有理関数

数学において、有理関数とは有理分数で定義できる関数のことです。有理分数とは、分子と分母の両方が多項式となる代数的分数です。多項式の係数は有理数である必要はなく、任意の体 $K$ でとることができます。この場合、有理関数と $K$ 上の有理分数について語ります。変数の値は、 $K$ を含む任意の体 $L$ でとることができます。この場合、関数の定義域は、分母が 0 でない変数の値の集合であり、余定義域は $L$ です。

体 $K$ 上の有理関数の集合は体であり、 $K$ 上の多項式関数の環の分数の体です。

定義

関数が有理関数と呼ばれるのは、次の形式で記述できる場合である^[1] $f$

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}

ここで、とはの多項式関数であり、は零関数ではありません。の定義域は、分母が零でないのすべての値の集合です。 $P$ $Q$ $x$ $Q$ $f$ $x$ $Q(x)$

しかし、とが非定数多項式最大公約数を持つ場合、とを設定すると有理関数 $\textstyle P$ $\textstyle Q$ $\textstyle R$ $\textstyle P=P_{1}R$ $\textstyle Q=Q_{1}R$

f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},

これはよりも大きな定義域を持つ場合があり、の定義域上でに等しい。とを同一視することは一般的な用法であり、これはの定義域をの定義域に「連続性によって」拡張することを意味する。実際、有理分数は多項式の分数の同値類として定義することができ、この場合、2つの分数とはのとき同値であると考えられる。この場合、はと等価である。 $f$ $f$ $f.$ $f$ $f_{1}$ $f$ $f_{1}.$ $\textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}$ $\textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}$ $A(x)D(x)=B(x)C(x)$ $\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}$ $\textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.$

真有理関数とは、の次数がの次数より小さく、両方とも実多項式である有理関数であり、 ^[2]の真分数に類似して名付けられている。 $P(x)$ $Q(x)$ $\mathbb {Q} .$

複素有理関数

複素解析では、有理関数

f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}

は複素係数を持つ 2 つの多項式の比です。Q $は$ 零多項式ではなく、 $P$ と $Q に$ は共通因数がありません (これにより $f が$ 不定値 0/0 を取ることが回避されます)。

$f$ の定義域は、となる複素数全体の集合である。任意の有理関数は、定義域と値域がリーマン球面全体である関数、すなわち有理写像に自然に拡張できる。リーマン球面上の有理関数の反復は、離散力学系を形成する。^[3] $Q(z)\neq 0$

1次複素有理関数はメビウス変換です。

有理関数は有理型関数の代表的な例である。^[4]

有理写像のジュリア集合
${\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}$
${\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}$
${\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}$
${\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}$

程度

有理関数の次数には、同等ではない定義がいくつかあります。

最も一般的には、有理関数の次数は $、$ 分数を最小の項に簡約したとき、その構成多項式 $P$ と $Q$ の次数のうち最大のものとなる。fの次数がdの場合 $、$ 方程式は

f(z)=w\,

には、 $w$ の特定の値を除いて、 $zに$ $d$ つの異なる解があります。これらの値は臨界値と呼ばれ、 2 つ以上の解が一致するか、一部の解が無限大で拒否されます(つまり、分母をクリアした後、方程式の次数が減少します)。

有理関数のグラフの次数は、上で定義された次数ではありません。分子の次数と分母の次数に 1 を加えた値の最大値です。

漸近解析などのいくつかの文脈では、有理関数の次数は分子と分母の次数の差である。^[5]^：§13.6.1^[6]^：第4章

ネットワーク合成とネットワーク分析では、2次の有理関数（つまり、2次の多項式2つの比）は、しばしば双二次関数[^7]

例

有理関数の例

有理関数

f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}

定義されていない

x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.

