Relation between chemical reaction rate and concentrations of the reactants
化学 において 、 反応速度式 （けいぎょうほうきょう 、 英: Rate Crystual Rate Crystual ）は、 化学種の濃度と定数パラメータ（通常は反応速度係数と部分的反応次数）のみを用いて、与えられた反応の 反応速度 を表す 経験的微分 数式である。 [1] 多くの反応では、初期反応速度は次のようなべき乗法則で与えられる
。
v 0 = k [ A ] x [ B ] y {\displaystyle v_{0}\;=\;k[\mathrm {A} ]^{x}[\mathrm {B} ]^{y}} ここで 、 [ A ] {\displaystyle [\mathrm {A} ]} と [ B ] {\displaystyle [\mathrm {B} ]} は、 化学 種の モル濃度で 、 A {\displaystyle \mathrm {A} } 通常は リットル あたりの モル 数 （ モル濃度 、 B , {\displaystyle \mathrm {B} ,} ）で表され ます 。指数 と は 、 それぞれ と の部分 反応次数 であり、 全体の 反応次数は指数の合計です。これらは多くの場合正の整数ですが、ゼロ、分数、または負の場合もあります。 反応次数 は、化学反応の速度が反応物の濃度に依存する度合いを定量化した数値です。 [2] 言い換えれば、反応次数は特定の反応物の濃度をその指数まで引き上げたものです。 [2] 定数 は 反応速度定数 または 速度係数 であり 、ごくわずかな場所では 速度定数 または 比反応速度と呼ばれます。その値は、温度、イオン強度、 吸着剤 の表面積 、光 照射 などの条件によって異なる場合があります。反応が完了する場合、 反応速度 の速度式が反応の過程全体に適用されます。 M {\displaystyle M} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} A {\displaystyle \mathrm {A} } B {\displaystyle \mathrm {B} } k {\displaystyle k} v = k [ A ] x [ B ] y {\displaystyle v\;=\;k[{\ce {A}}]^{x}[{\ce {B}}]^{y}}
素反応（一段階） および 反応段階の 反応次数は、各反応物の 化学量論 係数に等しい。全体の反応次数、すなわち反応物の化学量論係数の合計は、常に 素反応の 分子数に等しい。しかし、 複雑な（多段階）反応では、反応次数が化学量論係数に等しい場合と等しくない場合がある。これは、未知の 反応機構が 素反応または複合反応のいずれかである可能性があるため、特定の反応の次数と反応速度式を化学量論から確実に推定することはできず、実験的に決定する必要があることを意味する。実験的に決定された速度式は、 反応機構 の推定にしばしば用いられる 。
マイクロモルレベル以下の濃度のような非常に希薄な溶液では、分子衝突は主に 拡散によって支配されます。このような条件下では、反応分子が互いに衝突するまでに長い距離を移動するのに余分な時間が必要となるため、見かけの反応順序は化学量論的な期待値から外れます。この挙動は フィックの拡散法則 によって記述でき 、分数反応順序をもたらすフラクタル反応速度論と一致しています。
多段階機構を仮定した反応の反応速度式は、多くの場合、基礎となる素反応における 準定常状態の仮定 を用いて理論的に導出され、仮定された機構の検証として実験的な反応速度式と比較される。反応速度式は 分数階数を含む場合があり、 中間 体の濃度に依存する場合がある 。
反応速度が単純に反応物の濃度の何乗かに比例しない場合、反応は 反応物に関して 定義されていない反応順序を持つこともあります。たとえば、 吸着分子 間の二分子反応の速度式では反応順序について語ることはできません。
v 0 = k K 1 K 2 C A C B ( 1 + K 1 C A + K 2 C B ) 2 . {\displaystyle v_{0}=k{\frac {K_{1}K_{2}C_{A}C_{B}}{(1+K_{1}C_{A}+K_{2}C_{B})^{2}}}.}
意味 2 つの 反応物A と B が結合して 生成物 C を形成する 典型的な 化学反応を考えてみましょう。
A + 2 B ⟶ 3 C . {\displaystyle {\ce {{A}+ {2B}-> {3C}}}.} これは次のようにも書ける。
− A − 2 B + 3 C = 0. {\displaystyle -\mathrm {A} -2\mathrm {B} +3\mathrm {C} =0.} 前置係数−1、−2、3（反応物は消費されるため負の符号が付く）は 化学量論係数 として知られている。1分子のAは2分子のBと結合して3分子のCを形成するので、化学物質Xの モル濃度 を記号[X]で表すと、 [3]となる。
− d [ A ] d t = − 1 2 d [ B ] d t = 1 3 d [ C ] d t . {\displaystyle -{\frac {d[\mathrm {A} ]}{dt}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {d[\mathrm {B} ]}{dt}}={\frac {1}{3}}{\frac {d[\mathrm {C} ]}{dt}}.} 反応が一定温度、一定体積の閉鎖系 で起こり、 反応中間体 が蓄積しない場合 、 反応速度は 次のように定義される。 v {\displaystyle v}
v = 1 ν i d [ X i ] d t , {\displaystyle v={\frac {1}{\nu _{i}}}{\frac {d[\mathrm {X} _{i}]}{dt}},} ここで ν i は化学物質X i の化学量論係数であり 、反応物の場合は負の符号が付く。 [4]
初期反応速度は 反応物の濃度に関数的に依存する。 v 0 = v t = 0 {\displaystyle v_{0}=v_{t=0}}
v 0 = f ( [ A ] , [ B ] , … ) , {\displaystyle v_{0}=f\left([\mathrm {A} ],[\mathrm {B} ],\ldots \right),} この依存性は 反応速度式 または 反応速度法則 として知られています。 [5] この法則は一般に化学反応式から導き出すことはできず、実験によって決定する必要があります。 [6]
べき乗則 速度方程式の一般的な形はべき乗法則である： [6]
v 0 = k [ A ] x [ B ] y ⋯ {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}]^{x}[{\ce {B}}]^{y}\cdots } 定数 は k {\displaystyle k} 反応速度定数 と呼ばれます 。指数は分数になることもあり、 [6] 反応の部分次数 と呼ばれ 、それらの合計が全体の反応次数となります。 [7]
希薄溶液中では、 素反応（単一の 遷移状態 を伴う単一のステップを持つ反応）は経験的に 質量作用の法則 に従うことが分かっています 。この法則は、反応速度が反応物の濃度とその化学量論係数の累乗のみに依存することを予測します。 [8]
数学的積表記法 を使用した素反応の 微分反応速度方程式は 次 のようになります。
− d d t [ Reactants ] = k ∏ i [ Reactants i ] {\displaystyle -{d \over dt}[{\text{Reactants}}]=k\prod _{i}[{\text{Reactants}}_{i}]} どこ：
− d d t [ Reactants ] {\textstyle -{d \over dt}[{\text{Reactants}}]} 反応物濃度の時間に対する変化 率 です。 k は 反応の 速度定数です。 ∏ i [ Reactants i ] {\textstyle \prod _{i}[{\text{Reactants}}_{i}]} 反応物の濃度をそれぞれの 化学量論 係数で累乗し、それらを掛け合わせたものを表します。
反応次数の決定
初期レート法 べき乗法則の速度方程式の 自然 対数は
ln v 0 = ln k + x ln [ A ] + y ln [ B ] + ⋯ {\displaystyle \ln v_{0}=\ln k+x\ln[{\ce {A}}]+y\ln[{\ce {B}}]+\cdots } これは、各反応物の反応次数を推定するために使用できます。例えば、一連の実験で、反応物の初期濃度を変え 、 他 A {\displaystyle {\rm {A}}} のすべての濃度を 一定に保ったまま、 初期 速度を測定することができます。 [ B ] , [ C ] , … {\displaystyle [{\rm {B],[{\rm {C],\dots }}}}}
ln v 0 = x ln [ A ] + constant . {\displaystyle \ln v_{0}=x\ln[{\ce {A}}]+{\textrm {constant}}.} の関数として のグラフの 傾き は、反応物 に関する 順序 に対応する。 [9] [10] ln v {\displaystyle \ln v} ln [ A ] {\displaystyle \ln[{\ce {A}}]} x {\displaystyle x} A {\displaystyle {\rm {A}}}
しかし、この方法は必ずしも信頼できるものではない。
初期速度の測定には、反応 半減期 に比べて短い時間での濃度の小さな変化を正確に測定する必要があり、誤差に敏感であり、 反応速度が中間体や生成物など、反応開始時に存在しない物質にも依存する場合、反応速度式は完全には決定されません。
積分法 したがって、初期速度法によって決定された暫定的な速度式は、通常、より長い時間（半減期の数倍）にわたって測定された濃度を速度式の積分形と比較することによって検証されます。これは、反応が完了することを前提としています。
例えば、一次反応の積分速度則は
ln [ A ] = − k t + ln [ A ] 0 , {\displaystyle \ln {[{\ce {A}}]}=-kt+\ln {[{\ce {A}}]_{0}},} ここで 、 は時刻 [ A ] {\displaystyle [{\rm {A]}}} t {\displaystyle t} における濃度 、 [ A ] 0 {\displaystyle [{\rm {A]_{0}}}} は時刻0における初期濃度です。が 実際に時間の線形関数である場合、一次反応速度則は確認されます。この場合、 反応速度定数 は傾きの符号を反転したものに等しくなります。 [11] [12] ln [ A ] {\displaystyle \ln {[{\ce {A}}]}} k {\displaystyle k}
浸水方法 与えられた反応物に関する部分順序は、 オストワルド のフラッディング法（または分離法）によって評価できます。この方法では、ある反応物の濃度を他のすべての反応物を大幅に過剰に測定し、それらの濃度が実質的に一定になるようにします。反応速度法則に従う 反応 a ·A + b ·B → c ·Cの場合 、 に関する 部分 順序は、 を大幅に過剰にすることによって決定されます 。 この場合、 v 0 = k ⋅ [ A ] x ⋅ [ B ] y , {\displaystyle v_{0}=k\cdot [{\rm {A}}]^{x}\cdot [{\rm {B}}]^{y},} x {\displaystyle x} A {\displaystyle {\rm {A}}} B {\displaystyle {\rm {B}}}
v 0 = k ′ ⋅ [ A ] x {\displaystyle v_{0}=k'\cdot [{\rm {A}}]^{x}} と k ′ = k ⋅ [ B ] y , {\displaystyle k'=k\cdot [{\rm {B}}]^{y},}
および は x {\displaystyle x} 積分法によって決定できる。 同じ条件下（ が過剰）での に対する の順位は、 y {\displaystyle y} の初期濃度を変化させた一連の同様の実験によって決定され、 の変化を 測定することができる。 [13] B {\displaystyle {\rm {B}}} B {\displaystyle {\rm {B}}} [ B ] 0 {\displaystyle [{\rm {B]_{0}}}} k ′ {\displaystyle k'}
ゼロ次 零次反応では、反応速度は反応物の濃度に依存しないため、濃度の変化は反応速度に影響を与えません。したがって、濃度は時間とともに直線的に変化します。零次反応の反応速度則は、
− d [ A ] d t = k [ A ] 0 = k , {\displaystyle -{d[A] \over dt}=k[A]^{0}=k,}
k の単位は mol dm −3 s −1 である 。 [14]これは、例えば反応が 酵素 や 触媒表面 との接触を必要とする場合など、同時に反応できる反応分子の数を制限するボトルネックがある場合に発生する可能性がある 。 [15]
多くの酵素触媒反応は、反応物濃度が速度を制御する酵素濃度よりもはるかに高く、酵素が 飽和状態に ある場合、ゼロ次反応です。例えば、 肝臓アルコール脱水素 酵素（LADH）による エタノールから アセトアルデヒド への生物学的酸化は 、エタノール中ではゼロ次反応です。 [16]
同様に、不均一触媒 反応は 、触媒表面が飽和している場合、ゼロ次反応となり得る。例えば、高圧下の高温 タングステン表面における ホスフィン （ PH 3 ）の分解は 、ホスフィンが一定速度で分解する限りゼロ次反応となる。 [15]
均一触媒 においては、 可逆的な阻害によってゼロ次挙動が生じることがある。例えば、 第三世代グラブス 触媒を用いた 開環メタセシス重合では、 ピリジン とルテニウム中心 の間で生じる可逆的な 阻害 により、触媒においてゼロ次挙動が現れる。 [17]
最初の注文 一 次反応は、 1つの反応物の濃度のみに依存します（ 単分子反応 ）。他の反応物が存在する場合もありますが、その濃度は反応速度に影響を与えません。一次反応の反応速度則は、
