有理正規曲線

数学において、有理正規曲線（ゆうりんしょうかくせん）は、 n次元射影空間 $P$ $n$ における $n$ 次の滑らかな有理曲線 $Cである。これは$ 射影多様体の単純な例であり、正式には、定義域が射影直線であるときのヴェロネーゼ多様体である。n $= 2のときは、$ 平面円錐 $Z$ $0$ $Z$ $2$ $=$ $Z$ である $。$ $21 であり、$ $n = 3 の$ 場合にはねじれ立方曲線となる。「正規」という用語は射影正規性を指し、正規スキームを指すものではない。有理正規曲線とアフィン空間の交点はモーメント曲線と呼ばれる。

意味

有理正規曲線は、マップのイメージとしてパラメトリックに与えられる。

\nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{n}

これは同次座標 $[S : T]$ に値を割り当てる。

\nu :[S:T]\mapsto \left[S^{n}:S^{n-1}T:S^{n-2}T^{2}:\cdots :T^{n}\right].

図のアフィン座標 $x 0 \neq 0$ では、地図は単純に

\nu :x\mapsto \left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).

つまり、有理正規曲線は、アフィン曲線の無限遠点における一点による閉包である。

\left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).

同様に、有理正規曲線は、同次多項式の共通零点として定義される射影多様体であると理解することができる。

F_{i,j}\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)=X_{i}X_{j}-X_{i+1}X_{j-1}

ここで、は $P$ $n$ 上の同次座標です。これらの多項式をすべて揃える必要はありません。曲線を指定するには、これらの多項式を $n個$ 選択するだけで十分です。 $[X_{0}:\cdots :X_{n}]$

代替パラメータ化

$P 1上の$ $n$ $+ 1 個$ の異なる点を $P$ 1とする。このとき、多項式 $[a_{i}:b_{i}]$

G(S,T)=\prod _{i=0}^{n}\left(a_{i}S-b_{i}T\right)

$は、異なる根を持つn$ $+ 1$ 次の斉次多項式である。多項式

H_{i}(S,T)={\frac {G(S,T)}{(a_{i}S-b_{i}T)}}

は、次数 $n$ の斉次多項式空間の基底となる。写像

[S:T]\mapsto \left[H_{0}(S,T):H_{1}(S,T):\cdots :H_{n}(S,T)\right]

または、同等に、 $G (S, T)で割る$

[S:T]\mapsto \left[{\frac {1}{(a_{0}S-b_{0}T)}}:\cdots :{\frac {1}{(a_{n}S-b_{n}T)}}\right]

は有理正規曲線である。これが有理正規曲線であることは、単項式が

S^{n},S^{n-1}T,S^{n-2}T^{2},\cdots ,T^{n},

$は、 n$ 次同次多項式空間の可能な基底の一つに過ぎません。実際、どんな基底でも構いません。これは、任意の2つの射影多様体が射影線型群 $PGL$ $n$ $+ 1$ $($ $K$ $)$ （ $K$ は射影空間が定義されている体）を法として合同であるとき、それらは射影的に同値であるという主張の単なる応用です。

$この有理曲線は、 G$ の零点を $P n$ の各座標点に送ります。つまり、 $G$ の零点に対して、 $H i$ $のうち1つを除いてすべてが消滅します。逆に、 n$ $+ 1 個の$ 座標点を通る任意の有理正規曲線は、このように媒介変数を用いて表すことができます。

プロパティ

有理正規曲線には、次のような優れた特性があります。

$C$ 上の任意の $n + 1$ 点は線型独立であり、 $P$ $n$ を張る。この性質により、有理正規曲線は他のすべての曲線と区別される。
$P$ $n$ $上のn + 3$ 点が線形一般位置（つまり、 $n$ $+ 1 点が$ 超平面上にない）にあるとき、それらを通る有理正規曲線が唯一つ存在する。この曲線は、パラメトリック表現を用いて明示的に指定することができる。具体的には、 $n$ $+ 1$ 点を座標軸上に配置して、残りの2点を $[$ $S$ $:$ $T$ $] = [0 : 1]$ および $[$ $S$ $:$ $T$ $] = [1 : 0]$ に写像する。
有理正規曲線の接線と割線は、曲線自体の点を除いて、互いに素である。これは、任意の射影多様体の十分に正な埋め込みに共通する性質である。
がある

{\binom {n+2}{2}}-2n-1

曲線のイデアルを生成する独立した二次曲線。

曲線は $n$ $> 2$ の場合、完全な交差ではない。つまり、における曲線の余次元である $n$ $- 1 個の$ 方程式のみで（射影空間の部分スキームとして）定義することはできない。 $\mathbf {P} ^{n}$
超楕円曲線の標準写像は有理正規曲線の像を持ち、2 対 1 です。
$次数$ $n$ のあらゆる既約非退化曲線 $C\subsetPn は$ 有理正規曲線である $。$

参照

合理的な通常のスクロール

参考文献

ジョー・ハリス『代数幾何学入門』（1992年）Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 0-387-97716-3