これは漸近的に ${\tfrac {x}{2}}$ $x\to \infty .$

有理関数

f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}

はすべての実数に対して定義されますが、すべての複素数に対して定義されるわけではありません。これは、xがの平方根(つまり虚数単位またはその負の数) である場合、正式な評価ではゼロ除算が行われるためです。 $-1$

f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},

未定義です。

$f$ $($ $x$ $) = π$ のような定数関数は、定数が多項式であるため有理関数です。 $f$ $($ $x$ $)$ の値はすべての $x$ に対して無理数ですが、関数自体は有理関数です。

すべての多項式関数は有理関数です。この形式で書けない関数、例えばは有理関数ではありません。ただし、「無理数」という形容詞は、関数には通常使用されません。 $f(x)=P(x)$ $Q(x)=1.$ $f(x)=\sin(x),$

すべてのローラン多項式は有理関数として表すことができますが、その逆は必ずしも真ではありません。つまり、ローラン多項式環は有理関数の部分環です。

有理関数は、0を除くすべてのxに対して1に等しい。0には除去可能な特異点が存在する。2つの有理関数の和、積、または商（零多項式による除算を除く）は、それ自体が有理関数である。しかし、標準形への縮約処理によって、注意を払わないと、意図せずこのような特異点が除去されてしまう可能性がある。有理関数を同値類として定義することで、この問題を回避できる。なぜなら、x / xは1/1と等価だからである。 $f(x)={\tfrac {x}{x}}$

テイラー級数

任意の有理関数のテイラー級数の係数は線形回帰関係を満たします。この関係は、有理関数を不定係数のテイラー級数に等しくし、分母を消去した後に同類項をまとめることで得られます。

例えば、

{\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

分母を掛けて分配すると、

1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}

1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

和の添字をxの同じべき乗になるように調整すると、次のようになります。

1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

同類項を結合すると

1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.

これは元のテイラー級数の収束半径内のすべてのxに対して成り立つので、以下のように計算できる。左辺の定数項は右辺の定数項と等しくなければならないので、

a_{0}={\frac {1}{2}}.

すると、左辺にxのべき乗はないので、右辺の係数はすべて0になるはずで、そこから次の式が導かれる。

a_{1}={\frac {1}{4}}

a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.

逆に、線形回帰を満たす任意の数列は、テイラー級数の係数として用いると有理関数を決定します。これは、このような回帰を解く際に有用です。なぜなら、部分分数分解を用いることで、任意の真有理関数を1 / ( ax + b )の形の因数の和として表し、これを等比級数として展開することで、テイラー係数の明示的な式を与えることができるからです。これが関数生成法です。

抽象代数

抽象代数学では、多項式の概念は、多項式の係数を任意の体から取ることができる形式表現を含むように拡張されます。この設定では、体Fと何らかの不定値Xが与えられた場合、有理式(有理分数、または代数幾何学では有理関数とも呼ばれる) は、多項式環F [ X ]の分数体の任意の元です。任意の有理式は、 Q ≠ 0である 2 つの多項式P / Qの商として表すことができますが、この表現は一意ではありません。 PS = QR のとき、多項式P、Q、R、およびSに対して、 P / QはR / Sと等価です。ただし、F [ X ] は一意の因数分解領域であるため、最低次数の多項式PおよびQでQ が単数になるように選択された任意の有理式P / Qに対して一意の表現が存在します。これは、共通因数を消去することによって整数の分数が常に最小の項で一意に表される方法に似ています。

有理式体F ( X ) はF上に（体として）（超越元）Xによって生成されると言われる。なぜなら、F ( X ) にはFと元Xの両方を含む真部分体が存在しないからである。

代数多様体上の有理関数の概念

多項式と同様に、有理式も、F [ X ₁ ,... , X _n ]の分数体 ( F ( X ₁ ,..., X _n ) と表記) を取ることで、 n個の不定値X ₁ ,..., X _nに一般化できます。

有理関数という抽象的な概念の拡張版は代数幾何学において用いられる。代数多様体 Vの関数体は、Vの座標環（より正確には、V内のザリスキ稠密アフィン開集合）の分数体として形成される。その元fは、空でない開集合U上の代数幾何学の意味で正則関数とみなされ、また射影直線への射影写像としても見ることができる。

アプリケーション

有理関数は、数値解析において関数の補間や近似に用いられます。例えば、アンリ・パデによって導入されたパデ近似関数などが挙げられます。有理関数による近似は、コンピュータ代数システムやその他の数値計算ソフトウェアに適しています。多項式と同様に、有理関数は直接評価できると同時に、多項式よりも多様な挙動を表現できます。

有理関数は、物理学における場と力、分析化学における分光法、生化学における酵素反応速度論、電子回路、空気力学、生体内の薬物濃度、原子と分子の波動関数、画像解像度を向上させる光学と写真、音響と音など、科学と工学におけるより複雑な方程式を近似またはモデル化するために使用されます。^[要出典]

