光線伝達行列解析

Ray tracing technique

光線転送行列解析（ ABCD行列解析とも呼ばれる）は、近軸光線のみを考慮して解くことができる十分に単純な問題において光線追跡計算を実行するための数学的形式である。各光学要素（表面、界面、ミラー、またはビーム移動）は、入射光線を記述するベクトルに作用して出射光線を計算する2×2の 光線転送行列によって記述される。このようにして、連続する行列を乗算することで、光学系全体を記述する簡潔な光線転送行列が得られる。同じ数学は、加速器物理学においても、粒子加速器の磁石装置を通過する粒子を追跡するために使用される（電子光学を参照） 。

この手法は、後述するように、近軸近似を用いて導出されます。近軸近似では、すべての光線方向（波面に垂直な方向）がシステムの光軸に対して小さな角度θにあることが必要であり、近似sin θ ≈ θが成立します。θが小さいということは、光線束（xおよびy ）の横方向の範囲が光学系の長さに比べて小さい（つまり「近軸」である）ことを意味します。すべての光線が近軸近似に当てはまらない場合でも、適切な結像システムでは近軸光線を正しく焦点合わせする必要があるため、この行列法は焦点面の位置と倍率を適切に記述しますが、収差は完全な光線追跡技術を用いて評価する必要があります。^[1]

行列の定義

光線伝達（ABCD）行列解析では、光学要素（ここでは厚いレンズ）が、 入力面での（x ₁、θ ₁）と光線が出力面に到達したときの（x ₂、θ ₂）の間の変換を行います。

光線追跡技術は、システムの光軸にそれぞれ垂直な、入力面と出力面と呼ばれる 2 つの参照面に基づいています。光学トレインに沿ったどの点でも、中心光線に対応する光軸が定義されます。中心光線は伝播して光学トレインのさらに奥にある光軸を定義しますが、この光軸は物理的に同じ方向である必要はありません (プリズムやミラーで曲げる場合など)。横方向xとy (以下ではx方向のみを考慮します) は、適用される光軸に直交するように定義されます。光線は、光軸から距離x ₁で入力面を横切ってコンポーネントに入射し、光軸と角度θ ₁をなす方向に進みます。出力面まで伝播した後、光線は光軸から距離x ₂にあり、光軸に対して角度θ _{2をなしています。n} 1とn _2は、それぞれ入力面と出力面における媒体の屈折率です。

コンポーネントまたはシステムを表すABCD行列は、出力光線と入力光線を次のように関連付けます。4つの行列要素の値は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},}$$ $${\displaystyle C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.}$$

これは、入力面と出力面における光線ベクトルを、2つの基準面の間に存在する光学部品または光学系を表す光線伝達行列（RTM）Mによって関連付けます。黒体放射に基づく熱力学的な議論^{[要出典]を用いて、RTMの}決定要因が屈折率の比であることを示すことができます。 $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_{1}}{n_{2}}}.}$$

その結果、入力面と出力面が同じ媒体内にある場合、または偶然同じ屈折率を持つ 2 つの異なる媒体内にある場合、Mの行列式は単に 1 になります。

光線ベクトルについては、別の表記法を用いることもできる。θ ≈ sin θを用いる代わりに、光線ベクトルの2番目の要素をn  sin θとする^[2]。これは光線角度そのものに比例するのではなく、波数ベクトルの横成分に比例する。これにより、界面での屈折が関係する以下の表に示すABCD行列が変化する。

このような転送行列の使用は、電子2 ポート ネットワークを記述する2 × 2行列、特に同様に乗算してカスケード システムを解くことができるさまざまないわゆる ABCD 行列。

いくつかの例

空きスペースの例

一例として、2つの平面の間に自由空間がある場合、光線伝達行列は次のように表されます。ここで、dは2つの基準平面間の分離距離（光軸に沿って測定）です。したがって、光線伝達方程式は次のようになります。これは、2つの光線のパラメータを次のように関連付けます。 $${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&={\hphantom {x_{1}+d}}\theta _{1}\end{aligned}}}$$

薄型レンズの例

もう1つの簡単な例は、薄レンズです。そのRTMは次式で与えられます。ここで、fはレンズの焦点距離です。光学部品の組み合わせを記述するために、光線伝達行列を掛け合わせることで、複合光学系全体のRTMが得られます。長さdの自由空間と焦点距離fのレンズの例では、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\-{\frac {1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}.}$$

