幾何光学

Model of optics describing light as geometric rays

幾何光学、あるいは光線光学は、光の伝播を光線で記述する光学モデルです。幾何光学における光線は、特定の状況下で光が伝播する経路を近似するのに役立つ抽象概念です。

幾何光学の単純化された仮定には、光線に関する次のようなものが含まれます。

• 均質な媒体中を直線的に伝播する
• 2つの異なる媒体の境界で曲がったり、特定の状況では2つに分裂したりすることがある
• 屈折率が変化する媒体内の曲線経路をたどる
• 吸収または反射される可能性があります。

幾何光学は、物理光学で考慮される回折や干渉といった特定の光学効果を考慮していません。この簡略化は実用上有用であり、光が相互作用する構造物の大きさに比べて波長が短い場合には優れた近似となります。この手法は、光学収差を含む結像の幾何学的側面を記述する際に特に有用です。

説明

光は空間を進むにつれて、振幅で振動します。この図では、最大振幅の山が波面を表す平面で示されています。光線は、これらの平行面に垂直な矢印です。

光線とは、光の波面に垂直な直線または曲線（したがって波数ベクトルと共線的）である。光線のもう少し厳密な定義はフェルマーの原理に由来する。フェルマーの原理によれば、2点間の光線の経路は、最短時間で通過できる経路である。^[1]

幾何光学は、しばしば近軸近似、すなわち「小角近似」を行うことで簡略化されます。これにより数学的挙動は線形となり、光学部品や光学系を単純な行列で記述できるようになります。これはガウス光学や近軸光線追跡といった手法につながり、これらは光学系の基本的な特性、例えば像や物体のおおよその位置や倍率を求めるために使用されます。^[2]

反射

鏡面反射の図

鏡などの光沢のある表面は、光を単純かつ予測可能な方法で反射します。これにより、空間内の実際の位置（実在位置）または外挿された位置（仮想位置）と関連付けられる反射像を生成することができます。

このような表面では、反射光線の方向は、入射光線が面法線（光線が入射する点における面に垂直な線）となす角度によって決まります。入射光線と反射光線は同一平面上にあり、反射光線と面法線との間の角度は、入射光線と面法線との間の角度と同じです。^[3]これは反射の法則として知られています。

平面鏡の場合、反射の法則によれば、物体の像は鏡の後ろで垂直に映り、鏡の前にある物体と同じ距離に映ります。像の大きさは物体の大きさと同じです。（平面鏡の倍率は1です。）また、この法則は鏡像がパリティ反転していることも示しており、これは左右反転として認識されます。

曲面を持つ鏡は、光線追跡と表面上の各点における反射の法則を用いることでモデル化できる。放物面を持つ鏡の場合、鏡に入射する平行光線は共通の焦点に収束する反射光線を生成する。他の曲面でも光を集光することはできるが、発散形状による収差により焦点が空間的にぼやける。特に球面鏡は球面収差を示す。曲面鏡は1より大きいまたは1より小さい倍率の像を形成でき、像は正立または倒立できる。鏡の反射によって形成される正立像は常に虚像であるが、倒立像は実像でありスクリーンに投影することができる。^[3]

屈折

スネルの法則の図解

屈折は、屈折率が変化する空間領域を光が通過するときに発生します。屈折の最も単純なケースは、屈折率 を持つ均一な媒体と屈折率 を持つ別の媒体との境界面がある場合に発生します。このような状況では、スネルの法則によって光線の偏向が次のように記述されます。ここで、 はそれぞれ入射波と屈折波に対する法線（境界面）の角度です。この現象は、上記の屈折率の定義からわかるように、光速の変化にも関連しています。つまり、と はそれぞれの媒体における波の速度です。^[3] ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ $${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ $${\displaystyle v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}}$$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

スネルの法則の様々な帰結として、屈折率の高い物質から屈折率の低い物質へ進む光線は、界面との相互作用によって透過率がゼロになる可能性があるという事実が挙げられる。この現象は全反射と呼ばれ、光ファイバー技術に利用されている。光信号が光ファイバーケーブルを伝わる際、全反射を起こすため、ケーブル全長にわたって実質的に光の損失は発生しない。また、反射と屈折を組み合わせることで偏光光線を生成することも可能である。屈折光線と反射光線が直角を形成する場合、反射光線は「平面偏光」の特性を持つ。このような状況に必要な入射角はブリュースター角として知られている。^[3]