− d [ A ] d t = k [ A ] , {\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=k[{\ce {A}}],} k の単位は s −1 である 。 [14] 上記の計算には影響しないが、一次反応の大部分は分子間衝突によって進行する。反応物にエネルギーを付与するこのような衝突は必然的に二次反応となる。しかし、 リンデマン機構 によれば、反応は2つの段階、すなわち二次反応である二分子衝突と、エネルギーを与えられた単分子の一次反応である反応から構成される。全体の反応速度は最も遅い段階に依存するため、エネルギーを与えられた反応物の反応が衝突段階よりも遅い場合、全体の反応は一次反応となる。
半減 期 は開始濃度に依存せず、次のように与えられる 。 平均寿命は τ = 1/ k である 。 [18] t 1 / 2 = ln ( 2 ) k {\textstyle t_{1/2}={\frac {\ln {(2)}}{k}}}
このような反応の例は次のとおりです。
2 N 2 O 5 ⟶ 4 NO 2 + O 2 {\displaystyle {\ce {2N2O5 -> 4NO2 + O2}}} [19] [20] [ CoCl ( NH 3 ) 5 ] 2 + + H 2 O ⟶ [ Co ( H 2 O ) ( NH 3 ) 5 ] 3 + + Cl − {\displaystyle {\ce {[CoCl(NH3)5]^2+ + H2O -> [Co(H2O)(NH3)5]^3+ + Cl-}}} H 2 O 2 ⟶ H 2 O + 1 2 O 2 {\displaystyle {\ce {H2O2 -> H2O + 1/2O2}}} [21] 有機化学において、SN1（求核置換単分子）反応は 一 次 反応から構成される。例えば、水溶液中の アリール ジアゾニウム イオンと 求核剤 の反応では、 ArN + 2 + X − → ArX + N 2 、反応速度式は Arが アリール 基を表す。 [22] v 0 = k [ ArN 2 + ] , {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {ArN2+}}],}
2番目の注文 反応全体の次数が2のとき、その反応は2次反応であると言われる。2次反応の速度は、濃度の2乗に比例する場合もあれば、 （より一般的には）2つの濃度の積に比例する場合もある。 前者の例として、 NO 2 + CO → NO + CO 2 という反応は、反応物NO 2 に対しては2次反応であり 、反応物COに対しては0次反応である。観測される反応速度は次式で与えられ 、CO濃度に依存しない。 [23] v 0 = k [ A ] 2 , {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}]^{2},} v 0 = k [ A ] [ B ] . {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}][{\ce {B}}].} v 0 = k [ NO 2 ] 2 , {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {NO2}}]^{2},}
濃度の2乗に比例する速度の場合、濃度の時間依存性は次のように表される。
1 [ A ] = 1 [ A ] 0 + k t . {\displaystyle {\frac {1}{{\ce {[A]}}}}={\frac {1}{{\ce {[A]0}}}}+kt.} k の単位は mol −1 dm 3 s −1 である 。 [14]
2つの不等濃度に比例する速度の時間依存性は
[ A ] [ B ] = [ A ] 0 [ B ] 0 e ( [ A ] 0 − [ B ] 0 ) k t ; {\displaystyle {\frac {{\ce {[A]}}}{{\ce {[B]}}}}={\frac {{\ce {[A]0}}}{{\ce {[B]0}}}}e^{\left({\ce {[A]0}}-{\ce {[B]0}}\right)kt};} 濃度が等しい場合、前の式を満たします。
2番目のタイプには、 酢酸エチル の アルカリ 加水分解 のような求核 付加脱離反応 が含まれる。 [22]
CH 3 COOC 2 H 5 + OH − ⟶ CH 3 COO − + C 2 H 5 OH {\displaystyle {\ce {CH3COOC2H5 + OH- -> CH3COO- + C2H5OH}}} この反応は、各反応物では一次反応、全体では二次反応です。
v 0 = k [ CH 3 COOC 2 H 5 ] [ OH − ] {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {CH3COOC2H5}}][{\ce {OH-}}]} 同じ加水分解反応が イミダゾール によって 触媒される 場合、反応速度式は次のようになる [22]。
v 0 = k [ imidazole ] [ CH 3 COOC 2 H 5 ] . {\displaystyle v_{0}=k[{\text{imidazole}}][{\ce {CH3COOC2H5}}].} 反応速度は、1 つの反応物 (酢酸エチル) では一次であり、触媒として全体の化学式には現れないイミダゾールでも一次です。
二次反応のもう一つのよく知られたクラスは、 アセトン 中の臭化 n-ブチル と ヨウ化ナトリウム の反応のような S N 2 （二分子求核置換）反応である。
CH 3 CH 2 CH 2 CH 2 Br + NaI ⟶ CH 3 CH 2 CH 2 CH 2 I + NaBr ↓ {\displaystyle {\ce {CH3CH2CH2CH2Br + NaI -> CH3CH2CH2CH2I + NaBr(v)}}} この同じ化合物は、ヨウ化ナトリウムとアセトンを 、塩として tert-ブトキシドナトリウム 、溶媒として tert-ブタノール に置き換えると、もう1つの一般的なタイプの二次反応である二分子（E2） 脱離反応を起こすことができます。
CH 3 CH 2 CH 2 CH 2 Br + NaO t − Bu ⟶ CH 3 CH 2 CH = CH 2 + NaBr + HO t − Bu {\displaystyle {\ce {{CH3CH2CH2CH2Br}+NaO{\mathit {t}}-Bu->{CH3CH2CH=CH2}+{NaBr}+HO{\mathit {t}}-Bu}}}
擬似一次 反応物の濃度が一定である場合（ 触媒 であるため、または他の反応物に比べて過剰であるため）、その濃度は反応速度定数に含めることができ、 擬一次 （または場合によっては擬二次）反応速度式が得られます。反応速度式が成り立つ典型的な二次反応において、 反応物Bの濃度が一定であれば、 擬一次反応速度定数は次のようになります。 二次反応速度式は擬一次反応速度式に簡約され、これにより積分反応速度式を得る処理がはるかに容易になります。 v 0 = k [ A ] [ B ] , {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}][{\ce {B}}],} v 0 = k [ A ] [ B ] = k ′ [ A ] , {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}][{\ce {B}}]=k'[{\ce {A}}],} k ′ = k [ B ] . {\displaystyle k'=k[{\ce {B}}].}
擬一次反応を得る一つの方法は、一方の反応物を大過剰（例えば、[B]≫[A]）に用いることである。こうすることで、反応が進行するにつれて、過剰の反応物（B）のごく一部のみが消費され、その濃度は一定であるとみなせる。例えば、希薄鉱酸によるエステルの加水分解は擬一 次反応速度論 に従う。この場合、水の濃度は大過剰に存在するため一定である。
CH 3 COOCH 3 + H 2 O ⟶ CH 3 COOH + CH 3 OH {\displaystyle {\ce {CH3COOCH3 + H2O -> CH3COOH + CH3OH}}} 酸溶液中のスクロース（ C 12 H 22 O 11 ）の加水分解は 、速度式を持つ一次反応としてよく引用されます。 真の反応速度式は三次です が、触媒 H + と溶媒 H 2 O の濃度は通常一定であるため、反応は擬一次反応となります。 [24] v 0 = k [ C 12 H 22 O 11 ] . {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {C12H22O11}}].} v 0 = k [ C 12 H 22 O 11 ] [ H + ] [ H 2 O ] ; {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {C12H22O11}}][{\ce {H+}}][{\ce {H2O}}];}
反応次数0、1、2、および n 3次の素反応段階（三元反応 と呼ばれる ）は 稀であり、 起こる可能性は低い。しかし、複数の素反応段階から成る全体反応は、当然ながら、任意の次数（非整数次を含む）をとることができる。
ここで 、 は M {\displaystyle {\rm {M}}} モル 濃度 （mol · L −1 ）、 t {\displaystyle t} は時間、 k {\displaystyle k} は反応速度定数を表します。一次反応の半減期は、 t 1/2 = 0.693/ k （ln(2)≈0.693）と表されることが多いです。
分数注文 分数次反応では、次数は非整数であり、これはしばしば 化学連鎖反応 やその他の複雑な 反応機構 を示す。例えば、 アセトアルデヒド （ CH 3 CHO ） の メタン と 一酸化炭素への 熱分解は 、アセトアルデヒドに対して1.5の次数で進行する： [26] ホスゲン （ COCl 2 ）の一酸化炭素と 塩素 への分解は、 ホスゲン自体に対して1の次数で進行するが、塩素に対しては0.5の次数で進行する： [27] v 0 = k [ CH 3 CHO ] 3 / 2 . {\displaystyle v_{0}=k[{\ce {CH3CHO}}]^{3/2}.} v 0 = k [ COCl 2 ] [ Cl 2 ] 1 / 2 . {\displaystyle v_{0}=k{\ce {[COCl2] [Cl2]}}^{1/2}.}
連鎖反応の順序は、 フリーラジカル などの反応中間体の濃度に対する 定常状態 近似を用いて合理的に説明できる。アセトアルデヒドの熱分解においては、ライス・ ヘルツフェルト 機構が用いられる。
入会 CH 3 CHO ⟶ ⋅ CH 3 + ⋅ CHO {\displaystyle {\ce {CH3CHO -> .CH3 + .CHO}}} 伝搬 ⋅ CH 3 + CH 3 CHO ⟶ CH 3 CO ⋅ + CH 4 {\displaystyle {\ce {.CH3 + CH3CHO -> CH3CO. + CH4}}} CH 3 CO ⋅ ⟶ ⋅ CH 3 + CO {\displaystyle {\ce {CH3CO. -> .CH3 + CO}}} 終了 2 ⋅ CH 3 ⟶ C 2 H 6 {\displaystyle {\ce {2 .CH3 -> C2H6}}} ここで、•はフリーラジカルを表す。 [26] [28] 理論を簡略化するために、 *CHOが2番目の *CH 3 を形成する反応は 無視される。
定常状態では、メチルラジカルの生成速度と破壊速度は等しいので、
d [ ⋅ CH 3 ] d t = k i [ CH 3 CHO ] − k t [ ⋅ CH 3 ] 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {d[{\ce {.CH3}}]}{dt}}=k_{i}[{\ce {CH3CHO}}]-k_{t}[{\ce {.CH3}}]^{2}=0,} メチルラジカルの濃度が
[ ⋅ CH 3 ] ∝ [ CH 3 CHO ] 1 2 ⋅ {\displaystyle {\ce {[.CH3]\quad \propto \quad [CH3CHO]^{1/2}.}}} 反応速度は、主な反応生成物であるCH 4 とCO を形成する伝播段階の速度に等しい。
v 0 = d [ CH 4 ] d t | 0 = k p [ ⋅ CH 3 ] [ CH 3 CHO ] ∝ [ CH 3 CHO ] 3 2 {\displaystyle v_{0}={\frac {d[{\ce {CH4}}]}{dt}}|_{0}=k_{p}{\ce {[.CH3][CH3CHO]}}\quad \propto \quad {\ce {[CH3CHO]^{3/2}}}} 実験順序3/2と一致している。 [26] [28]
マイクロモルレベル以下の濃度のような高度に希釈された溶液では、分子衝突は主に 拡散によって支配されます。このような条件下では、反応分子が互いに衝突するまでに長い距離を移動するのに余分な時間が必要となるため、見かけ上の反応順序は化学量論的な期待値から外れます。この挙動は フィックの拡散法則 によって記述でき 、分数反応順序をもたらすフラクタル反応速度論と一致しています。
複雑な法律
混合注文 より複雑な反応速度法則は、 関与する化学種の濃度が異なる場合に、複数の次数の反応速度法則に近似する場合、 混合次数反応 であると説明される。例えば、次の形式の反応速度法則は、一次反応と二次反応（あるいはより一般的には擬一次反応と二次反応の同時発生）を表し、混合次数反応と説明することができる。 [29] [A]の値が十分に大きい場合、このような反応は二次反応速度論に近似するが、[A]が小さい場合、反応速度論は一次反応（または擬一次反応）に近似する。反応が進行するにつれて、反応物が消費されるにつれて、反応は二次反応から一次反応へと変化する可能性がある。 v 0 = k 1 [ A ] + k 2 [ A ] 2 {\displaystyle v_{0}=k_{1}[A]+k_{2}[A]^{2}}