行列の乗算は非可換であるため、これはレンズとそれに続く自由空間のRTMと同じではないことに注意してください。 $${\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}.}$$

したがって、行列は適切な順序で並べられなければなりません。最後の行列は2番目に最後の行列を前置し、最初の行列が2番目に前置されるまでこれを繰り返します。屈折率の異なる媒体との界面や鏡からの反射などを表すために、他の行列を構築することもできます。

固有値

光線転送行列は線形正準変換とみなすことができます。光学系の固有値に応じて、システムはいくつかのクラスに分類できます。^[3]システムを表すABCD行列が、出力光線と入力光線を次のように関連付けていると仮定します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .}$$

行列式を計算することによって、固有方程式を満たす行列の固有値を計算する。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.}$$

とすると、固有値 が得られます。 ${\displaystyle m={\frac {(A+D)}{2}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}$

との値に応じて、いくつかのケースが考えられます。例えば、 ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

1. 実固有値のペア：と（ただし ）。この場合は拡大鏡を表す。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle r\neq 1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}}$
2. ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$または。この場合は単位行列（または追加の座標変換子を含む） を表します。 ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$
3. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1}$このケースは、システムがユニティ演算子、自由空間セクション、またはレンズのいずれかである場合に発生しますが、これらに限りません。
4. 2つのユニモジュラ複素共役固有値のペアと。このケースは分離可能な分数フーリエ変換に似ています。 ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle e^{-i\theta }}$

シンプルな光学部品のマトリックス

要素	マトリックス	備考
自由空間または一定屈折率の媒体における伝播	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}}$	d = 距離
平坦な界面での屈折	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}$	n 1 = 初期屈折率 n 2 = 最終屈折率。
曲面界面における屈折	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}$	R = 曲率半径、凸型の場合はR > 0（界面後の曲率中心） n 1 = 初期屈折率、 n 2 = 最終屈折率。
平面鏡からの反射	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$[4]	入射ビームに対して任意の角度に向けられた平面ミラーに有効です。光線と光軸は均等に反射されるため、傾きや位置に実質的な変化はありません。
曲面鏡からの反射	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R_{e}}}&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle R_{e}=R\cos \theta }$接線面（水平方向）における有効曲率半径 ${\displaystyle R_{e}=R/\cos \theta }$矢状面（垂直方向）における有効曲率半径 R = 曲率半径、凹面の場合はR > 0、近軸近似で有効、 θは水平面における鏡の入射角です。
薄型レンズ	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{pmatrix}}}$	f = レンズの焦点距離。凸レンズ/正レンズ（収束レンズ）の 場合はf > 0 となります。 焦点距離がレンズの厚さよりもはるかに大きい場合にのみ有効です。
厚いレンズ	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{2}n_{1}}}&{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{1}n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}$	n 1 = レンズ外側の屈折率。 n 2 = レンズ自体の屈折率（レンズ内部）。R 1 = 第1面の曲率半径。R 2 = 第2面の曲率半径。t = レンズの中心厚。
単一プリズム	${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle k=(\cos \psi /\cos \phi )}$はビーム拡大係数であり、ϕは入射角、ψは屈折角、dはプリズムの光路長、nはプリズム材料の屈折率である。この行列は直交ビーム出射に適用される。[5]
Rプリズムを用いたマルチプリズムビームエキスパンダー	${\displaystyle {\begin{pmatrix}M&B\\0&{\frac {1}{M}}\end{pmatrix}}}$	MはM = k 1 k 2 k 3 ··· k rで与えられる全ビーム倍率であり、ここでkは前の項目で定義され、Bは多重プリズムエキスパンダーの全光伝播距離[説明が必要]である。[5]

幾何光線光学と波動光学の関係

線形正準変換の理論は、光線転送行列（幾何光学）と波動光学の関係を暗示している。^[6]

要素	幾何光学における行列	波動光学における演算子	備考
スケーリング	${\displaystyle {\begin{pmatrix}b^{-1}&0\\0&b\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathcal {V}}[b]u(x)=u(bx)}$
二次位相係数	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle Q[c]=\exp i{\frac {k_{0}}{2}}cx^{2}}$	${\displaystyle k_{0}}$: 波数
フレネル自由空間伝播演算子	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathcal {R}}[d]\left\{U\left(x_{1}\right)\right\}={\frac {1}{\sqrt {i\lambda d}}}\int _{-\infty }^{\infty }U\left(x_{1}\right)e^{i{\frac {k}{2d}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}dx_{1}}$	${\displaystyle x_{1}}$: ソースの座標 ${\displaystyle x_{2}}$: ゴールの座標
正規化フーリエ変換演算子	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathcal {F}}=\left(i\lambda _{0}\right)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\exp \left(ik_{0}px\right)\right]\ldots }$