スネルの法則は、屈折率と媒質の形状が分かっている限り、光線が「線形媒質」を通過する際の偏向を予測するために使用できます。例えば、プリズムを通る光の伝播は、プリズムの形状と向きに応じて光線の偏向を引き起こします。さらに、ほとんどの物質では光の周波数によって屈折率がわずかに異なるため、屈折を利用して虹のように見える分散 スペクトルを生成することができます。プリズムを通過する光におけるこの現象の発見は、アイザック・ニュートンによるものとして有名です。^[3]

媒体によっては、屈折率が位置によって徐々に変化するものがあり、光線は直線ではなく媒体中を曲がって進みます。この効果は、暑い日に見られる蜃気楼の原因です。空気の屈折率の変化によって光線が曲がり、遠くで鏡面反射（まるで水たまりの表面のように）が見えるのです。屈折率が変化する材料は勾配屈折率（GRIN）材料と呼ばれ、コピー機やスキャナーなどの現代の光学スキャン技術で用いられる多くの有用な特性を持っています。この現象は勾配屈折率光学の分野で研究されています。^[4]

単純な収束レンズの光線追跡図

屈折によって収束または発散する光線を生成する装置はレンズとして知られています。薄いレンズは、レンズメーカーの方程式を使用してモデル化できる焦点を両側に生成します。^[5]一般に、平行光線を収束させる凸レンズと平行光線を発散させる凹レンズの2種類のレンズが存在します。これらのレンズによってどのように像が生成されるかについての詳細な予測は、曲面鏡に似た光線追跡を使用して行うことができます。曲面鏡と同様に、薄いレンズは、特定の焦点距離 ( ) と物体距離( ) が与えられた場合の像の位置を決定する簡単な方程式に従います。ここで、 は像に関連付けられた距離であり、慣例により、レンズの物体側にある場合は負、レンズの反対側にある場合は正と見なされます。^[5]焦点距離 f は、凹レンズの場合、負であると見なされます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}}$$ ${\displaystyle S_{2}}$

入射する平行光線は凸レンズによって、レンズから 1 焦点距離離れたレンズの反対側に反転した実像として集束されます。

入射する平行光線は凸レンズによって、レンズから 1 焦点距離離れたレンズの反対側に反転した実像として集束されます。

有限距離にある物体から発せられた光線は、レンズの焦点距離よりも遠い位置で焦点を結びます。物体がレンズに近いほど、像はレンズから遠く離れます。凹レンズの場合、入射した平行光線はレンズを通過した後に発散し、レンズから焦点距離1つ離れた、平行光線が入射する側のレンズの正立した虚像から発せられたように見えます。

凹レンズの場合、入射する平行光線はレンズを通過した後、レンズから 1 焦点距離離れた、平行光線が近づいてくるレンズの同じ側にある垂直の虚像から発生したように見えるようになります。

有限距離にある物体から発せられる光線は、レンズの焦点距離よりも近く、物体と同じ側に虚像を形成します。物体がレンズに近いほど、虚像もレンズに近くなります。

有限距離にある物体からの光線は、焦点距離よりもレンズに近い、レンズに対して物体と同じ側にある虚像に関連付けられます。

同様に、レンズの倍率は で表されます。ここで負の符号は慣例的に与えられ、正の値の場合は正像、負の値の場合は倒立像を表します。鏡と同様に、単レンズによって生成される正像は虚像であり、倒立像は実像です。^[3] $${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}}$$

レンズは、像や焦点を歪ませる収差の影響を受けます。これは、幾何学的な欠陥と、光の波長による屈折率の変化（色収差）の両方が原因です。^[3]

基礎となる数学

数学的な研究として、幾何光学は、双曲型偏微分方程式の解の短波長極限（ゾンマーフェルト・ルンゲ法）として、またはマクスウェル方程式に従った場の不連続の伝播の特性（リューネブルグ法）として現れます。 この短波長極限では、分散関係を満たし、振幅がゆっくり変化する、局所的に解を近似することが可能です。 より正確には、主要次数解は、次の形を取ります 。位相は、大きな波数、および周波数 を回復するために線形化できます。 振幅は輸送方程式を満たします。 小さなパラメータは、非常に振動する初期条件のために登場します。 したがって、初期条件が微分方程式の係数よりもはるかに速く振動する場合、解は、非常に振動し、光線に沿って輸送されます。 微分方程式の係数が滑らかであると仮定すると、光線も滑らかになります。言い換えると、屈折は起こりません。この手法の動機は、短波長光が（多かれ少なかれ）移動時間を最小化する光線に沿って伝播するという、光伝播の典型的なシナリオを研究することにあります。この手法を完全に応用するには、マイクロローカル解析のツールが必要です。 $${\displaystyle u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}}$$ ${\displaystyle k,\omega }$ ${\displaystyle a(t,x)}$ $${\displaystyle a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.}$$ ${\displaystyle \varphi (t,x)/\varepsilon }$ ${\displaystyle k:=\nabla _{x}\varphi }$ ${\displaystyle \omega :=-\partial _{t}\varphi }$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$