混合次数反応速度則の別のタイプは、分母が2項以上である。これは、律速 段階 の同一性が濃度の値に依存するためであることが多い。一例として、ルテニウム酸 ( VI)イオン(RuO 4 2- )を 触媒として、ヘキサシアノ 鉄酸 (III) イオン[Fe(CN) 6 3- ]によるアルコール から ケトンへの 酸化が挙げられる [30] 。 この反応では、ヘキサシアノ鉄酸(III)の消失速度は v 0 = [ Fe ( CN ) 6 ] 2 − k α + k β [ Fe ( CN ) 6 ] 2 − {\displaystyle v_{0}={\frac {{\ce {[Fe(CN)6]^2-}}}{k_{\alpha }+k_{\beta }{\ce {[Fe(CN)6]^2-}}}}}
これは、反応開始時（濃度が高く、ルテニウム触媒が急速に再生される場合）にはヘキサシアノ鉄酸（III）に対してゼロ次ですが、その濃度が低下し、触媒の再生が律速になると一次に変わります。
2 つの項を持つ混合順序速度法則を持つ注目すべきメカニズムには次のものがあります。
負の順序 反応速度は、物質に対して負の順序を持つことがあります。例えば、 オゾン （O 3 ）から 酸素 への変換は、酸素過剰時の反応速度式に従います 。これは、オゾンでは2次、酸素では（-1）の順序に相当します。 [31] v 0 = k [ O 3 ] 2 [ O 2 ] − 1 {\displaystyle v_{0}=k{\ce {[O_3]^2}}{\ce {[O_2]^{-1}}}}
部分順序が負の場合、全体の順序は通常未定義とみなされます。例えば上記の例では、部分順序の和が であるにもかかわらず、反応は一次反応として記述されません。これは、反応 速度式が単純な一次反応よりも複雑であるためです。 2 + ( − 1 ) = 1 {\displaystyle 2+(-1)=1}
反対の反応 順反応と逆反応のペアが、同程度の速度で同時に起こることがあります。例えば、AとBは反応して生成物PとQを生成し、逆もまた同様です（ a、b、p 、 qは 化学量論係数 です ）。
a A + b B ↽ − − ⇀ p P + q Q {\displaystyle {\ce {{{\mathit {a}}A}+{{\mathit {b}}B}<=>{{\mathit {p}}P}+{{\mathit {q}}Q}}}} 上記の反応の反応速度式（それぞれが基本反応であると仮定）は次のように表すことができます。
v = k 1 [ A ] a [ B ] b − k − 1 [ P ] p [ Q ] q {\displaystyle v=k_{1}[{\ce {A}}]^{a}[{\ce {B}}]^{b}-k_{-1}[{\ce {P}}]^{p}[{\ce {Q}}]^{q}} ここで、 k 1 は A と B を消費する反応の速度係数です。k −1 は P と Q を消費して A と B を生成する逆反応の速度係数です。
定数 k 1 と k −1 は、反応の平衡係数（K）と次の関係式で結びついています（ バランスでは v =0に設定）。
k 1 [ A ] a [ B ] b = k − 1 [ P ] p [ Q ] q K = [ P ] p [ Q ] q [ A ] a [ B ] b = k 1 k − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&k_{1}[{\ce {A}}]^{a}[{\ce {B}}]^{b}=k_{-1}[{\ce {P}}]^{p}[{\ce {Q}}]^{q}\\[8pt]&K={\frac {[{\ce {P}}]^{p}[{\ce {Q}}]^{q}}{[{\ce {A}}]^{a}[{\ce {B}}]^{b}}}={\frac {k_{1}}{k_{-1}}}\end{aligned}}} A（A 0 = 0.25 mol/L）およびBの濃度と平衡到達時間の関係 k 1 = 2 min −1 および k −1 = 1 min −1
簡単な例 2 つの種の間の単純な平衡では、
A ↽ − − ⇀ P {\displaystyle {\ce {A <=> P}}} ここで、反応は反応物Aの初期濃度、および t =0の時点での生成物Pの初期濃度0で始まります 。 [ A ] 0 {\displaystyle {\ce {[A]0}}}
平衡定数 K は次 のように表されます。
K = d e f k 1 k − 1 = [ P ] e [ A ] e {\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {k_{1}}{k_{-1}}}={\frac {\left[{\ce {P}}\right]_{e}}{\left[{\ce {A}}\right]_{e}}}} ここで 、および はそれぞれ平衡時のAおよびPの濃度です。 [ A ] e {\displaystyle [{\ce {A}}]_{e}} [ P ] e {\displaystyle [{\ce {P}}]_{e}}
時刻t における A の濃度は 、時刻 t における P の濃度と平衡反応式によって関係付けられ ます 。 [ A ] t {\displaystyle [{\ce {A}}]_{t}} [ P ] t {\displaystyle [{\ce {P}}]_{t}}
[ A ] t = [ A ] 0 − [ P ] t {\displaystyle {\ce {[A]_{\mathit {t}}=[A]0-[P]_{\mathit {t}}}}} この単純な例では、P の初期濃度は 0 であるため、 この項は存在しません。 [ P ] 0 {\displaystyle {\ce {[P]0}}}
これは、時間 t が無限大、つまり平衡状態に達した場合にも適用されます。
[ A ] e = [ A ] 0 − [ P ] e {\displaystyle {\ce {[A]_{\mathit {e}}=[A]0-[P]_{\mathit {e}}}}} すると、 K の定義から、
[ P ] e = k 1 k 1 + k − 1 [ A ] 0 {\displaystyle [{\ce {P}}]_{e}={\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{-1}}}{\ce {[A]0}}} そして、それゆえ、
[ A ] e = [ A ] 0 − [ P ] e = k − 1 k 1 + k − 1 [ A ] 0 {\displaystyle \ [{\ce {A}}]_{e}={\ce {[A]0}}-[{\ce {P}}]_{e}={\frac {k_{-1}}{k_{1}+k_{-1}}}{\ce {[A]0}}} これらの方程式により、微分方程式系 を切り離し 、A の濃度のみを解くことができます。
反応式は以下のように以前に与えられました:
v = k 1 [ A ] a [ B ] b − k − 1 [ P ] p [ Q ] q {\displaystyle v=k_{1}[{\ce {A}}]^{a}[{\ce {B}}]^{b}-k_{-1}[{\ce {P}}]^{p}[{\ce {Q}}]^{q}} これ は単純に A ↽ − − ⇀ P {\displaystyle {\ce {A <=> P}}}
− d [ A ] d t = k 1 [ A ] t − k − 1 [ P ] t {\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]_{t}-k_{-1}[{\ce {P}}]_{t}} 導関数が負なのは、これがAからPへの反応速度であり、したがってAの濃度が減少するからです。表記を簡略化するために、 xを 時刻 t におけるAの濃度とします 。 平衡時のAの濃度を とします。すると、 [ A ] t {\displaystyle [{\ce {A}}]_{t}} x e {\displaystyle x_{e}}
− d [ A ] d t = k 1 [ A ] t − k − 1 [ P ] t − d x d t = k 1 x − k − 1 [ P ] t = k 1 x − k − 1 ( [ A ] 0 − x ) = ( k 1 + k − 1 ) x − k − 1 [ A ] 0 {\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&={k_{1}[{\ce {A}}]_{t}}-{k_{-1}[{\ce {P}}]_{t}}\\[8pt]-{\frac {dx}{dt}}&={k_{1}x}-{k_{-1}[{\ce {P}}]_{t}}\\[8pt]&={k_{1}x}-{k_{-1}({\ce {[A]0}}-x)}\\[8pt]&={(k_{1}+k_{-1})x}-{k_{-1}{\ce {[A]0}}}\end{aligned}}} 以来：
k 1 + k − 1 = k − 1 [ A ] 0 x e {\displaystyle k_{1}+k_{-1}=k_{-1}{\frac {{\ce {[A]0}}}{x_{e}}}} 反応 速度は 次のようになります。
d x d t = k − 1 [ A ] 0 x e ( x e − x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {k_{-1}{\ce {[A]0}}}{x_{e}}}(x_{e}-x)} その結果は次のようになります。
ln ( [ A ] 0 − [ A ] e [ A ] t − [ A ] e ) = ( k 1 + k − 1 ) t {\displaystyle \ln \left({\frac {{\ce {[A]0}}-[{\ce {A}}]_{e}}{[{\ce {A}}]_{t}-[{\ce {A}}]_{e}}}\right)=(k_{1}+k_{-1})t} 。 Aの濃度（時間経過に伴う濃度）から平衡時の濃度を引いた 自然対数を時間 t に対してプロットすると、傾き k 1 + k −1 の直線が得られる。[A] e と[P] e を測定することで、 K の値 と2つの 反応速度定数 を知ることができる。 [32]
簡単な例の一般化 時刻 t = 0 における濃度が上記と異なる場合、上記の簡略化は無効となり、微分方程式系を解く必要があります。ただし、この方程式系は厳密に解くことも可能で、以下の一般化式が得られます。
[ A ] = [ A ] 0 1 k 1 + k − 1 ( k − 1 + k 1 e − ( k 1 + k − 1 ) t ) + [ P ] 0 k − 1 k 1 + k − 1 ( 1 − e − ( k 1 + k − 1 ) t ) [ P ] = [ A ] 0 k 1 k 1 + k − 1 ( 1 − e − ( k 1 + k − 1 ) t ) + [ P ] 0 1 k 1 + k − 1 ( k 1 + k − 1 e − ( k 1 + k − 1 ) t ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\ce {A}}\right]={\ce {[A]0}}{\frac {1}{k_{1}+k_{-1}}}\left(k_{-1}+k_{1}e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)+{\ce {[P]0}}{\frac {k_{-1}}{k_{1}+k_{-1}}}\left(1-e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)\\[8pt]&\left[{\ce {P}}\right]={\ce {[A]0}}{\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{-1}}}\left(1-e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)+{\ce {[P]0}}{\frac {1}{k_{1}+k_{-1}}}\left(k_{1}+k_{-1}e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)\end{aligned}}} 平衡定数が 1 に近く、反応速度が非常に速い場合 (たとえば分子の 配座解析) 、速度定数の決定には、 NMR 分光法 での完全な線形解析など、他の方法が必要になります。
連続的な反応 次の反応の速度定数が および の場合 、 速度式は次のようになります 。 k 1 {\displaystyle k_{1}} k 2 {\displaystyle k_{2}} A ⟶ B ⟶ C {\displaystyle {\ce {A -> B -> C}}}
反応物Aの場合: d [ A ] d t = − k 1 [ A ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=-k_{1}[{\ce {A}}]} 反応物Bの場合: d [ B ] d t = k 1 [ A ] − k 2 [ B ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]-k_{2}[{\ce {B}}]} 製品Cの場合: d [ C ] d t = k 2 [ B ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {B}}]} 個々の濃度を反応物の総数でスケール化し確率とすることで、このような微分方程式の線形連立方程式を マスター方程式 として定式化することができる。微分方程式は解析的に解くことができ、積分された反応速度式は
