放射線照射機能

測度論において、可測空間間のラドン化関数（最終的にはヨハン・ラドンにちなんで名付けられた）は、第1空間の円筒集合測度（CSM）を第2空間の真の測度に変換する関数である。この関数の名前は、第2空間の押し出し測度が 歴史的にラドン測度と考えられていたためである

定義

2つの可分な バナッハ空間 と、上のCSM 、連続線型写像が与えられたとき、上の押し進めCSM（下記参照）が測度「である」、すなわち、上の測度が存在し、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\mu _{T}|T\in {\mathcal {A}}(E)\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta \in \mathrm {Lin} (E;G)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=S_{*}(\nu )}$

各 に対して、 は線形写像 による測度の通常の押し進め方です。 ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}(G)}$ ${\displaystyle S_{*}(\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S:G\to F_{S}}$

CSMの前進

上のCSMの定義では、写像が射影的であることが求められるため、 CSMの押し進めの定義には注意が必要である。CSMは ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G)}$

${\displaystyle \left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}}$

は定義されます

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=\mu _{S\circ \theta }}$

合成 が射影的である場合。射影的でない場合は、を の像とし、 をの包含写像とし、 と定義します ${\displaystyle S\circ \theta :E\to F_{S}}$ ${\displaystyle S\circ \theta }$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle S\circ \theta }$ ${\displaystyle i:{\tilde {F}}\to F_{S}}$

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=i_{*}\left(\mu _{\Sigma }\right)}$、

ここで（つまり）はとなる。 ${\displaystyle \Sigma :E\to {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle i\circ \Sigma =S\circ \theta }$

こちらも参照

• 抽象ウィーナー空間 – 無限次元空間に関する数学的構成
• 古典的ウィーナー空間 – 確率過程の空間
• サゾノフの定理

参考文献

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