ゾンマーフェルト・ルンゲ法

ゼロ波長の極限をとることで幾何光学の方程式を得る方法は、1911年にアルノルド・ゾンマーフェルトとJ.ルンゲによって初めて提唱されました。 ^{[6]彼らの導出は、}ペーター・デバイの口頭発表に基づいています。^{[7] [8]}単色スカラー場を考える。ここで、 は電場または磁場の成分のいずれかである可能性があり、したがって関数 は波動方程式 を満たす 。ここで は真空中の光速である。ここで は媒質の屈折率である。一般性を失うことなく、この方程式を に変換するには、 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$ ${\displaystyle k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$ $${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

幾何光学の基本原理は の極限にあるため、次の漸近級数が仮定される。 ${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$ $${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

が大きいが有限の値の に対しては級数は発散するため、適切な最初の数項のみを残すように注意する必要がある。 の各値に対して、残すべき項の最適な数を見つけることができ、最適な数よりも多くの項を追加すると、近似値が悪くなる可能性がある。^[9]級数を式に代入し、異なる次数の項をまとめると、一般に次の式が得られる。 ${\displaystyle k_{o}}$ ${\displaystyle k_{o}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

最初の方程式はアイコナール方程式として知られており、アイコナールが ハミルトン・ヤコビ方程式であることを決定する。これは、例えば直交座標で書くと次のようになる。 ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

残りの方程式は関数を決定します。 ${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$

リューネブルグ法

マクスウェル方程式の解の不連続面を解析することによって幾何光学方程式を得る方法は、1944年にルドルフ・カール・リューネブルクによって初めて提唱されました^。[10]この方法は、振幅と位相が方程式を満たすと仮定するゾンマーフェルト・ルンゲ法で求められる特殊な形状の電磁場を必ずしも必要としません。この条件は、例えば平面波によって満たされますが、加法的ではありません。 ${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$

リューネブルクのアプローチの主な結論は次のとおりです。

定理。誘電率とで表される線形等方性媒質における場とが、方程式で表される（移動する）表面に沿って有限の不連続性を持つと仮定する。すると、積分形のマクスウェル方程式から、がアイコナール方程式を満たすことが分かる。ここで、は媒質の屈折率（ガウス単位系）である。 ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mu (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$ ${\displaystyle n}$

このような不連続面の例としては、特定の瞬間に放射を開始するソースから発せられる初期波面が挙げられます。

したがって、場の不連続面は、対応する幾何光学場が次のように定義される幾何光学波面になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

これらの場は、ゾンマーフェルト-ルンゲアプローチの輸送方程式と整合する輸送方程式に従う。リューネブルグ理論における光線は、不連続面に直交する軌跡として定義され、フェルマーの最小時間原理に従うことが示され、標準的な光学における光線と同一であることが証明される。

上記の展開は異方性媒体にも一般化できる。^[11]

リューネブルグの定理の証明は、マクスウェル方程式が解の不連続性の伝播をどのように支配するかを調べることに基づいています。基本的な技術的な補題は次のとおりです。

技術的な補題。を時空上の超曲面（3次元多様体）とし、その上で、、、のうち1つ以上が有限の不連続性を持つものとします。すると、超曲面の各点において、以下の式が成り立ちます。ここで、演算子は（ が固定されたすべての に対して） -空間に作用し、角括弧は不連続面の両側の値の差を表します（これは任意だが固定された規則に従って設定されます。例えば、から減算される量の方向を指す勾配など）。 ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mu (x,y,z)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$

証明の概要。マクスウェル方程式を、発生源（ガウス単位）から離れた位置から始める。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

におけるストークスの定理を用いると、上記の最初の方程式から、区分的に滑らかな（3次元）境界を持つにおける任意の領域に対して、次が成り立つことが分かります。ここで、 は の外向きの単位法線の3次元スライスへの投影であり、は 上の体積3次元形式です。同様に、残りのマクスウェル方程式から次が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$ ${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t={\rm {const}}}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