[ A ] = [ A ] 0 e − k 1 t {\displaystyle [{\ce {A}}]={\ce {[A]0}}e^{-k_{1}t}} [ B ] = { [ A ] 0 k 1 k 2 − k 1 ( e − k 1 t − e − k 2 t ) + [ B ] 0 e − k 2 t k 1 ≠ k 2 [ A ] 0 k 1 t e − k 1 t + [ B ] 0 e − k 1 t otherwise {\displaystyle \left[{\ce {B}}\right]={\begin{cases}{\ce {[A]0}}{\frac {k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}\left(e^{-k_{1}t}-e^{-k_{2}t}\right)+{\ce {[B]0}}e^{-k_{2}t}&k_{1}\neq k_{2}\\{\ce {[A]0}}k_{1}te^{-k_{1}t}+{\ce {[B]0}}e^{-k_{1}t}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}} [ C ] = { [ A ] 0 ( 1 + k 1 e − k 2 t − k 2 e − k 1 t k 2 − k 1 ) + [ B ] 0 ( 1 − e − k 2 t ) + [ C ] 0 k 1 ≠ k 2 [ A ] 0 ( 1 − e − k 1 t − k 1 t e − k 1 t ) + [ B ] 0 ( 1 − e − k 1 t ) + [ C ] 0 otherwise {\displaystyle \left[{\ce {C}}\right]={\begin{cases}{\ce {[A]0}}\left(1+{\frac {k_{1}e^{-k_{2}t}-k_{2}e^{-k_{1}t}}{k_{2}-k_{1}}}\right)+{\ce {[B]0}}\left(1-e^{-k_{2}t}\right)+{\ce {[C]0}}&k_{1}\neq k_{2}\\{\ce {[A]0}}\left(1-e^{-k_{1}t}-k_{1}te^{-k_{1}t}\right)+{\ce {[B]0}}\left(1-e^{-k_{1}t}\right)+{\ce {[C]0}}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}} 定常 状態 近似により、より簡単な方法で非常に類似した結果が得られます。
並行反応または競合反応 異なる速度定数を持つ 2 つの一次競合反応の時間経過。 物質が同時に反応して 2 つの異なる生成物を生成する場合、並行反応または競合反応が起こると言われます。
2つの一次反応 A ⟶ B {\displaystyle {\ce {A -> B}}} および （定数 および および速度方程式 ）； および A ⟶ C {\displaystyle {\ce {A -> C}}} k 1 {\displaystyle k_{1}} k 2 {\displaystyle k_{2}} − d [ A ] d t = ( k 1 + k 2 ) [ A ] {\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=(k_{1}+k_{2})[{\ce {A}}]} d [ B ] d t = k 1 [ A ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]} d [ C ] d t = k 2 [ A ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {A}}]}
積分された速度方程式は 、および と
なります 。 [ A ] = [ A ] 0 e − ( k 1 + k 2 ) t {\displaystyle [{\ce {A}}]={\ce {[A]0}}e^{-(k_{1}+k_{2})t}} [ B ] = k 1 k 1 + k 2 [ A ] 0 ( 1 − e − ( k 1 + k 2 ) t ) {\displaystyle [{\ce {B}}]={\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}{\ce {[A]0}}\left(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t}\right)} [ C ] = k 2 k 1 + k 2 [ A ] 0 ( 1 − e − ( k 1 + k 2 ) t ) {\displaystyle [{\ce {C}}]={\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}{\ce {[A]0}}\left(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t}\right)}
この場合の重要な関係は [ B ] [ C ] = k 1 k 2 {\displaystyle {\frac {{\ce {[B]}}}{{\ce {[C]}}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}
1つの一次反応と1つの二次反応 これは、二分子反応を研究する際に、同時に加水分解（擬似一次反応として扱うことができる）が起こっている場合に当てはまる。加水分解は、一部の反応物が並行反応で「消費」されるため、反応速度論の研究を複雑にする。例えば、AはRと反応して生成物Cを与えるが、同時に加水分解反応によってAの一部が失われ、副産物Bが生成される： および 。反応速度式は： およびであり 、ここで は擬一次反応定数である。 [33] A + H 2 O ⟶ B {\displaystyle {\ce {A + H2O -> B}}} A + R ⟶ C {\displaystyle {\ce {A + R -> C}}} d [ B ] d t = k 1 [ A ] [ H 2 O ] = k 1 ′ [ A ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}{\ce {[A][H2O]}}=k_{1}'[{\ce {A}}]} d [ C ] d t = k 2 [ A ] [ R ] {\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}{\ce {[A][R]}}} k 1 ′ {\displaystyle k_{1}'}
主生成物[C]の積分反応速度式は であり 、これは と等価である 。Bの濃度はCの濃度と以下の関係にある。 [ C ] = [ R ] 0 [ 1 − e − k 2 k 1 ′ [ A ] 0 ( 1 − e − k 1 ′ t ) ] {\displaystyle {\ce {[C]=[R]0}}\left[1-e^{-{\frac {k_{2}}{k_{1}'}}{\ce {[A]0}}\left(1-e^{-k_{1}'t}\right)}\right]} ln [ R ] 0 [ R ] 0 − [ C ] = k 2 [ A ] 0 k 1 ′ ( 1 − e − k 1 ′ t ) {\displaystyle \ln {\frac {{\ce {[R]0}}}{{\ce {[R]0-[C]}}}}={\frac {k_{2}{\ce {[A]0}}}{k_{1}'}}\left(1-e^{-k_{1}'t}\right)} [ B ] = − k 1 ′ k 2 ln ( 1 − [ C ] [ R ] 0 ) {\displaystyle [{\ce {B}}]=-{\frac {k_{1}'}{k_{2}}}\ln \left(1-{\frac {\ce {[C]}}{\ce {[R]0}}}\right)}
積分方程式は解析的に得られたが、その過程では と仮定されていた。したがって、前述の[C]の式は、[A] 0 と比較して[C]の濃度が低い場合にのみ使用できる。 [ A ] 0 − [ C ] ≈ [ A ] 0 {\displaystyle {\ce {[A]0}}-{\ce {[C]}}\approx {\ce {[A]0}}}
化学量論的反応ネットワーク 化学反応ネットワーク の最も一般的な記述は、反応を介して反応する 多数 の異なる化学種を考慮する 。 [34] [35] 第反応の化学式は 、一般的な形式で書くことができる。 N {\displaystyle N} R {\displaystyle R} j {\displaystyle j}
r 1 j X 1 + r 2 j X 2 + ⋯ + r N j X N → k j p 1 j X 1 + p 2 j X 2 + ⋯ + p N j X N , {\displaystyle r_{1j}{\ce {X}}_{1}+r_{2j}{\ce {X}}_{2}+\cdots +r_{Nj}{\ce {X}}_{N}{\ce {->[k_{j}]}}\ p_{1j}{\ce {X}}_{1}+\ p_{2j}{\ce {X}}_{2}+\cdots +p_{Nj}{\ce {X}}_{N},} これは、多くの場合、同等の形式で書かれる。
∑ i = 1 N r i j X i → k j ∑ i = 1 N p i j X i . {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}r_{ij}{\ce {X}}_{i}{\ce {->[k_{j}]}}\sum _{i=1}^{N}\ p_{ij}{\ce {X}}_{i}.} ここ
j {\displaystyle j} は1から までの反応指数であり 、 R {\displaystyle R} X i {\displaystyle {\ce {X}}_{i}} は -番目の化学種 を表し、 i {\displaystyle i} k j {\displaystyle k_{j}} は-番目の反応 の 速度定数 であり、 j {\displaystyle j} r i j {\displaystyle r_{ij}} およびは、 それぞれ反応物と生成物の化学量論係数です。 p i j {\displaystyle p_{ij}} このような反応の速度は 質量作用の法則によって推測できる。
f j ( [ X ] ) = k j ∏ z = 1 N [ X z ] r z j {\displaystyle f_{j}([\mathbf {X} ])=k_{j}\prod _{z=1}^{N}[{\ce {X}}_{z}]^{r_{zj}}} これは単位時間と単位体積あたりの分子の流束を表します。ここに 濃度のベクトルがあります。この定義には 素反応 が含まれます。 ( [ X ] ) = ( [ X 1 ] , [ X 2 ] , … , [ X N ] ) {\displaystyle {\ce {([\mathbf {X} ])=([X1],[X2],\ldots ,[X_{\mathit {N}}])}}}
ゼロ次反応 全ての 場合 、 r z j = 0 {\displaystyle r_{zj}=0} z {\displaystyle z} 一次反応 単一の の 場合 、 r z j = 1 {\displaystyle r_{zj}=1} z {\displaystyle z} 二次反応 ちょうど 2 つの の場合 、つまり二分子反応、または 1 つの の場合 、つまり二量化反応です。 r z j = 1 {\displaystyle r_{zj}=1} z {\displaystyle z} r z j = 2 {\displaystyle r_{zj}=2} z {\displaystyle z} これらについては以下で詳しく説明する。 化学量論マトリックスを定義すると、
N i j = p i j − r i j , {\displaystyle N_{ij}=p_{ij}-r_{ij},} 反応における 分子の正味の広がりを表す 。反応速度式は一般的な形で表すことができる。 i {\displaystyle i} j {\displaystyle j}
d [ X i ] d t = ∑ j = 1 R N i j f j ( [ X ] ) . {\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=\sum _{j=1}^{R}N_{ij}f_{j}([\mathbf {X} ]).} これは、化学量論行列と反応速度関数のベクトルの積である。 可逆反応のみからなる系では、特定の単純解が平衡状態（ ）に存在する。この場合、順方向反応と逆方向反応の速度は等しく、これは 詳細平衡 と呼ばれる原理である。詳細平衡は化学量論行列のみの特性であり 、反応速度関数の特定の形式には依存しない 。詳細平衡が破られるその他のケースは、 代謝経路 を理解するために開発された フラックス平衡解析 によって一般的に研究されている。 [36] [37] d [ X i ] d t = 0 {\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=0} N i j {\displaystyle N_{ij}} f j {\displaystyle f_{j}}
単分子変換の一般動力学 異なる種 の相互変換を伴う一般的な単分子反応において、その濃度が時間 から まで で表され 、種の時間発展に関する解析的な形が求められる。種から 種への変換の速度定数 を と表し、 を要素とする 速度定数行列を構築する 。 N {\displaystyle N} t {\displaystyle t} X 1 ( t ) {\displaystyle X_{1}(t)} X N ( t ) {\displaystyle X_{N}(t)} X i {\displaystyle X_{i}} X j {\displaystyle X_{j}} k i j {\displaystyle k_{ij}} K {\displaystyle K} k i j {\displaystyle k_{ij}}
また、 を 時間の関数としての濃度のベクトルとします。 X ( t ) = ( X 1 ( t ) , X 2 ( t ) , … , X N ( t ) ) T {\displaystyle X(t)=(X_{1}(t),X_{2}(t),\ldots ,X_{N}(t))^{T}}
を 1 のベクトルとします 。 J = ( 1 , 1 , 1 , … , 1 ) T {\displaystyle J=(1,1,1,\ldots ,1)^{T}}
を単位行列と します 。 I {\displaystyle I} N × N {\displaystyle N\times N}
をベクトルを受け取り、そのベクトルの対角要素と同じ対角行列を構築する関数とします 。 diag {\displaystyle \operatorname {diag} }
