Leapfrog統合

Mathematics concept

数値解析において、リープフロッグ積分とは、特に古典力学の動的システムの場合に、形式の 微分方程式またはそれと同等の形式の微分方程式を数値的に積分する方法である。 $${\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A(x),}$$ $${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {dv}{dt}}=A(x),\qquad {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v,}$$

点源質量を周回するN体のエネルギー保存則をオイラー積分とリープフロッグ積分で比較した。両シミュレーションで同じ時間ステップが使用されている。

この手法は、分野によって異なる名称で知られています。特に、ベルレ積分の変種である速度ベルレ法に類似しています。リープフロッグ積分は、異なる時点における位置と速度を、互いに 「リープフロッグ」するようにずらして更新する手法です。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle v(t)={\dot {x}}(t)}$

リープフロッグ積分は、オイラー積分とは対照的に、二階積分法です。オイラー積分は一階積分ですが、ステップごとに同じ回数の関数評価を必要とします。オイラー積分とは異なり、時間ステップが一定で、かつである限り、リープフロッグ積分は振動運動に対して安定です。^[1] ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<2/\omega }$

吉田係数を使用し、正しいタイムステップでリープフロッグ積分器を複数回適用すると、はるかに高次の積分器を生成できます。

アルゴリズム

リープフロッグ積分では、位置と速度を更新するための方程式は $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),\\v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}}}$$

ここで、 はステップ における位置、はステップにおける速度（ の一次微分）、はステップ における加速度（ の二次微分）、 は各時間ステップの大きさです。これらの式は、整数ステップにおける速度を与える形でも表すことができます。^[2]ただし、この同期形式では、安定性を維持するために時間ステップは一定でなければなりません。^[3] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i+1/2\,}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i+1/2\,}$ ${\displaystyle a_{i}=A(x_{i})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Delta t}$

同期型は「キック・ドリフト・キック」型に再構成することができ、これは主に可変時間ステップが必要な場合に使用されます。加速度計算をステップの開始と終了に分離することで、時間分解能を2倍（）に増加させた場合でも、追加の（計算コストの高い）加速度計算は1回のみで済みます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}a_{i}\Delta t,\\[2pt]x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\[2pt]v_{i+1}&=v_{i+1/2}+{\tfrac {1}{2}}a_{i+1}\Delta t,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2}$

この方程式の用途の 1 つはニュートンの重力シミュレーションです。この場合、加速度は重力質量の位置にのみ依存し、速度には依存しないためです。

リープフロッグ積分を力学問題に適用すると、主に2つの利点があります。1つ目は、リープフロッグ法の時間可逆性です。nステップ前向きに積分した後、積分方向を逆にしてnステップ後向きに積分することで、同じ開始点に戻ることができます。2つ目の利点は、シンプレクティック積分の性質です。これは、ハミルトン力学系のエネルギー（わずかに修正されています。シンプレクティック積分器を参照）を保存することを意味します。 ^{[4]これは、軌道力学を計算する際に特に有用です。これは、（次数4）}ルンゲ・クッタ法など、他の多くの積分法ではエネルギーが保存されず、システムが時間の経過とともに大きくドリフトしてしまうためです。

リープフロッグ積分は、時間可逆性とシンプレクティック積分器であることから、ハミルトンモンテカルロ法（全体の正規化が不明な確率分布からランダムサンプルを抽出する方法）でも使用されています。 ^[5]

吉田アルゴリズム

リープフロッグ積分器は、吉田治夫らの手法を用いて高次の積分器に変換することができる。このアプローチでは、リープフロッグを複数の異なるタイムステップに適用する。正しいタイムステップを順に適用すると、誤差が打ち消され、はるかに高次の積分器を容易に生成できることがわかった。^{[6] [7]}

4次吉田積分器

4次吉田積分器の1ステップには4つの中間ステップが必要です。位置と速度は異なる時刻に計算されます。必要な加速度計算は3回（計算コストが高い）のみです。

位置と速度を更新するための4次積分器の方程式は

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,&v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,&v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t,&v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t,\\x_{i+1}&\equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,&v_{i+1}&\equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\\end{aligned}}}$$

ここで、 は開始位置と速度、は中間ステップ における中間位置と速度、は位置 における加速度、は 4 次吉田ステップ 1 回による最終位置と速度です。 ${\displaystyle x_{i},v_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{n},v_{i}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a(x_{i}^{n})}$ ${\displaystyle x_{i}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i+1},v_{i+1}}$

係数と^[7]は式(4.6)を参照されたい。 ${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})}$ ${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},&w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\[1ex]c_{1}&=c_{4}\equiv {\frac {w_{1}}{2}},&c_{2}=c_{3}&\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\[1ex]d_{1}&=d_{3}\equiv w_{1},&d_{2}&\equiv w_{0}\\\end{aligned}}}$$

すべての中間ステップは1つのステップを形成し、係数の合計は1になります。つまり、と です。位置と速度は異なる時刻に計算され、いくつかの中間ステップは時間的に逆方向に進んでいることに注意してください。これを説明するために、係数の数値を示します。、、、 ${\displaystyle \Delta t}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{1}=0.6756}$ ${\displaystyle c_{2}=-0.1756}$ ${\displaystyle c_{3}=-0.1756}$ ${\displaystyle c_{4}=0.6756.}$

参照

• 常微分方程式の数値解析法
• シンプレクティック積分
• オイラー積分
• ヴェルレ統合
• ルンゲ・クッタ積分

参考文献

1. CK BirdsallとAB Langdon、「コンピュータシミュレーションによるプラズマ物理学」、McGraw-Hill Book Company、1985年、56ページ。
2. “4.1 Leapfrog の記述方法 2つ”. 2023年4月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
3. Skeel, RD、「可変ステップサイズはStömer/Leapfrog/Verlet法を不安定にする」、 BIT Numerical Mathematics、第33巻、1993年、172～175ページ。
4. タッカーマン、マーク・E. (2010).統計力学：理論と分子シミュレーション（第1版）. オックスフォード大学出版局. pp.  121– 124. ISBN 9780198525264。
5. ビショップ、クリストファー (2006).パターン認識と機械学習. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. pp.  548– 554. ISBN 978-0-387-31073-2。
6. “./Ch07.HTML”. 2022年3月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年12月21日閲覧。
7. 吉田 晴夫 (1990). 「高次シンプレクティック積分器の構築」. Physics Letters A. 150 ( 5–7 ) : 262– 268. doi :10.1016/0375-9601(90)90092-3.

外部リンク

• https://www.physics.drexel.edu/students/courses/Comp_Phys/Integrators/leapfrog/ (2010年6月17日アーカイブ)、ドレクセル大学物理学

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