ゲーゲンバウアー多項式

Polynomial sequence

数学では、ゲーゲンバウアー多項式または超球面多項式 C^(α)
_n( x ) は、 重み関数(1 −  x ² ) ^{α –1/2}に関して区間 [−1, 1] 上の直交多項式である。これらはルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式を一般化したものであり、ヤコビ多項式の特殊なケースである。これらはレオポルド・ゲーゲンバウアーにちなんで名付けられている。

特徴づけ

• 
  Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して、n=10、m=1 のゲーゲンバウアー多項式 C n^(m)(x) を複素平面 -2-2i から 2+2i までカラーでプロットしました。
• 
  α =1のゲーゲンバウアー多項式
• 
  α =2のゲーゲンバウアー多項式
• 
  α =3のゲーゲンバウアー多項式
• 
  nの最初の 4 つの値に対するxα平面上の多項式を示すアニメーション。

ゲーゲンバウアー多項式にはさまざまな特性評価が利用可能です。

• 多項式は生成関数によって定義できる：^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}$

• 多項式は再帰関係を満たす：^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}}$

• ゲーゲンバウアー多項式は、ゲーゲンバウアー微分方程式の特定の解です: ^[2]

${\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}$

α = 1/2のとき 、方程式はルジャンドル方程式に簡約され、ゲーゲンバウアー多項式はルジャンドル多項式に簡約されます。

α = 1のとき 、方程式はチェビシェフ微分方程式に簡約され、ゲーゲンバウアー多項式は第二種チェビシェフ多項式に簡約される。 ^[3]

• 級数が実際に有限である特定のケースでは、それらはガウス超幾何級数として与えられます。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}$

^[4]ここで(2α) _nは上昇階乗である。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}$

これから、ユニット引数の値を取得することも簡単です。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.}$

• これらはヤコビ多項式の特別な場合である：^[2]

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

はの上昇階乗を表します。 ${\displaystyle (\theta )_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$

したがって、ロドリゲスの公式も存在する。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

• 代替正規化は を設定する。この代替正規化を仮定すると、ゲーゲンバウアーの導関数はゲーゲンバウアーの項で表される：^[5] ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{q}}{dx^{q}}}C_{q+2j+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {2^{q}(q+2j+1)!}{(q-1)!\Gamma (q+2j+2\alpha +1)}}&\sum _{i=0}^{j}{\frac {(2i+\alpha +1)\Gamma (2i+2\alpha +1)}{(2i+1)!(j-i)!}}\\&\times {\frac {\Gamma (q+j+i+\alpha +1)}{\Gamma (j+i+\alpha +2)}}(q+j-i-1)!C_{2i+1}^{(\alpha )}(x)\end{aligned}}}$$

直交性と正規化

α > -1/2 の固定値に対して、多項式は重み関数^[6]に関して [−1, 1] 上で直交する。

${\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}$

すなわち、n  ≠  mの場合、

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}$

これらは、

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

アプリケーション

^{ゲーゲンバウアー多項式は、}ポテンシャル論や調和解析の文脈において、ルジャンドル多項式の拡張として自然に現れる。R nにおけるニュートンポテンシャルは、α = ( n  − 2)/2の条件を満たす展開を持つ。

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).}$

n = 3のとき、これは重力ポテンシャル のルジャンドル多項式展開を与える。球面におけるポアソン核の展開にも同様の表現が可能である。 ^[7]

したがって、これらの量はxのみの関数として見れば球面調和関数となる。実際、これらの量は、正規化定数を除けば、 まさに帯状球面調和関数である。 ${\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$

ゲーゲンバウアー多項式は正定値関数の理論にも登場します。

アスキー・ガスパー不等式は次のようになる。

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}$

微分方程式を解くスペクトル法において、関数がチェビシェフ多項式の基底で展開され、その導関数がゲーゲンバウアー基底/超球面基底で表されている場合、導関数演算子は対角行列となり、大規模な問題に対して高速な帯状行列法が可能になります。^[8]

その他の特性

ディリクレ・メーラー型積分表現: ^[9]ラプラス型積分表現加法公式: ^[10] $${\displaystyle {\frac {P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\cos \theta \right)}{P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(1\right)}}={\frac {C_{n}^{(\alpha +{\frac {1}{2}})}\left(\cos \theta \right)}{C_{n}^{(\alpha +{\frac {1}{2}})}\left(1\right)}}={\frac {2^{\alpha +{\frac {1}{2}}}\Gamma \left(\alpha +1\right)}{{\pi }^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}(\sin \theta )^{-2\alpha }\int _{0}^{\theta }{\frac {\cos \left((n+\alpha +{\tfrac {1}{2}})\phi \right)}{(\cos \phi -\cos \theta )^{-\alpha +{\frac {1}{2}}}}}\,\mathrm {d} \phi ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(\cos \theta )}{P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(1)}}&={\frac {C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(\cos \theta )}{C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(1)}}\\&={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\pi }(\cos \theta +i\sin \theta \cos \phi )^{n}(\sin \phi )^{2\alpha }\mathrm {~d} \phi \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{n}^{\lambda }\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \phi \right)\\&\quad =\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}^{\lambda }\left(\sin \theta _{1}\right)^{k}C_{n-k}^{\lambda +k}\left(\cos \theta _{1}\right)\left(\sin \theta _{2}\right)^{k}C_{n-k}^{\lambda +k}\left(\cos \theta _{2}\right)\\&\quad \cdot C_{k}^{\lambda -1/2}(\cos \phi ),\quad a_{n,k}^{\lambda }{\text{ constants }}\end{aligned}}}$$

