参照。

参考文献

• RAジョンソン (1960). 『ユークリッド幾何学の高度化：三角形と円の幾何学に関する初等的論文』（ホートン・ミフリン社1929年版の再版）. ニューヨーク: ドーバー・パブリケーションズ. pp.  31–43 . ISBN 978-0-486-46237-0。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

さらに読む

• C. スタンレー・オギルヴィ(1990).幾何学への遠足. ドーバー. pp.  17–23 . ISBN 0-486-26530-7。
• HSM Coxeter , SL Greitzer (1967). Geometry Revisited . Washington, DC : Mathematical Association of America . pp.  31–36 , 160–161 . ISBN 978-0-88385-619-2。
• クラーク・キンバーリング、「三角形の中心と中心三角形」、Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv、1–295。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「ラジカル線」。MathWorld 。
• ワイスタイン、エリック W. 「弦定理」。MathWorld 。
• Cut-the-knotのアニメーション

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