一般的な分解

光線伝達行列を複数の伝達行列の連結に分解する方法は無数に存在する。例えば、以下の特殊なケースでは、 ${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{2}}$

1. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\D/B&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}B&0\\0&1/B\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\A/B&1\end{array}}\right]}$。
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/A&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}A&0\\0&A^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\\0&1\end{array}}\right]}$
3. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&A/C\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0\\0&-C\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&D/C\\0&1\end{array}}\right]}$
4. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&B/D\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\\0&D\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/D&1\end{array}}\right]}$

共振器の安定性

RTM解析は、レーザーなどに用いられる光共振器における光の挙動をモデル化する際に特に有用である。最も単純な光共振器は、100%反射率で曲率 半径Rの2枚の同一の対向ミラーで構成され、互いに距離dで隔てられている。光線追跡の目的上、これは焦点距離f = R /2の同一の薄レンズが互いに長さdで隔てられているのと同等である。この構造はレンズ等価ダクトまたはレンズ等価導波路と呼ばれる。導波路の各セクションのRTMは、上記のように、 $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}.}$$

RTM解析は、導波路（および共振器）の安定性を決定するために使用できます。つまり、導波路を伝わる光がどのような条件下で周期的に再収束し、導波路内に留まるかを決定できます。そのためには、システムのすべての「固有光線」を求めます。導波路の各セクションにおける入力光線ベクトルに実数または複素数の係数λを掛けると、出力光線ベクトルに等しくなります。これは以下の式で表されます。これ は固有値方程式 です。ここ で、 $${\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,}$$ ${\textstyle \mathbf {I} =\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$2 × 2 単位行列。

伝達行列の固有値を計算し、特性方程式を得る。 ここで はRTMのトレース、 はRTMの行列式である。共通の代入を1つ行うことで、以下の式が得られる 。ここで は安定性パラメータである。固有値は特性方程式の解である。この二次方程式から、 $${\displaystyle \det \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0,}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}}$$ $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC=1}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,}$$ $${\displaystyle g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}}$$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.}$$

ここで、 N がシステムを通過した後の光線を考えます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$

導波路が安定している場合、光線は主軸から任意に遠くまで逸れることはない。つまり、λ ^{N は}無制限に増加してはならない。 と仮定する。この場合、両方の固有値は実数となる。 であるため、そのうちの1つは（絶対値で）1より大きくなければならない。これは、この固有ベクトルに対応する光線が収束しないことを意味する。したがって、安定した導波路では、となり、固有値は複素数で表すことができる。 この場合、 g = cos( ϕ )と置き換える。 ${\displaystyle g^{2}>1}$ ${\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1}$ ${\displaystyle g^{2}\leq 1}$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },}$$

に対して、とをそれぞれ固有値と に関する固有ベクトルとします。これらは直交するためベクトル空間全体を張ります。後者は によります。したがって、入力ベクトルは、いくつかの定数と に対してと表すことができます。 ${\displaystyle g^{2}<1}$ ${\displaystyle r_{+}}$ ${\displaystyle r_{-}}$ ${\displaystyle \lambda _{+}}$ ${\displaystyle \lambda _{-}}$ ${\displaystyle \lambda _{+}\neq \lambda _{-}}$ $${\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},}$$ ${\displaystyle c_{+}}$ ${\displaystyle c_{-}}$

N 個の導波管セクターの後、出力は周期関数を表す となります。 $${\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},}$$

ガウスビーム

同じ行列は、同じ透過行列で記述される光学部品を伝搬するガウスビーム^{[7]の伝播を計算するのにも使用できます。波長}、曲率半径R（発散の場合は正、収束の場合は負）、ビームスポットサイズw、屈折率nのガウスビームがあるとすると、複素ビームパラメータqは次のように定義できます。^[8] ${\displaystyle \lambda _{0}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.}$$

（R、w、q は位置の関数である。）ビーム軸がz方向で、ウェストがz ₀、レイリー距離が z _Rの場合、これは次のように等価的に表される^[8]。 $${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}.}$$

