回転半径

重心から回転軸までの距離

回転軸を中心とした物体の慣性半径（ジャイラディウス）は、物体の全質量がそこに集中した場合に、その物体の実際の質量分布と同じ慣性モーメントを持つ点までの半径距離として定義されます。慣性半径は距離[L]の次元を持ち、 SI単位系であるメートルで表されます。

処方

数学的には、回転半径は、物体の各部からその質量中心または特定の軸（用途によって異なります）までの二乗平均距離です。実際には、質点から回転軸までの垂直距離です。運動する点の軌跡を物体として表すことができます。その場合、回転半径は、この点が移動する典型的な距離を表すために用いられます。

物体が質量 の粒子から構成されているとします。回転軸からの垂直距離を とします。すると、回転軸の周りの物体の慣性モーメントは ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}}$

すべての質量が同じ（）の場合、慣性モーメントは です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})}$

（物体の総質量） なので、 ${\displaystyle m=M/n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

上記の式から、

${\displaystyle MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

回転半径は、軸からの粒子の二乗平均距離の平方根である。

${\displaystyle R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

したがって、ある軸を中心とした物体の回転半径は、物体を構成する様々な粒子と回転軸との間の距離の二乗平均平方根として定義することもできます。これは、回転する剛体の質量がその回転軸の周りでどのように分布しているかを表す尺度としても知られています。

構造工学における応用

構造工学において、二次元の回転半径は、柱の重心軸周りの断面積の分布を物体の質量とともに記述するために使用されます。回転半径は次の式で与えられます。

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}}$

ここで、 は断面積の2次モーメント、は総断面積です。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$

回転半径は柱の剛性を推定するのに役立ちます。2次元回転テンソルの主モーメントが等しくない場合、柱は主モーメントが小さい方の軸を中心に座屈する傾向があります。例えば、楕円断面を持つ柱は、小さい方の半軸方向に座屈する傾向があります。

工学では、連続した物質が一般に研究対象となっており、回転半径は通常、積分として計算されます。

力学における応用

与えられた軸の周りの回転半径（ ）は、その軸の周りの質量モーメントと全質量mで計算できます。 ${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}}$ ${\displaystyle I_{\text{axis}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axis}}}{m}}}}$

${\displaystyle I_{\text{axis}}}$はスカラーであり、慣性モーメントテンソルではない。 ^[1]

分子応用

IUPAPの定義

回転半径（高分子科学）（、単位：nmまたはSI単位：m）：質量中心から一定の距離にある質量、=1,2,…,の質量要素で構成される高分子の場合、回転半径はすべての質量要素の質量平均の平方根、すなわち、 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}^{2}}$

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}s_{i}^{2}/\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{1/2}}$

注：質量要素は通常、高分子を構成する骨格基の質量として取られます（例：ポリ（メチレン）の-CH ₂ -）。^[2]

回転半径のIUPAC定義

高分子物理学において、回転半径はポリマー 鎖の大きさを表すために用いられる。重合度Nの個々のホモポリマーの、ある時点における回転半径は以下のように定義される。 ^[3]

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}}$

ここで、モノマーの平均位置です。以下に詳述するように、回転半径はモノマー間の二乗平均平方根距離にも比例します。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i\neq j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

3 番目の方法として、回転テンソルの主モーメントを合計することによって回転半径を計算することもできます。

ポリマー試料中の鎖の配座はほぼ無限であり、時間とともに絶えず変化するため、高分子物理学で議論される「回転半径」は通常、試料中のすべてのポリマー分子の、かつ時間経過にわたる平均値として理解される必要がある。つまり、時間経過あるいは集団全体にわたる平均値として測定される回転半径は、以下の通りである。

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}\right\rangle }$

ここで、山括弧はアンサンブル平均を表します。 ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

エントロピー支配下にある高分子鎖（いわゆるシータ状態）は、三次元的にランダムウォークを辿る。この場合の回転半径は次のように与えられる。

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a}$

はポリマーの輪郭の長さを表しますが、ポリマーの剛性に大きく依存し、桁違いに変化する可能性があることに注意してください。はそれに応じて減少します。 ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$

回転半径が興味深い特性である理由の一つは、静的光散乱だけでなく、小角中性子散乱やX線散乱によっても実験的に測定できることです。これにより、理論高分子物理学者はモデルを現実と照らし合わせて検証することができます。流体力学的半径は数値的に同様であり、動的光散乱（DLS）によって測定できます。

アイデンティティの導出

の 2 つの定義が同一であることを示すために、まず最初の定義の加数を乗算します。 ${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right]}$

最後の2つの項の合計と定義を用いると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)}$

一方、2 番目の定義は次のように同様に計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {g} }^{2}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}-2\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\left[N\sum _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{I}\right)-2\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)+N\sum _{j}\left(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}$

したがって、2つの定義は同じです。

最後の変換では、関係を使用します

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \left(\sum _{j}\mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\\&=\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }.\end{aligned}}}$

地理データ分析における応用

データ分析において、回転半径は地理的な場所の分布を含む様々な統計を計算するために使用されます。最近では、ソーシャルメディアユーザーからこれらの場所を収集し、ユーザーに関する典型的な言及を調査するようになりました。これは、ソーシャルメディア上の特定のユーザーグループがプラットフォームをどのように利用しているかを理解するのに役立ちます。

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}m_{i}}}}}$

注記

1. 例えば、ゴールドスタイン、ハーバート（1950年）、古典力学（第1版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー出版社を参照。式5-30
2. Stepto, R.; Chang, T.; Kratochvíl, P.; Hess, M.; Horie, K.; Sato, T.; Vohlídal, J. (2015). 「個々の高分子、高分子集合体、ポリマー溶液、および非晶質バルクポリマーに関する用語の定義（IUPAC勧告2014）」（PDF）Pure Appl Chem . 87 ( 1): 71. doi :10.1515/pac-2013-0201.
3. Fixman, Marshall (1962). 「ポリマー鎖の回転半径」. The Journal of Chemical Physics . 36 (2): 306– 310. Bibcode :1962JChPh..36..306F. doi :10.1063/1.1732501.

参考文献

• Grosberg AYとKhokhlov AR. (1994)高分子の統計物理学（Atanov YA訳）、AIP Press. ISBN 1-56396-071-0
• Flory PJ. (1953) Principles of Polymer Chemistry、コーネル大学、pp. 428–429（第10章の付録C）。

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