レイリー分布

Probability distribution

レイリー
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	規模： ${\displaystyle \sigma >0}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
CDF	${\displaystyle 1-e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
四分位数	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-F)}}}$
平均	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
中央値	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2\ln(2)}}}$
モード	${\displaystyle \sigma }$
分散	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
エントロピ	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}$
CF	${\displaystyle 1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}$

確率論および統計学において、レイリー分布は非負値の確率変数に対する連続確率分布である。再尺度化を除けば、自由度2のカイ二乗分布と一致する。この分布はレイリー卿（/ ˈ r eɪ l i / ）にちなんで名付けられている。^[1]

レイリー分布は、平面上のベクトルの全体的大きさがその方向成分と関連している場合によく見られます。レイリー分布が自然に生じる一例として、風速を2次元で解析する場合が挙げられます。各成分が無相関で、等分散の正規分布に従い、平均がゼロ（まれ）であると仮定すると、全体的な風速（ベクトルの大きさ）はレイリー分布に従います。この分布の2つ目の例として、実数部と虚数部が独立して同一に、等分散で平均がゼロのガウス分布に従うランダム複素数があります。この場合、複素数の絶対値はレイリー分布に従います。

意味

レイリー分布の確率密度関数は^{[2]である。}

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,}$

ここで、分布の尺度パラメータである。累積分布関数は^[2]である。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

のために ${\displaystyle x\in [0,\infty ).}$

ランダムベクトルの長さとの関係

2次元ベクトル を考える。その成分は、ゼロを中心とし、等分散 で独立な2変量正規分布に従う。すると、 と は密度関数を持つ 。 ${\displaystyle Y=(U,V)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}$

の長さを とする。つまり、 となる。 すると、 は累積分布関数を持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

ディスクはどこですか ${\displaystyle D_{x}}$

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq x\right\}.}$

二重積分を極座標で書くと、

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

最後に、確率密度関数はその累積分布関数の導関数であり、微積分学の基本定理によれば、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

これはレイリー分布です。2次元以外のベクトルにも容易に一般化できます。また、成分の分散や相関が不等な場合（ホイト分布）、あるいはベクトルYが二変量スチューデントt分布に従う場合（ホイト分布も参照）にも一般化できます。 ^[3]

二変量スチューデントt分布への一般化

多変量t分布に従う成分を持つランダムベクトルを仮定します。成分の平均が0、分散が等しく、かつ独立である場合、二変量スチューデントt分布は次の形をとります。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle f(u,v)={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\left(1+{u^{2}+v^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}}$ を の大きさとします。このとき、の大きさの累積分布関数（CDF）は次のようになります。 ${\displaystyle R={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F(r)={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{D_{r}}\left(1+{u^{2}+v^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}du\;dv}$ ディスクは次のように定義されます: ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle D_{r}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq r\right\}}$ 極座標に変換すると、CDF は次のようになります。 ${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)&={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }\rho \left(1+{\rho ^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}d\theta \;d\rho \\&={1 \over {\sigma ^{2}}}\int _{0}^{r}\rho \left(1+{\rho ^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}d\rho \\&=1-\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2}\end{aligned}}}$ 最後に、大きさの確率密度関数(PDF) を導出できます。 ${\displaystyle f(r)=F'(r)={r \over {\sigma ^{2}}}\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}}$ の極限では、レイリー分布が回復されるのは次のような理由による。 ${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow \infty }\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}=e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}}}$

プロパティ

生のモーメントは次のように与えられます。

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),}$

ここでガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma (z)}$

レイリー確率変数の平均は次のようになります。

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .}$

レイリー確率変数の標準偏差は次のとおりです。

${\displaystyle \operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx 0.655\ \sigma }$

レイリー確率変数の分散は、

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}$

モードは、最大PDFは ${\displaystyle \sigma ,}$

${\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.}$

歪度は次のように表されます。

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631}$

過剰尖度は次のように与えられます。

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245}$

特性関数は次のように与えられます。

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]}$

ここでは虚数誤差関数である。モーメント生成関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

ここで、は誤差関数です。 ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$

微分エントロピー

微分エントロピーは次のように与えられる^[要出典]

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

ここで、 はオイラー・マスケロニ定数です。 ${\displaystyle \gamma }$

パラメータ推定

パラメータ を持つN 個の 独立かつ同一分布のレイリー確率変数のサンプルが与えられると、 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\widehat {\sigma ^{2}}}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$は最大尤度推定値であり、また偏りがありません。

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}$は偏った推定値であり、次の式で修正できる。

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma \left(N+{\frac {1}{2}}\right)}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}$^[4] ここでc4_は正規分布の標準偏差の推定値を不偏化するために使用される補正係数である。 ${\displaystyle ={\frac {\hat {\sigma }}{c_{4}(2N+1)}}}$

信頼区間

(1 − α )信頼区間を求めるには 、まず次の境界を求めます。 ${\displaystyle [a,b]}$

  ${\displaystyle P\left(\chi _{2N}^{2}\leq a\right)=\alpha /2,\quad P\left(\chi _{2N}^{2}\leq b\right)=1-\alpha /2}$

