ラマヌジャンのシータ関数

数学、特に $q$ アナログ理論において、ラマヌジャン・シータ関数はヤコビ・シータ関数の形を一般化し、それらの一般的な性質を捉えています。特に、ヤコビ三重積は、ラマヌジャン・シータで表すと特に優雅な形になります。この関数は数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにちなんで名付けられました

定義

ラマヌジャン・シータ関数は次のように定義されます

f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}

$| ab | < 1$ の場合。ヤコビの三重積恒等式は次のようになります

f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.

ここで、式は $q-$ ポッホハンマー記号を表す。このことから導かれる恒等式は以下の通りである。 $(a;q)_{n}$

\varphi (q)=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\left(-q;q^{2}\right)_{\infty }^{2}\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}

そして

\psi (q)=f\left(q,q^{3}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}={\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}

そして

f(-q)=f\left(-q,-q^{2}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {n(3n-1)}{2}}=(q;q)_{\infty }

この最後の関数はオイラー関数であり、デデキントのエータ関数と密接に関連しています。ヤコビのシータ関数は、ラマヌジャンのシータ関数を使って次のように表すことができます

\vartheta _{00}(w,q)=f\left(qw^{2},qw^{-2}\right)

積分表現

ラマヌジャンのシータ関数の完全な2パラメータ形に対して、次の積分表現が成り立ちます。^[1]

{\begin{aligned}f(a,b)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2ae^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{a^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt+\\\int _{0}^{\infty }{\frac {2be^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt\end{aligned}}

ラマヌジャンのシータ関数の特殊な場合である $φ (q) := f (q, q)$ （OEISのシーケンスA000122）および $ψ$ $($ $q$ $) :=$ $f$ $($ $q$ $,$ $q$ $3$ $) （$ OEISのシーケンスA010054）^[2]には、次のような積分表現もあります。^[1]

{\begin{aligned}\varphi (q)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4q\left(1-q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t\right)\right)}{q^{4}-2q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]\psi (q)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)}{q-2{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\end{aligned}}

$このことから、 q := e - kπ$ のとき、これらの関数で定義される定数に対して、いくつかの特殊な積分が導かれる（シータ関数の明示的な値を参照）。特に、^[1]

{\begin{aligned}\varphi \left(e^{-k\pi }\right)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{k\pi }\left(e^{2k\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi k}}\,t\right)\right)}{e^{4k\pi }-2e^{2k\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi k}}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{\pi }\left(e^{2\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)\right)}{e^{4\pi }-2e^{2\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{2\pi }\left(e^{4\pi }-\cos \left(2{\sqrt {\pi }}\,t\right)\right)}{e^{8\pi }-2e^{4\pi }\cos \left(2{\sqrt {\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{2^{\frac {1}{4}}3^{\frac {3}{8}}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{3\pi }\left(e^{6\pi }-\cos \left({\sqrt {6\pi }}\,t\right)\right)}{e^{12\pi }-2e^{6\pi }\cos \left({\sqrt {6\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{5^{\frac {3}{4}}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{5\pi }\left(e^{10\pi }-\cos \left({\sqrt {10\pi }}\,t\right)\right)}{e^{20\pi }-2e^{10\pi }\cos \left({\sqrt {10\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\end{aligned}}

そして

{\begin{aligned}\psi \left(e^{-k\pi }\right)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {k\pi }}\,t\right)-e^{\frac {k\pi }{2}}}{\cos \left({\sqrt {k\pi }}\,t\right)-\cosh {\frac {k\pi }{2}}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi }{8}}}{2^{\frac {5}{8}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\pi }}\,t\right)-e^{\frac {\pi }{2}}}{\cos \left({\sqrt {\pi }}\,t\right)-\cosh {\frac {\pi }{2}}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi }{4}}}{2^{\frac {5}{4}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)-e^{\pi }}{\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)-\cosh \pi }}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}\,e^{\frac {\pi }{16}}}{2^{\frac {7}{16}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,t\right)-e^{\frac {\pi }{4}}}{\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,t\right)-\cosh {\frac {\pi }{4}}}}\right]dt\end{aligned}}

弦理論への応用

ラマヌジャンのシータ関数は、ボソン弦理論、超弦理論、M理論における臨界次元を決定するために使用されます。

参考文献

^ abc Schmidt, MD (2017). 「平方級数生成関数変換」(PDF) . Journal of Inequalities and Special Functions . 8 (2) . arXiv : 1609.02803
^ Weisstein, Eric W. 「Ramanujan Theta Functions」. MathWorld . 2018年4月29日閲覧。

ベイリー, WN (1935).一般化超幾何級数. ケンブリッジ数学・数理物理学論文集. 第32巻. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局.
ガスパー、ジョージ、ラーマン、ミザン (2004).基本超幾何級数. 数学とその応用百科事典. 第96巻（第2版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-83357-4。
「ラマヌジャン関数」。数学百科事典。EMSプレス。2001年[1994年]
カク・ミチオ（1994）『ハイパースペース：並行宇宙、タイムワープ、そして10次元を巡る科学的探究』オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-286189-1。
ワイスタイン、エリック・W.「ラマヌジャンのシータ関数」。MathWorld

[SQSERIES-MDS-1] Schmidt, MD (2017). 「平方級数生成関数変換」(PDF) . Journal of Inequalities and Special Functions . 8 (2) . arXiv : 1609.02803

[2] Weisstein, Eric W. 「Ramanujan Theta Functions」. MathWorld . 2018年4月29日閲覧。