をから へ の逆ラプラス変換とし ます 。 L − 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}} s {\displaystyle s} t {\displaystyle t}
そして、時間発展した状態は 次のように表される。 X ( t ) {\displaystyle X(t)}
X ( t ) = L − 1 [ ( s I + diag ( K J ) − K T ) − 1 X ( 0 ) ] , {\displaystyle X(t)={\mathcal {L}}^{-1}[(sI+\operatorname {diag} (KJ)-K^{T})^{-1}X(0)],} これにより、システムの初期条件と時刻における状態の関係が提供されます 。 t {\displaystyle t}
参照
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引用書籍
外部リンク 化学反応速度論、反応速度、および反応順序（Flash Player が必要） 反応速度論、重要な速度法則の例（音声付き講義）。 反応速度
![{\displaystyle v_{0}\;=\;k[\mathrm {A} ]^{x}[\mathrm {B} ]^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0762360082ad1693fa36fa98c82deab6a72004a)
![{\displaystyle [\mathrm {A} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba12364ea89576c100fa535be4f06beaebc1c4b)
![{\displaystyle [\mathrm {B} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474e97de049c58c8b606696e58cb04a9f806da29)
![{\displaystyle v\;=\;k[{\mathrm {A} }]^{x}[{\mathrm {B} }]^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd7a471d2c6b2c7cf00bf532f2ae5f8987f8657)
![{\displaystyle -{\frac {d[\mathrm {A} ]}{dt}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {d[\mathrm {B} ]}{dt}}={\frac {1}{3}}{\frac {d[\mathrm {C} ]}{dt}}。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7ab4335384a8b42d4eb22635f09b6ce2fc1e78)
![{\displaystyle v={\frac {1}{\nu _{i}}}{\frac {d[\mathrm {X} _{i}]}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea228d3374efd357bf05b5de4163c8b1a47970e8)
![{\displaystyle v_{0}=f\left([\mathrm {A} ],[\mathrm {B} ],\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da1c62967b03e4ecb41f15ba0f766acf6935bf1)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}]^{x}[{\ce {B}}]^{y}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f5036fbee7ae0524bc05dfbde11a5edecc752d)
![{\displaystyle -{d \over dt}[{\text{反応物}}]=k\prod _{i}[{\text{反応物}}_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe460cc7cfad705ef4e7661f987011bd5bda1a3)
![{\textstyle -{d \over dt}[{\text{反応物}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64dee387ec28997405c2f2c06937753b0909669)
![{\textstyle \prod _{i}[{\text{反応物}}_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395c02bdb1531daf49438bc3772dbd6c70d26d53)
![{\displaystyle \ln v_{0}=\ln k+x\ln[{\ce {A}}]+y\ln[{\ce {B}}]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936423ce7dae2600b48a3e39b6af680b03b33b0c)
![{\displaystyle [{\rm {B],[{\rm {C],\dots }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13aa682efd2d727d056664ab8e2a5a5cd06618e9)
![{\displaystyle \ln v_{0}=x\ln[{\ce {A}}]+{\textrm {定数}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362ce9e21412c332bd36c0b1c32c61c4a6f132d9)
![{\displaystyle \ln[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a4300d2f50163eebda325d43deeeaaa4531a15)
![{\displaystyle \ln {[{\ce {A}}]}=-kt+\ln {[{\ce {A}}]_{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2d67f733c840fb62603b4a72a564dbce3a0c15)
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![{\displaystyle [{\rm {A]_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b60aba64e49e430e6847c972809217980228f06)
![{\displaystyle \ln {[{\ce {A}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7dcef6e387bdeae2628a6d0404a483f7b0c9033)
![{\displaystyle v_{0}=k\cdot [{\rm {A}}]^{x}\cdot [{\rm {B}}]^{y},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a04eaa260be40ad0d7a26d8e1549ae6f0b8b88)
![{\displaystyle v_{0}=k'\cdot [{\rm {A}}]^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40575b055c31938d04c0d8415c5c1ac837d343f)
![{\displaystyle k'=k\cdot [{\rm {B}}]^{y},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c467869f67ce13f4db3e5e9f0146bb1cb96f73b9)
![{\displaystyle [{\rm {B]_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387e005ca5eb51ab686690ed6a3ef3eef228f4b3)
![{\displaystyle -{d[A] \over dt}=k[A]^{0}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471ea54f9fae44679d1294b067634c969d3b86a9)
![{\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=k[{\ce {A}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7785d62f81535b155883b6662c78c18637db73)
![{\displaystyle {2\,\mathrm {N} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{5}}{}\mathrel {\longrightarrow } {}4\,\mathrm {NO} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}{}+{}\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9314adfb218b8a0071c6e65cf5ae0aa2a147d414)
![{\displaystyle {[\mathrm {CoCl} (\mathrm {NH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}){\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{5}}]{\vphantom {A}}^{2+}{}+{}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} {}\mathrel {\longrightarrow } {}[\mathrm {Co} (\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} )(\mathrm {NH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}){\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{5}}]{\vphantom {A}}^{3+}{}+{}\mathrm {Cl} {\vファントム {A}}^{-}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2493a5d0c36d527c7ddcd5c8867aae0ff5dc01)
![{\displaystyle {\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}{}\mathrel {\longrightarrow } {}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} {}+{}{\mathchoice {\textstyle {\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bdd6b540794e1839bf5647c6db4097f84e1bde)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\mathrm {ArN} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}{\vphantom {A}}^{+}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31345a634bc30803dc4282945995f6380b5eb57)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ec098a03148c709861ce7aaa3991fb858ee912)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}][{\ce {B}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1d646a84133df46ef9e6bc938ac57cd7bd80e1)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\mathrm {NO} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}}]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207c00607e954cc615e7910ba761726575cd6289)
![{\displaystyle {\frac {1}{[\mathrm {A} ]}}={\frac {1}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}+kt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc35f39f5c1da3a2981359e7627f5bf3275b467)
![{\displaystyle {\frac {[\mathrm {A} ]}{[\mathrm {B} ]}}={\frac {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}{[\mathrm {B} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}e^{\left({[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}-{[\mathrm {B} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}\right)kt};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3929803fc5b572a71c5c1a1f10ebe15b16cf064)
