Probability theory
確率論 と 統計学 において 、 逆分布とは確率変数の 逆数 の分布である 。逆分布は、特に ベイズ統計学において 尺度パラメータ の 事前分布 と 事後分布 の文脈で用いられる 。 確率変数代数において、逆分布は 比分布 のクラスの特殊なケースであり 、分子確率変数は 退化した分布 をとる。
元の配布との関係 一般に、正の支持を持つ 確率変数 Xの 確率分布が 与えられれば、その逆数の分布 Y = 1 / Xを求めることができる 。X の分布が 密度関数 f ( x )と 累積分布関数 F ( x )と 連続 であれば、 逆数の 累積分布関数 G ( y )は次のように求められる。
G ( y ) = Pr ( Y ≤ y ) = Pr ( X ≥ 1 y ) = 1 − Pr ( X < 1 y ) = 1 − F ( 1 y ) . {\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).} 次に、 Y の密度関数 は累積分布関数の導関数として求められます。
g ( y ) = 1 y 2 f ( 1 y ) . {\displaystyle g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).}
例
相互分配 逆数 分布の 密度関数は次の式で表される [1]。
f ( x ) ∝ x − 1 for 0 < a < x < b , {\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,} ここで は 「 に比例する」 という意味である 。したがって、この場合の逆分布は次のようになる。 ∝ {\displaystyle \propto \!\,}
g ( y ) ∝ y − 1 for 0 ≤ b − 1 < y < a − 1 , {\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},} これもまた逆数分布です。
逆一様分布 パラメータ 0 < a < b , a , b ∈ R {\displaystyle 0<a<b,\quad a,b\in \mathbb {R} } サポート [ b − 1 , a − 1 ] {\displaystyle [b^{-1},a^{-1}]} PDF y − 2 1 b − a {\displaystyle y^{-2}{\frac {1}{b-a}}} CDF b − y − 1 b − a {\displaystyle {\frac {b-y^{-1}}{b-a}}} 平均 ln ( b ) − ln ( a ) b − a {\displaystyle {\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}} 中央値 2 a + b {\displaystyle {\frac {2}{a+b}}} 分散 1 a ⋅ b − ( ln ( b ) − ln ( a ) b − a ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}-\left({\frac {\ln(b)-\ln(a)}{b-a}}\right)^{2}}
元の確率変数 Xが 区間( a , b )に 一様分布し 、 a>0である 場合 、逆変数 Y = 1 / X は範囲( b -1 , a -1 )の値を取る逆分布を持ち、この範囲での確率密度関数は
g ( y ) = y − 2 1 b − a , {\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},} その他の場所ではゼロになります。
同じ範囲内での逆数の累積分布関数は、
G ( y ) = b − y − 1 b − a . {\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.} 例えば、 X が区間(0,1)に一様分布している場合、 Y = 1 / X は密度 と累積分布関数を持ち 、 g ( y ) = y − 2 {\displaystyle g(y)=y^{-2}} G ( y ) = 1 − y − 1 {\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}} y > 1. {\displaystyle y>1.}
逆 t 分布 Xを 自由度 kの t 分布に従う 確率変量 とする 。 その密度関数は
f ( x ) = 1 k π Γ ( k + 1 2 ) Γ ( k 2 ) 1 ( 1 + x 2 k ) 1 + k 2 . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.} Y = 1 / X の密度 は
g ( y ) = 1 k π Γ ( k + 1 2 ) Γ ( k 2 ) 1 y 2 ( 1 + 1 y 2 k ) 1 + k 2 . {\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.} k = 1の場合、 X と 1 / X の分布は 同一である（ Xは コーシー分布 (0,1)に従う ）。k > 1 の場合 、 1 / X の分布は 二峰性 となる 。 [ 要出典 ]
逆正規分布 変数が正規分布 に従う 場合 、その逆数または逆数は 逆正規分布に従う： [2] X {\displaystyle X} N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} Y = 1 X {\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}
f ( y ) = 1 2 π σ y 2 e − 1 2 ( 1 / y − μ σ ) 2 . {\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.} 標準正規分布の逆分布の密度のグラフ 変数 Xが 標準正規分布 に従う場合 、 Y = 1/ Xは 逆標準正規分布 に従い 、 裾が重く 、 双峰性が あり、 [2] で最頻値が 、密度が N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} ± 1 2 {\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}
f ( y ) = e − 1 2 y 2 2 π y 2 {\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}} そして、1次および高次のモーメントは存在しません。 [2] このような逆分布や 比率分布 の場合でも、区間の確率を定義することができ、 モンテカルロシミュレーション 、または場合によってはギアリー・ヒンクリー変換を使用して計算できます。 [3]
しかし、より一般的なケース、 すなわち一般正規分布に従う逆関数のシフトの 場合、極と 平均の 差が実数値であれば、平均と分散の統計量は 主値の意味で存在する。この変換された確率変数（ 逆関数シフト正規分布 ）の平均は、 まさにスケーリングされた ドーソン関数 である： [4] 1 / ( p − B ) {\displaystyle 1/(p-B)} B = N ( μ , σ ) {\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )} p {\displaystyle p} μ {\displaystyle \mu }