スケールパラメータは境界内に収まる

  ${\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma ^{2}}}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}}$^[5]

ランダム変数の生成

区間(0, 1)の一様分布から抽出されたランダム変量Uが与えられた場合、変量

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}$

はパラメータ のレイリー分布に従います。これは逆変換サンプリング法を適用することで得られます。 ${\displaystyle \sigma }$

関連ディストリビューション

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$はレイリー分布に従う。ここで、と はそれぞれ独立した正規確率変数である。^[6]このことが、上記のレイリー密度のパラメータ化において記号を使用する理由である。 ${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sigma }$
• 標準的な複素正規分布変数zの大きさはレイリー分布します。 ${\displaystyle |z|}$
• v = 2のカイ分布は、 σ  = 1  のレイリー分布と同等です 。 ${\displaystyle R(\sigma )\sim \sigma \chi _{2}^{\,}\ .}$
• の場合、 は自由度 2 の カイ 2 乗分布に従います。 ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle [Q=R(\sigma )^{2}]\sim \sigma ^{2}\chi _{2}^{2}\ .}$
• ならば、スケールパラメータと速度パラメータが整数のガンマ分布に従う。 ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

  ${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma \left(N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right)}$整数形状パラメータNと速度パラメータ ${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}.}$

  ${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma \left(N,2\sigma ^{2}\right)}$整数形状パラメータNとスケールパラメータ ${\displaystyle 2\sigma ^{2}.}$

• ライス分布はレイリー分布の非心一般化です。 ${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$
• 形状パラメータk = 2のワイブル分布は レイリー分布となる。レイリー分布パラメータはワイブル尺度パラメータと次の関係にある。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}$
• が指数分布に従う場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$ ${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}$
• 半正規分布は、レイリー分布の 1 次元版です。
• マクスウェル・ボルツマン分布は、レイリー分布の 3 次元版です。

アプリケーション

σの推定は磁気共鳴画像（MRI）に応用できる。MRI画像は複素画像として記録されるが、多くの場合は振幅画像として観察されるため、背景データはレイリー分布に従う。したがって、上記の式は背景データからMRI画像のノイズ分散を推定するために使用できる。^{[7] [8]}

レイリー分布は栄養学の分野でも、食事中の 栄養素レベルとヒトおよび動物の反応を関連付けるために用いられています。このように、パラメータσは栄養素反応の関係を計算するために使用することができます。^[9]

弾道学の分野では、レイリー分布は銃の精度の尺度で ある円誤差確率を計算するために使用されます。

海洋物理学では、有義波高の分布はレイリー分布にほぼ従う。^{[10] [11]}

参照

• 円形エラーの可能性あり
• レイリーフェージング
• レイリー混合分布
• 米の配給

参考文献

1. 「光の波動理論」ブリタニカ百科事典1888年;「ランダムウォークの問題」ネイチャー1905年 第72巻 318ページ
2. Papoulis, Athanasios; Pillai, S. (2001)確率、ランダム変数、確率過程 p. 169 . ISBN 0073660116、ISBN 9780073660110
3. Röver, C. (2011). 「堅牢な信号検出のためのStudent-tベースフィルタ」. Physical Review D. 84 ( 12) 122004. arXiv : 1109.0442 . Bibcode :2011PhRvD..84l2004R. doi :10.1103/physrevd.84.122004.
4. Siddiqui, MM (1964)「レイリー分布の統計的推論」、米国標準規格協会研究ジャーナル、セクションD：無線科学、第68D巻、第9号、p. 1007
5. Siddiqui, MM (1961)「レイリー分布に関するいくつかの問題」、米国標準規格協会研究ジャーナル; セクションD: 無線伝搬、第66D巻、第2号、p. 169
6. Hogema, Jeroen (2005)「ショットグループ統計」
7. Sijbers, J.; den Dekker, AJ; Raman, E.; Van Dyck, D. (1999). 「マグニチュードMR画像からのパラメータ推定」. International Journal of Imaging Systems and Technology . 10 (2): 109– 114. CiteSeerX 10.1.1.18.1228 . doi :10.1002/(sici)1098-1098(1999)10:2<109::aid-ima2>3.0.co;2-r. 
8. den Dekker, AJ; Sijbers, J. (2014). 「磁気共鳴画像におけるデータ分布：レビュー」. Physica Medica . 30 (7): 725– 741. doi :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.
9. Ahmadi, Hamed (2017-11-21). 「栄養反応曲線の記述のための数学関数」. PLOS ONE . 12 (11) e0187292. Bibcode :2017PLoSO..1287292A. doi : 10.1371/journal.pone.0187292 . ISSN  1932-6203. PMC 5697816. PMID 29161271  . 
10. Dean, Robert G.; Dalrymple, Robert A. (1991).エンジニアと科学者のための水波力学. 海洋工学上級シリーズ第2巻. World Scientific. ISBN 9-789810-204211。
11. 「ランダム波高へのレイリー確率分布の適用」（PDF）。アメリカ海軍兵学校。

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