![{\displaystyle {\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {COOC} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{5}}{}+{}\mathrm {OH} {\vphantom {A}}^{-}{}\mathrel {\longrightarrow } {}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {COO} {\vphantom {A}}^{-}{}+{}\mathrm {C} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{5}}\mathrm {OH} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d3291356c97284a43040f6b6b3196f09ffd15a)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {COOC} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{5}}}][{\mathrm {OH} {\vphantom {A}}^{-}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f3ae610e7d5da1ada0191e0a70a7eb370acde2)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\text{イミダゾール}}][{\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {COOC} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{5}}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6dc0db7bb4d21f15740c7fbb5920e8fda3889b)
![{\displaystyle {\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {Br} {}+{}\mathrm {NaI} {}\mathrel {\longrightarrow } {}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {I} {}+{}\mathrm {NaBr} {\mskip {2mu}}(\mathrm {v} )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd8ca88d3886903ff48014314e14cd5a364b295)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\ce {A}}][{\ce {B}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2fe1617a5e3a93b8bbf5b0756ffefcd9dc28f4)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\mathrm {A} }][{\mathrm {B} }]=k'[{\mathrm {A} }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c0be6e042cc175260fbabff18a70782998d58f)
![{\displaystyle k'=k[{\ce {B}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca0bd2f22e5152c93668a42aa2482f5ba874044)
![{\displaystyle {\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {COOCH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}{}+{}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} {}\mathrel {\longrightarrow } {}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {COOH} {}+{}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {OH} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab5593899b2695bb76324eaf9592815876d70d1)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\mathrm {C} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{12}}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{22}}\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{11}}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88db83cb7651a3287a903ac87536255a8f00ec7d)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\mathrm {C} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{12}}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{22}}\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{11}}}][{\mathrm {H} {\vphantom {A}}^{+}}][{\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} }];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4e8c000c14b6227afc7e7c975391d3cde7e584)
![{\displaystyle -{d[{\ce {A}}]}/{dt}=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0bbeea17cc80e39fb00450c1ea86631cbe0cfd)
![{\displaystyle -{d[{\ce {A}}]}/{dt}=k[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f96ec3225358636e6401453fece14afa5283b7e)
![{\displaystyle -{d[{\ce {A}}]}/{dt}=k[{\ce {A}}]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4c186bb0e3fc1fce4a7d9c8021bc8e49948507)
![{\displaystyle -{d[{\ce {A}}]}/{dt}=k[{\ce {A}}]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21385ff7a769c369af7dcf9f990ae8130eea98cb)
![{\displaystyle {[\mathrm {A} ]{}={}[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}-kt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee628dae90349b5938ea4b7b0638159bb3df8d8)
![{\displaystyle {[\mathrm {A} ]{}={}[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}e^{-kt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b216310f1c50dec1c5c60b887635a9e2bb87b21e)
![{\displaystyle {\frac {1}{[\mathrm {A} ]}}={\frac {1}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}+kt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577fdc157e8a32cd138f2f7a020a328e6561908e)
![{\displaystyle [{\ce {A}}]^{g}={{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}^{g}}-gkt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e50d01d5c9fe65a8021aa812fbcb5e0508bc97c)
![{\displaystyle {\ln([\mathrm {A} ])}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8378871d4c6cf8ce28a1a4c9aff69e59ba35fc8)
![{\displaystyle {\frac {1}{[\mathrm {A} ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104bf3c6ecace101c498f948eaf16bf55240619f)
![{\displaystyle {{\rm {\text{[A]}}}{\vphantom {A}}^{g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eddebdb84e5927c079295ab74b2f21216a1b522f)
![{\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}{2k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039f23e90f62bb6d112b1523e7dff9d7969863a0)
![{\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{k{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25f9b5e7675b3e3f9027241a74ec2d751810c43)
![{\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}^{g}(1-2^{-g})}{gk}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b39ae4e9f2af3ec33f9b6dd699fab9d88dc346)
![{\displaystyle v_{0}=k[{\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CHO} }]^{3/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e06de5f10f593f434ec230d9866aae1c07d2db)
![{\displaystyle v_{0}=k{[\mathrm {COCl} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}]~[\mathrm {Cl} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}]}^{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89dccea99e65793f9bae7402feef1481c7dd6b2c)
![{\displaystyle {\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CHO} {}\mathrel {\longrightarrow } {}\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}{}+{}\,{\cdot }\,\mathrm {CHO} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ca6ef80321dcb3d0610084a759d3e98d3bce33)
![{\displaystyle {\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}{}+{}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CHO} {}\mathrel {\longrightarrow } {}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CO} \,{\cdot }\,{}+{}\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ab12587267d9410e785aebc0c3eb35b2d67da9)