2 σ F ( p − μ 2 σ ) . {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).} 対照的に、シフト が純粋に複素数の場合、平均は存在し、スケールされた ファッデーエワ関数 となり、その正確な表現は虚数部の符号 に依存します 。どちらの場合も、分散は平均の単純な関数です。 [5] したがって、 が実数の場合、分散は主値の意味で考慮する必要があり 、 の虚数部が ゼロでない場合は分散が存在します。これらの平均と分散は、比率の線形化に再帰しないため、正確であることに留意してください。異なる極のペアを持つ2つの比率の正確な共分散 も 同様に得られます。 [6] 複素正規変数 の逆の場合は 、シフトされているかどうかに関係なく、異なる特性を示します。 [4] p − μ {\displaystyle p-\mu } Im ( p − μ ) {\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )} p − μ {\displaystyle p-\mu } p − μ {\displaystyle p-\mu } p 1 {\displaystyle p_{1}} p 2 {\displaystyle p_{2}} B {\displaystyle B}
逆指数分布 が指数分布に従う確率変数で 、速度パラメータが である 場合、 は に対して 次の累積分布関数を持つ。 この確率変数の期待値は存在しないことに注意されたい。逆指数分布は、フェージング無線通信システムの解析に用いられる。 X {\displaystyle X} λ {\displaystyle \lambda } Y = 1 / X {\displaystyle Y=1/X} F Y ( y ) = e − λ / y {\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}} y > 0 {\displaystyle y>0}
逆コーシー分布 Xが コーシー分布 ( μ , σ ) 確率変数である 場合 、 1 / X はコーシー ( μ / C , σ / C ) 確率変数 ( C = μ 2 + σ 2 ) になります。
逆F分布 X が F ( ν1 , ν2 )分布の ランダム 変数である場合 、 1/ X は F ( ν2 , ν1 )ランダム変数 です 。
二項分布の逆数 が試行回数と成功確率を持つ 二項分布に従って分布する 場合 、逆数分布の閉じた形は知られていません。ただし、この分布の平均を計算することは可能です。 X {\displaystyle X} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p}
E [ 1 ( 1 + X ) ] = 1 p ( n + 1 ) ( 1 − ( 1 − p ) n + 1 ) {\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}
逆分布の非中心モーメントの漸近近似は知られている。 [7]
E [ ( 1 + X ) a ] = O ( ( n p ) − a ) + o ( n − a ) {\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}
ここで、O() と o() はそれぞれ大小の o 次関数 であり、 は実数です。 a {\displaystyle a}
三角分布の逆数 下限が a 、上限が b 、モードが cの 三角分布（ a < b 、 a ≤ c ≤ b） の場合 、 逆数の平均は次のように表される。
μ = 2 ( a l n ( a c ) a − c + b l n ( c b ) b − c ) a − b {\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}}
そして、
σ 2 = 2 ( l n ( c a ) a − c + l n ( b c ) b − c ) a − b − μ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}} 。
逆数の両方のモーメントは、三角形がゼロを横切らない場合、つまり、 a 、 b 、および c がすべて正またはすべて負の場合にのみ定義されます。
その他の逆分布 その他の逆分布としては
逆カイ二乗分布 逆ガンマ分布 逆ウィシャート分布 逆行列ガンマ分布
アプリケーション 逆分布は、ベイズ推論における尺度パラメータの事前分布として広く使用されています。
参照
参考文献 ^ Hamming RW (1970)「数の分布について」 Wayback Machine で2013年10月29日にアーカイブ、 The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625 ^ abc ジョンソン, ノーマン L.; コッツ, サミュエル; バラクリシュナン, ナラヤナスワミ (1994). 連続一変量分布, 第1巻 . ワイリー. p. 171. ISBN 0-471-58495-9 。 ^ ジャック・ヘイヤ 、ドナルド・アームストロング、ニコラス・グレシス（1975年7月）「2つの正規分布変数の比率に関するノート」 『マネジメント・サイエンス 』 21 (11): 1338–1341 . doi :10.1287/mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897. ^ ab Lecomte, Christophe (2013年5月). 「不確実性を伴うシステムの正確な統計：ランク1確率動的システムの解析理論」. Journal of Sound and Vibration . 332 (11): 2750– 2776. doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009. ^ ルコント, クリストフ (2013年5月). 「不確実性を伴うシステムの正確な統計：ランク1確率動的システムの解析理論」. Journal of Sound and Vibration . 332 (11). セクション (4.1.1). doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009. ^ ルコント, クリストフ (2013年5月). 「不確実性を伴うシステムの正確な統計：ランク1確率動的システムの解析理論」. Journal of Sound and Vibration . 332 (11). Eq.(39)-(40). doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009. ^ Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) 二項変数の逆モーメントに関するノート. Brazilian Review of Econometrics 20 (2) 
![{\displaystyle [b^{-1},a^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56eed009bc3aa23b2a5d017289056846ed578169)
![{\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b103d8157e0cf450224a72fcf289ba12925b643)
![{\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0b4cb29ebd93274d2275028842fcea779bf45b)
