正規分布

Mixture of discrete and continuous distributions

確率論において、整流化ガウス分布（restricted goussian distribution）は、ガウス分布の負の要素を0にリセットした分布（電子整流器に類似）の変形である。これは本質的に、打ち切りの結果として、離散分布（定数0）と連続分布（区間 の切断ガウス分布）が混在したものである。 ${\displaystyle (0,\infty )}$

密度関数

正規分布から導かれたこの分布に従う確率変数Xが と表示される 修正ガウス分布の確率密度関数は、次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),}$ ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi {\left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)}\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$$

ガウス分布、修正ガウス分布、および切り捨てガウス分布の比較。

ここで、は標準正規分布の累積分布関数（cdf）であり、 はディラックのデルタ関数であり、は単位ステップ関数である。 ${\displaystyle \Phi (x)}$ $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\quad x\in \mathbb {R} ,}$$ ${\displaystyle \delta (x)}$ $${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\textrm {U}}(x)}$ $${\displaystyle {\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$$

平均と分散

修正されていない正規分布は平均 を持ち、修正された分布に変換すると、確率質量の一部がより高い値（負の値から0へ）に移動されるため、修正された分布の平均はより大きくなります。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu .}$

修正された分布は、確率質量の一部を残りの確率質量の方へ移動させることによって形成されるため、修正は平均保存収縮と分布の平均変化の固定シフトの組み合わせとなり、分散は減少する。したがって、修正された分布の分散は ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$

価値を生み出す

計算的に値を生成するには、

${\displaystyle s\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\quad x={\textrm {max}}(0,s),}$

その後

${\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$

応用

修正ガウス分布はガウス尤度と半共役であり、近年因子分析、特に（非負）修正因子分析に応用されている。Harva ^[1]は、因子が修正ガウス分布の混合に従う修正因子モデルの変分学習アルゴリズムを提案した。その後、Meng ^{[2]は、因子が修正ガウス分布の}ディリクレ過程混合に従うギブスサンプリング解と組み合わせた無限修正因子モデルを提案し、これを遺伝子制御ネットワークの再構築のための計算生物学に応用した。

一般境界への拡張

^Palmerら[3]は、正規化ガウス分布の拡張を提案し、任意の下限値と上限値の間での正規化を可能にしました。下限値と上限値に対して、累積分布関数は次のように与えられます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle F_{R}(x|\mu ,\sigma ^{2})={\begin{cases}0,&x<a,\\\Phi (x|\mu ,\sigma ^{2}),&a\leq x<b,\\1,&x\geq b,\\\end{cases}}}$

ここで、は平均と分散 を持つ正規分布の累積分布関数です。修正分布の平均と分散は、まず制約条件を標準正規分布に作用するように変換することによって計算されます。 ${\displaystyle \Phi (x|\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle c={\frac {a-\mu }{\sigma }},\qquad d={\frac {b-\mu }{\sigma }}.}$

変換された制約を使用すると、平均と分散はそれぞれ次のように与えられます。 ${\displaystyle \mu _{R}}$ ${\displaystyle \sigma _{R}^{2}}$

${\displaystyle \mu _{t}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}-e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}\right)+{\frac {c}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {d}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{t}^{2}&={\frac {\mu _{t}^{2}+1}{2}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)-{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(\left(d-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {d^{2}}{2}}\right)}-\left(c-2\mu _{t}\right)e^{\left(-{\frac {c^{2}}{2}}\right)}\right)\\&+{\frac {\left(c-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1+{\textrm {erf}}\left({\frac {c}{\sqrt {2}}}\right)\right)+{\frac {\left(d-\mu _{t}\right)^{2}}{2}}\left(1-{\textrm {erf}}\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mu _{R}=\mu +\sigma \mu _{t},}$

${\displaystyle \sigma _{R}^{2}=\sigma ^{2}\sigma _{t}^{2},}$

ここで、erfは誤差関数です。この分布は、Palmerらによって、容器内の液体の量など、0と容器の容量の両方で制限される物理資源レベルのモデル化に使用されました。

参照

• 折り畳み正規分布
• 半正規分布
• 半t分布
• 修正半正規分布^[4]
• 切断正規分布

参考文献

1. Harva, M.; Kaban, A. (2007). 「変分学習による正規化因子分析☆」.信号処理. 87 (3): 509. doi :10.1016/j.sigpro.2006.06.006.
2. Meng, Jia; Zhang, Jianqiu (Michelle); Chen, Yidong; Huang, Yufei (2011). 「転写因子を介した制御ネットワークの再構築のためのベイズ非負因子分析」. Proteome Science . 9 (Suppl 1): S9. doi : 10.1186/1477-5956-9-S1-S9 . ISSN  1477-5956. PMC 3289087. PMID 22166063  . 
3. Palmer, Andrew W.; Hill, Andrew J.; Scheding, Steven J. (2017). 「持続的な自律性のための確率的収集・補充（SCAR）最適化手法」. Robotics and Autonomous Systems . 87 : 51–65 . arXiv : 1603.01419 . doi : 10.1016/j.robot.2016.09.011 .
4. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (2021年6月22日). 「修正半正規分布：特性と効率的なサンプリング手法」(PDF) . Communications in Statistics - Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

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