![{\displaystyle {\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CO} \,{\cdot }\,{}\mathrel {\longrightarrow } {}\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}{}+{}\mathrm {CO} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f0b9f427aed08473bb829f708458a2d75141cd)
![{\displaystyle {2\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}{}\mathrel {\longrightarrow } {}\mathrm {C} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{6}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a259fae7bcb271c2a7fceddef5abc82d8a4d82)
![{\displaystyle {\frac {d[{\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}}]}{dt}}=k_{i}[{\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CHO} }]-k_{t}[{\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}}]^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da5841bfe73d0dee54fea810ec768a76fc4b283)
![{\displaystyle {[\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}]~\quad \propto \quad [\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CHO} ]{\vphantom {A}}^{1/2}\,{\cdot }\,}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f063268e034796003bb7ef150ba3c18b8403b7)
![{\displaystyle v_{0}={\frac {d[{\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{4}}}]}{dt}}|_{0}=k_{p}{[\,{\cdot }\,\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}][\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CHO} ]}\quad \propto \quad {[\mathrm {CH} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}\mathrm {CHO} ]{\vファントム {A}}^{3/2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15732a37687f161125dd08e529b16b2fc33a2460)
![{\displaystyle v_{0}=k_{1}[A]+k_{2}[A]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72738096215f782ef9094a2979f6eb81f90932d1)
![{\displaystyle v_{0}={\frac {[\mathrm {Fe} (\mathrm {CN} ){\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{6}}]{\vphantom {A}}^{2-}}{k_{\alpha }+k_{\beta }{[\mathrm {Fe} (\mathrm {CN} ){\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{6}}]{\vphantom {A}}^{2-}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283bbd2386fbb3b62ea8b5b527385b7514406748)
![{\displaystyle v_{0}=k{[\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}]{\vphantom {A}}^{2}}{[\mathrm {O} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}]{\vphantom {A}}^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b3fecc008801fdebec3360068bd40e978d4aed)
![{\displaystyle v=k_{1}[{\ce {A}}]^{a}[{\ce {B}}]^{b}-k_{-1}[{\ce {P}}]^{p}[{\ce {Q}}]^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4562d328006ea0c9fe797851b8a6cf9d43c70eb4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&k_{1}[{\ce {A}}]^{a}[{\ce {B}}]^{b}=k_{-1}[{\ce {P}}]^{p}[{\ce {Q}}]^{q}\\[8pt]&K={\frac {[{\ce {P}}]^{p}[{\ce {Q}}]^{q}}{[{\ce {A}}]^{a}[{\ce {B}}]^{b}}}={\frac {k_{1}}{k_{-1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385e7807b19e34af76006fbef277c3238f1be146)
![{\displaystyle {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa15c54eb19b7614976e3c93ec32ad3a1682698f)
![{\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {k_{1}}{k_{-1}}}={\frac {\left[{\ce {P}}\right]_{e}}{\left[{\ce {A}}\right]_{e}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a73c849bb07d407156fad7c0f80082718da06ed)
![{\displaystyle [{\ce {A}}]_{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b862e2a4a3fafa60c497c86d0fbb454ad39ee61)
![{\displaystyle [{\ce {P}}]_{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7342dbc7f24d2546abcdd9555340eeacbb746f)
![{\displaystyle [{\ce {A}}]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a582a6e92c3ab84b326762cd6d13aed64647846d)
![{\displaystyle [{\ce {P}}]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e9bcaddd2111bf86d2844f46f1d492b2aa5495)
![{\displaystyle {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {t}}}{}={}[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}{}-{}[\mathrm {P} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {t}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2120164c2a0cd7ea763f4c0e50af8142460f6386)
![{\displaystyle {[\mathrm {P} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dba31a80c5f41942f2aed213c1fe398640b822)
![{\displaystyle {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {e}}}{}={}[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}{}-{}[\mathrm {P} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {e}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd35952a6699066d0b2f9076dc30ef915fae1ae)
![{\displaystyle [{\ce {P}}]_{e}={\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{-1}}}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af521cddc30d9e19fc92bd702a0fd575087ff16)
![{\displaystyle \ [{\ce {A}}]_{e}={[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}-[{\ce {P}}]_{e}={\frac {k_{-1}}{k_{1}+k_{-1}}}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32cbf35316e5c124c60e719f7eddb83cb16362f7)
![{\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]_{t}-k_{-1}[{\ce {P}}]_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad66f538c1f362e0aa982966486e75f505cff6e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&={k_{1}[{\ce {A}}]_{t}}-{k_{-1}[{\ce {P}}]_{t}}\\[8pt]-{\frac {dx}{dt}}&={k_{1}x}-{k_{-1}[{\ce {P}}]_{t}}\\[8pt]&={k_{1}x}-{k_{-1}({\ce {[A]0}}-x)}\\[8pt]&={(k_{1}+k_{-1})x}-{k_{-1}{\ce {[A]0}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e44d174f6eec0e9f67f33e10ab1b77202a840f4)
![{\displaystyle k_{1}+k_{-1}=k_{-1}{\frac {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}{x_{e}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01409daee1fa974781aa72ac7011afc192f7ba24)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {k_{-1}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}{x_{e}}}(x_{e}-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d1b4d967f1210957eb220d3feda91fedc7a6a5)