漸近解析

を固定すると、すべての に対して一様、 に対して、^{[11] [12]} ${\displaystyle \lambda \in (0,1),M\in \{1,2,\dots \},\delta \in (0,\pi /2)}$ ${\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}\left(\cos \theta \right)={\frac {2^{2\lambda }\Gamma \left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)}{{\pi }^{\frac {1}{2}}\Gamma \left(\lambda +1\right)}}{\frac {\left(2\lambda \right)_{n}}{\left(\lambda +1\right)_{n}}}\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\dfrac {{\left(\lambda \right)_{m}}{\left(1-\lambda \right)_{m}}}{m!\,{\left(n+\lambda +1\right)_{m}}}}{\dfrac {\cos \theta _{n,m}}{(2\sin \theta )^{m+\lambda }}}+R_{M}(\theta )\right)}$$

ここで、 はポッホハマー記号であり、剰余には明示的な上限があります。ここで、 はガンマ関数です。 ${\displaystyle (\cdot )_{m}}$ $${\displaystyle \theta _{n,m}=(n+m+\lambda )\theta -{\tfrac {1}{2}}(m+\lambda )\pi }$$ ${\displaystyle R_{M}=O\left({\frac {1}{n^{M}}}\right)}$ $${\displaystyle |R_{M}(\theta )|\leq (2/\pi )\sin(\lambda \pi ){\frac {\Gamma (n+2\lambda )}{\Gamma (\lambda )}}{\frac {\Gamma (M+\lambda )\Gamma (M-\lambda +1)}{M!\Gamma (n+M+\lambda +1)}}{\frac {\max \left(|\cos \theta |^{-1},2\sin \theta \right)}{(2\sin \theta )^{M+\lambda }}}}$$ ${\displaystyle \Gamma }$

他の漸近式は、より一般的なヤコビ多項式の漸近式の特殊なケースとして得ることができます。

参照

• ロジャース多項式、ゲーゲンバウアー多項式のq類似体
• チェビシェフ多項式
• ロマノフスキー多項式

参考文献

• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)「直交多項式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Szegő, G. (1975).直交多項式. コロキウム出版. 第XXIII巻（第4版）. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会.

特定の

1. (スタイン＆ワイス 1971、§IV.2)
2. Suetin, PK (2001) [1994]、「超球面多項式」、数学百科事典、EMSプレス
3. Arfken, Weber, Harris (2013)「物理学者のための数学的手法」第7版、第18.4章
4. アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第22章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月発行の第10刷に訂正を加えた第9刷、初版）。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版。773ページ。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN  64-60036. MR 0167642.  LCCN 65-12253  .
5. Doha, EH (1991-01-01). 「超球面多項式の微分展開と導関数の係数」 . Computers & Mathematics with Applications . 21 (2): 115– 122. doi :10.1016/0898-1221(91)90089-M. ISSN  0898-1221.
6. (アブラモウィッツ＆ステグン 1983, p. 774)
7. スタイン、エリアス；ワイス、グイド（1971年）、ユークリッド空間におけるフーリエ解析入門、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08078-9
8. Olver, Sheehan; Townsend, Alex (2013年1月). 「高速かつ条件の整ったスペクトル法」. SIAM Review . 55 (3): 462– 489. arXiv : 1202.1347 . doi :10.1137/120865458. eISSN  1095-7200. ISSN  0036-1445.
9. 「DLMF: §18.10 積分表現 ‣ 古典直交多項式 ‣ 第18章 直交多項式」. dlmf.nist.gov . 2025年3月18日閲覧。
10. Koornwinder, Tom (1973年9月). 「ヤコビ多項式と球面調和関数の加法公式」 . SIAM Journal on Applied Mathematics . 25 (2): 236– 246. doi :10.1137/0125027. ISSN  0036-1399.
11. (Szegő 1975、定理 8.21.11)
12. 「DLMF: §18.15 漸近近似 ‣ 古典直交多項式 ‣ 第18章 直交多項式」. dlmf.nist.gov . 2025年7月7日閲覧。

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