ランダム測定

Measure in measure theory

確率論において、ランダム測度とは測度値を持つランダム要素である。^{[1] [2]}ランダム測度は例えばランダム過程の理論で使用され、ポアソン点過程やコックス過程などの多くの重要な点過程を形成する。

意味

ランダム測度は、遷移核またはランダム元として定義できます。どちらの定義も同値です。定義において、 は可分完備計量空間、 はそのボレル代数とします。(可分完備計量空間の最も一般的な例は です。) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

遷移カーネルとして

ランダム測度とは、抽象的な確率空間からへの（としての）局所有限遷移カーネルである。^[3] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

遷移カーネルとは、

• 任意の固定された に対して、写像 ${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle \omega \mapsto \zeta (\omega ,B)}$

から測定可能 ​ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

• 固定されたすべての に対して、マッピング ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})}$

は、​ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

局所的に有限であるということは、測度が

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)}$

すべての有界測定可能集合に対して、および一部を除くすべての有界測定可能集合に対して満たす-空集合 ${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$ ${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle P}$

確率過程の文脈では、確率カーネル、確率カーネル、マルコフカーネルという関連概念があります。

ランダム要素として

定義する

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}}$

そして局所有限測度のサブセットは

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}}$

すべての有界測定可能に対して、マッピングを定義する ${\displaystyle {\tilde {B}}}$

${\displaystyle I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})}$

からへ。を への写像によって誘導される -代数、 への写像によって誘導される -代数とする。 に注意してください。 ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$

ランダム測度とは、からからほぼ確実に[3] [4] [5]の値を取るランダムな要素^である。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$

基本的な関連概念

強度測定

ランダム測度の場合、 ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

あらゆる正の測定可能な関数 に対する はの強度測度と呼ばれる。強度測度はあらゆるランダム測度に対して存在し、s-有限測度である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \zeta }$

支援策

ランダム測度の場合、 ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

すべての正の測定可能な関数に対する支持測度は、の支持測度と呼ばれます。支持測度はすべてのランダム測度に対して存在し、有限になるように選ぶことができます。 ${\displaystyle \zeta }$

ラプラス変換

ランダム測度の場合、ラプラス変換は次のように定義される。 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}$

あらゆる正の測定可能な関数に対して。 ${\displaystyle f}$

基本的なプロパティ

積分の測定可能性

ランダム測度の場合、積分 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

そして ${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

正の- 測定可能なものは測定可能なので、ランダム変数です。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle f}$

ユニークさ

ランダムな測定の分布は、以下の分布によって一意に決定される。

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

上のコンパクト台を持つすべての連続関数に対して成り立つ。の意味で生成する固定半環に対しても、ランダム測度の分布はすべての正の単純-可測関数上の積分によって一意に決定される。^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle f}$

分解

一般的に、メジャーは次のように分解されます。

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

ここでは原子なしの拡散測定ですが、は純粋に原子の測定です。 ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle \mu _{a}}$

ランダムカウント測定

次の形式のランダム測定:

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

ここで、はディラック測度であり、は確率変数であり、点過程^{[1] [2]}またはランダム計数測度と呼ばれる。このランダム測度は、（一般的にベクトル値の）ランダム変数によって位置が与えられるN個の粒子の集合を記述する。計数測度では拡散成分はゼロである。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$

上記の正式な記法において、ランダム計数測度は確率空間から測定空間 ( ,  ) ${\displaystyle N_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(N_{X})}$への写像である。ここでは、すべての有限な整数値測度（計数測度と呼ばれる）の空間が表される。 ${\displaystyle N_{X}}$ ${\displaystyle N\in M_{X}}$

期待値測度、ラプラス関数、モーメント測度、およびランダム測度の定常性の定義は、点過程の定義に従う。ランダム測度は、モンテカルロ数値積分法や粒子フィルタなどのモンテカルロ法の記述と解析に役立つ。^[7]

参照

• ポアソンランダム測度
• ベクトル測定
• アンサンブル

参考文献

1. Kallenberg, O. , Random Measures , 第4版. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR  0854102。権威ある参考文献だが、やや難解。
2. Jan Grandell, Point processes and random measurements, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR  0478331 JSTOR 分かりやすく素晴らしい入門書。
3. Kallenberg, Olav (2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル化. 第77巻. スイス: Springer. p. 1. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3。
4. クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 526. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6。
5. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003).点過程理論入門. 確率とその応用. doi :10.1007/b97277. ISBN 0-387-95541-0。
6. カレンバーグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル. 第77巻. スイス: シュプリンガー. p. 52. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3。
7. Crisan, D.,粒子フィルタ：理論的観点、Sequential Monte Carlo in Practice、 Doucet, A.、de Freitas, N.、Gordon, N.（編）、Springer、2001年、ISBN 0-387-95146-6

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