![{\displaystyle \ln \left({\frac {{\ce {[A]0}}-[{\ce {A}}]_{e}}{[{\ce {A}}]_{t}-[{\ce {A}}]_{e}}}\right)=(k_{1}+k_{-1})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cf35588ca0e4c492d14bdd39a41e35c672ad20)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\ce {A}}\right]={\ce {[A]0}}{\frac {1}{k_{1}+k_{-1}}}\left(k_{-1}+k_{1}e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)+{\ce {[P]0}}{\frac {k_{-1}}{k_{1}+k_{-1}}}\left(1-e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)\\[8pt]&\left[{\ce {P}}\right]={\ce {[A]0}}{\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{-1}}}\left(1-e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)+{\ce {[P]0}}{\frac {1}{k_{1}+k_{-1}}}\left(k_{1}+k_{-1}e^{-\left(k_{1}+k_{-1}\right)t}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41e1f0926aebace15c2dccd03050e348ece1f7b)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=-k_{1}[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8a20f789248c22d7bc6dda260171a9bf1f930e)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]-k_{2}[{\ce {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5839f1ac807d0c6d8d517f8cdcf7a310153eeadb)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d37416fcf3bd237c8e013e8d6318339556b948b)
![{\displaystyle [{\ce {A}}]={[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}e^{-k_{1}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09aceacc1f7d3a5dcc543cd5d24b333c02727a9)
![{\displaystyle \left[{\ce {B}}\right]={\begin{cases}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}{\frac {k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}\left(e^{-k_{1}t}-e^{-k_{2}t}\right)+{[\mathrm {B} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}e^{-k_{2}t}&k_{1}\neq k_{2}\\{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}k_{1}te^{-k_{1}t}+{[\mathrm {B} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}e^{-k_{1}t}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89b95e841018e834ec6846570167585003bce4d)
![{\displaystyle \left[{\ce {C}}\right]={\begin{cases}{\ce {[A]0}}\left(1+{\frac {k_{1}e^{-k_{2}t}-k_{2}e^{-k_{1}t}}{k_{2}-k_{1}}}\right)+{\ce {[B]0}}\left(1-e^{-k_{2}t}\right)+{\ce {[C]0}}&k_{1}\neq k_{2}\\{\ce {[A]0}}\left(1-e^{-k_{1}t}-k_{1}te^{-k_{1}t}\right)+{\ce {[B]0}}\left(1-e^{-k_{1}t}\right)+{\ce {[C]0}}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723b5e07dd50bd74f7e1428c62d37b5d45c70b16)
![{\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=(k_{1}+k_{2})[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ba353a2dbdb81de9001d88dc304e30b7663985)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe406bb72ef20bf8284c184c9f5036672195b3b5)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b299b2242d9caff08c3d2f50d77a7898d9a3ccbb)
![{\displaystyle [{\ce {A}}]={[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}e^{-(k_{1}+k_{2})t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd5d07fe5a92c97129aa4f3e5372fdda8ec5a05)
![{\displaystyle [{\ce {B}}]={\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}\left(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe792e3b96de3b7d9e3d4dd4d6074b64cef36d3d)
![{\displaystyle [{\ce {C}}]={\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}\left(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb5dccd094778cf71ed2f65bdad77e4f51c2887)
![{\displaystyle {\frac {[\mathrm {B} ]}{[\mathrm {C} ]}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456fc4b45044d3b638848253c55f4bf9da6f6bf2)
![{\displaystyle {\mathrm {A} {}+{}\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} {}\mathrel {\longrightarrow } {}\mathrm {B} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4bf550d50390cfe0e116f62a825617eb856d49)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}{[\mathrm {A} ][\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}\mathrm {O} ]}=k_{1}'[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10272bc300b4e2f62889a59e3d17d06ee9fe088)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}{[\mathrm {A} ][\mathrm {R} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7242ed16a8af29e2ac61a01794d2a0651fd22f)
![{\displaystyle {[\mathrm {C} ]{=}[\mathrm {R} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}\left[1-e^{-{\frac {k_{2}}{k_{1}'}}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}\left(1-e^{-k_{1}'t}\right)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2f6bd535c4f30dd958ff8d20c16d16106909e6)
![{\displaystyle \ln {\frac {[\mathrm {R} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}{[\mathrm {R} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}{-}[\mathrm {C} ]}}={\frac {k_{2}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}{k_{1}'}}\left(1-e^{-k_{1}'t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d87709d68c4454af68088ded67edeb49adaef8)
![{\displaystyle [{\ce {B}}]=-{\frac {k_{1}'}{k_{2}}}\ln \left(1-{\frac {[\mathrm {C} ]}{[\mathrm {R} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d9397a85beb1f0fe3b0cb52665ef3bee19e24f)
![{\displaystyle {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}-{[\mathrm {C} ]}\おおよそ {[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5f87c056c2c05175d3c23c06908abc71069261)
![{\displaystyle r_{1j}{\ce {X}}_{1}+r_{2j}{\ce {X}}_{2}+\cdots +r_{Nj}{\ce {X}}_{N}{{}\mathrel {\xrightarrow {\mathrm {k} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{j}}} } {}}\ p_{1j}{\ce {X}}_{1}+\ p_{2j}{\ce {X}}_{2}+\cdots +p_{Nj}{\ce {X}}_{N},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef58a382e21f9f5c5c309e6e3f33874f586a2ba3)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}r_{ij}{\ce {X}}_{i}{{}\mathrel {\xrightarrow {\mathrm {k} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{j}}} } {}}\sum _{i=1}^{N}\ p_{ij}{\ce {X}}_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e90ec7773f6c154d6e4cd35cdacdb14fa48fde5)
![{\displaystyle f_{j}([\mathbf {X} ])=k_{j}\prod _{z=1}^{N}[{\ce {X}}_{z}]^{r_{zj}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c636b867cb7ca0212fcecb5f88c47e59037c4e)
![{\displaystyle {([\mathbf {\mathrm {X} } ]){=}([\mathrm {X} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{1}}]{,}{\mkern {3mu}}[\mathrm {X} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}]{,}{\mkern {3mu}}\ldots {,}{\mkern {3mu}}[\mathrm {X} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {N}}}])}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d396f175c20c904a3ae205150c7e09b7f266fd2a)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=\sum _{j=1}^{R}N_{ij}f_{j}([\mathbf {X} ]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551f454cdaf53d43fc4fe2e06e6965dbccc231ca)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d296cf4c2577c9058061b5fb6883137cacf3221)
![{\displaystyle X(t)={\mathcal {L}}^{-1}[(sI+\operatorname {diag} (KJ)-K^{T})^{-1}X(0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15810efbf5ed87da5e04ca68af077e0679383d6)