このビームは、与えられた光線伝達行列を持つ光学系を、次式^{[更なる説明が必要]}を用いて伝播することができる。ここでkは、光線ベクトルの第2成分を1に保つために選択された正規化定数である。行列乗算を用いると、この式は次のように展開される。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=k(Aq_{1}+B)\\1&=k(Cq_{1}+D)\,.\end{aligned}}}$$

最初の方程式を 2 番目の方程式で割ると、正規化定数が除去されます。 $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},}$$

この最後の方程式を逆数形式で表現すると便利な場合がよくあります。 $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.}$$

例: 空き領域

自由空間を距離dだけ移動するビームを考えてみましょう。光線伝達行列は となり、これは通常のガウスビーム伝播の上記の式と一致します。つまり。 ビームが伝播するにつれて、半径とウェストの両方が変化します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d}$$ ${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}}$

例: 薄型レンズ

焦点距離fの薄いレンズを通過する光線を考えてみましょう。光線伝達行列はとなり、 1/ qの実数部のみが影響を受けます。つまり、波面曲率1/ Rはレンズのパワー1/ fによって減少しますが、薄いレンズから出射した際の横方向の光線サイズwは変化しません。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}.}$$

高階行列

高次元の転送行列を使用する方法、すなわち3 × 3、4 × 4、そして6×6は光学分析にも用いられる。^[9]特に、4×4伝搬行列は、フェムト秒レーザーのパルス圧縮のためのプリズムシーケンスの設計と解析に使用されます。^[5]

参照

• 転送マトリックス法（光学）
• 線形正準変換

脚注

1. 行列法の拡張による（非近軸）子午線光線の追跡については、Nussbaum（1992）によって説明されている。
2. Gerrard & Burch (1994)、p. 27、「光学方向余弦」と呼ばれる。
3. Bastiaans & Alieva (2007).
4. ヘクト（2002年）。
5. Duarte (2003)、第6章
6. ナザラシー＆シャミール（1982年）。
7. ラシディアン・ヴァジリ、ハジェスマイルバイギ、マレキ (2013)。
8. C. Tim Lei. 「Physics 4510 Opticsウェブページ」特に第5章^{[自費出版ソース]}
9. ブラウワー (1964);ジーグマン (1986);ウォルニク (1987)。

参考文献

• Bastiaans, Martin J.; Alieva, Tatiana (2007年3月14日). 「ロスレス一次光学系の分類と線形正準変換」(PDF) . Journal of the Optical Society of America A . 24 (4): 1053– 1062. Bibcode :2007JOSAA..24.1053B. doi :10.1364/josaa.24.001053. PMID:  17361291.
• Brouwer, W. (1964).光学機器設計におけるマトリックス法. ニューヨーク: Benjamin.書誌コード:1964mmoi.book.....B.
• ドゥアルテ, FJ (2003).チューナブルレーザー光学. ニューヨーク: エルゼビア・アカデミック.
• ジェラード, A.; バーチ, JM (1994) [1975].光学における行列法入門（ドーバー編）. ドーバー出版. ISBN 0-486-68044-4。
• ヘクト、ユージン (2002).光学（第4版）. アディソン・ウェスレー.
• ナザラシー, モシェ; シャミール, ジョセフ (1982年3月1日). 「一次光学 ― 標準的な演算子表現：ロスレスシステム」.アメリカ光学会誌. 72 (3): 356. doi :10.1364/josa.72.000356.
• ヌスバウム, アレン (1992年3月1日). 「高度幾何光学教育の近代化」(PDF) . Proc. SPIE 1603.光学教育, 1991. レニングラード, ロシア連邦: SPIE . pp.  389– 400.
• Rashidian Vaziri, MR; Hajiesmaeilbaigi, F.; Maleki (2013). 「非線形カー媒質におけるガウスビーム伝搬解析のための新しいダクトモデルと空間自己位相変調への応用」 . Journal of Optics . 15 (3) 035202. Bibcode :2013JOpt...15c5202R. doi :10.1088/2040-8978/15/3/035202.
• シーグマン、アンソニー・E. (1986). 『レーザー』 ミルバレー、カリフォルニア州: University Science Books.
• Wollnik, H. (1987). 『荷電粒子の光学』ニューヨーク: アカデミック.

さらに読む

• Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). 「1.4: 行列演算」.フォトニクスの基礎. ニューヨーク: John Wiley & Sons.

外部リンク

• 厚いレンズ（マトリックス法）
• ABCD マトリックス チュートリアル システム全体のシステム マトリックスの例を示します。
• ABCD 計算機 ABCD 行列を解くのに役立つインタラクティブな計算機。

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