信号処理において、無限インパルス応答を持つ一般的に使用される線形時間不変システム（フィルタ）のインパルス応答のラプラス変換（連続システムの場合）またはZ 変換（離散時間システムの場合）は、複素数に対する有理関数です。

参照

部分分数分解
積分における部分分数
代数多様体の関数体
代数的分数 – 整数根を取ることを可能にする有理関数の一般化

参考文献

^ ルディン、ウォルター(1987). 『実解析と複素解析』ニューヨーク：マグロウヒル・エデュケーション. p. 267. ISBN 978-0-07-100276-9。
^
- Corless, Martin J.; Frazho, Art (2003). Linear Systems and Control . CRC Press. p. 163. ISBN 0203911377。
- パウナル、マルコム・W. (1983). 『関数とグラフ：微積分予備数学』プレンティス・ホール出版. p. 203. ISBN 0133323048。
^ ブランチャード, ポール (1984). 「リーマン球面上の複素解析力学」.アメリカ数学会報. 11 (1): 85–141 . doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15240-6 . ISSN 0273-0979.87ページ
^ アブロウィッツ, マーク・J. ;フォカス, アタナシオス・S. (2003).複素変数. ケンブリッジ大学出版局. p. 150. ISBN 978-0-521-53429-1。
^ ブールレス、アンリ (2010). 線形システム. Wiley. p. 515. doi :10.1002/9781118619988. ISBN 978-1-84821-162-9. 2022年11月5日閲覧。
^ ブルバキ、N. (1990)。代数 II。スプリンガー。 p. A.IV.20. ISBN 3-540-19375-8。
^ グリッソン、ティルドン H. (2011).回路解析・設計入門. シュプリンガー. ISBN 978-9048194438。

さらに読む

「有理関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)「第3.4節有理関数の内挿と外挿」『数値計算の技法』（第3版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88068-8

外部リンク

JSXGraph による有理関数の動的可視化

[1] ルディン、ウォルター(1987). 『実解析と複素解析』ニューヨーク：マグロウヒル・エデュケーション. p. 267. ISBN 978-0-07-100276-9。

[2] 
Corless, Martin J.; Frazho, Art (2003). Linear Systems and Control . CRC Press. p. 163. ISBN 0203911377。
パウナル、マルコム・W. (1983). 『関数とグラフ：微積分予備数学』プレンティス・ホール出版. p. 203. ISBN 0133323048。

[3] Corless, Martin J.; Frazho, Art (2003). Linear Systems and Control . CRC Press. p. 163. ISBN 0203911377。

[4] パウナル、マルコム・W. (1983). 『関数とグラフ：微積分予備数学』プレンティス・ホール出版. p. 203. ISBN 0133323048。

[3] ブランチャード, ポール (1984). 「リーマン球面上の複素解析力学」.アメリカ数学会報. 11 (1): 85–141 . doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15240-6 . ISSN 0273-0979.87ページ

[4] アブロウィッツ, マーク・J. ;フォカス, アタナシオス・S. (2003).複素変数. ケンブリッジ大学出版局. p. 150. ISBN 978-0-521-53429-1。

[5] ブールレス、アンリ (2010). 線形システム. Wiley. p. 515. doi :10.1002/9781118619988. ISBN 978-1-84821-162-9. 2022年11月5日閲覧。

[6] ブルバキ、N. (1990)。代数 II。スプリンガー。 p. A.IV.20. ISBN 3-540-19375-8。

[7] グリッソン、ティルドン H. (2011).回路解析・設計入門. シュプリンガー. ISBN 978-9048194438。

v t e 関数
歴史具体的な機能一覧
ドメインとコドメインによる型	$X \to 𝔹$ $𝔹 \to X$ $𝔹ⁿ \to X$ $X \to ℤ$ $ℤ \to X$ $X \to ℝ$ $ℝ \to X$ $ℝⁿ \to X$ $X \to ℂ$ $ℂ \to X$ $ℂⁿ \to X$
クラス/プロパティ	絶え間ない身元リニア多項式ラショナル代数的分析的スムーズ連続測定可能単射射影的全単射
建設	制限構成 λ 逆
一般化	関係（二項関係）設定値多値部分的暗黙空間高次のモルフィズムファンクタ
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