ここで、 の任意の小さな部分曲面を考え、を囲む小さな近傍を設定し、それに応じて上記の積分を減算すると、次式が得られます。ここで は4次元 -空間における勾配を表します。は任意なので、積分関数は0に等しく、これは補題を証明します。 ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nabla ^{4D}}$ ${\displaystyle xyzt}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$

不連続面が連続媒質中を伝播する際に、アイコナール方程式に従うことは容易に示せます。具体的には、と が連続であれば、との不連続面は次式を満たします。そして。この場合、補題の最後の2つの方程式は次のように書き表すことができます。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$ ${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

2 番目の方程式の外積をとり、最初の方程式を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \nabla \varphi }$ $${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

の連続性と補題の2番目の方程式は次を意味します。したがって、表面上にある点に対してのみ次が成り立ちます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ $${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

(このステップでは不連続性の存在が不可欠であることに注意してください。そうでない場合はゼロで割ることになります。)

物理的な考察から、一般性を失うことなく、 が以下の形式であると仮定することができます。 、すなわち、空間を移動する2次元面であり、 の水平面としてモデル化されます。（数学的には、暗黙関数定理によりが存在します。） 上記の式を で書き直すと、次のようになります。すなわち、これはアイコナール方程式であり、変数が存在しないため、すべての、、に対して成立します。スネルの法則やフレネルの公式といった他の光学法則も、およびにおける不連続性を考慮することで同様に導くことができます。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$ $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$

4ベクトル表記を用いた一般的な方程式

特殊相対論で使用される4ベクトル表記では、波動方程式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

そして、その置き換えにより^[12] ${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$ $${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

したがって、アイコナール方程式は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

上記の式を解いてアイコナールが求まれば、波動四元ベクトルは次のように求められる。 $${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

参照

• ハミルトン光学
• 幾何音響学

参考文献

1. アーサー・シュスター、『光学理論入門』、ロンドン：エドワード・アーノルド、1904年オンライン。
2. グライフェンカンプ、ジョン E. (2004)。幾何光学のフィールドガイド。 SPIE フィールド ガイド。 Vol. 1.スパイ。19 ～ 20ページ 。ISBN 0-8194-5294-7。
3. ヒュー・D・ヤング (1992). University Physics 8e . Addison-Wesley. ISBN 0-201-52981-5。第35章。
4. EW Marchand, Gradient Index Optics, ニューヨーク, ニューヨーク州, Academic Press, 1978年。
5. ヘクト, ユージン (1987).光学（第2版）. アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-11609-X。第5章と第6章。
6. A. ゾンマーフェルト、J. ルンゲ (1911)。最適な幾何学的配置を実現します。 Annalen der Physik、340(7)、277-298。
7. Born, M., & Wolf, E. (2013).光学原理：光の伝播、干渉、回折の電磁気理論. エルゼビア.
8. Sommerfield, A.; J., Runge. 「ベクトル計算の幾何光学の基礎への応用」(PDF)。新古典物理学。D.H. Delphenich 訳。2023年11月3日閲覧。
9. ボロウィッツ, S. (1967). 量子力学の基礎、粒子、波動、波動力学。
10. リューネブルク、RK、「光学の数学的理論」、ブラウン大学出版局、1944年[謄写版印刷の注釈]、カリフォルニア大学出版局、1964年
11. クライン、M.、ケイ、IW、「電磁気理論と幾何光学」、インターサイエンス出版社、1965年
12. Landau, LD, & Lifshitz, EM (1975). 場の古典理論.

さらに読む

• Robert Alfred Herman (1900) A Treatise on Geometrical optics、Archive.orgより。
• 「目の光と視覚の啓発された風景」は、16 世紀に遡るアラビア語の幾何光学に関する原稿です。
• 光線システムの理論 – WRハミルトン著、「Royal Irish Academy紀要」第15巻、1828年。

初期の書籍や論文の英訳

• H. ブルンス、「Das Eikonal」
• M. マルス、「オプティック」
• J. プラッカー、「光波の一般形についての議論」
• E. クンマー、「直線光線システムの一般理論」
• E. クンマー、光学的に実現可能な直線光線システムに関するプレゼンテーション
• R. マイバウアー、「光線の直線系の理論」
• M. パッシュ、「光線系の焦点面と複体の特異点面について」
• A. レヴィスタル「幾何光学の研究」
• F.クライン「ブルンスの英雄について」
• R. ドントット「積分不変量と幾何光学のいくつかの点について」
• T. de Donder、「光学の積分不変量について」

外部リンク

• ファインマンの幾何光学に関する講義

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