部分空間の縮小

Concept in linear algebra

線型代数学では、ヒルベルト空間からそれ自身への線型写像の縮小部分空間 は、その直交補空間がまた の不変部分空間である不変部分空間である。つまり、部分空間は写像を縮小すると言える。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W^{\perp }}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle T(W)\subseteq W}$ ${\displaystyle T(W^{\perp })\subseteq W^{\perp }.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T.}$

線型写像が非自明な縮小部分空間を持つ場合、その線型写像は既約であるといわれる。そうでない場合、その線型写像は既約ではないといわれる。

が有限次元であり、行列の基底の下で表現される写像の縮小部分空間である場合、和として表される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle M=P_{W}MP_{W}+P_{W^{\perp }}MP_{W^{\perp }}}$$

ここではから への直交射影の行列であり、は^[1]への射影の行列である （ここでは単位行列である）。 ${\displaystyle P_{W}\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P_{W^{\perp }}=I-P_{W}}$ ${\displaystyle W^{\perp }.}$ ${\displaystyle I\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$

さらに、は の正規直交基底を持つ。が からへの遷移行列である場合、を表す行列に関して はブロック対角行列である。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{r\times r}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle Q^{-1}MQ}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle Q^{-1}MQ=\left[{\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right]}$$

ここで、および ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{d\times d},}$ ${\displaystyle d=\dim W}$ ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{(r-d)\times (r-d)}.}$

参考文献

1. R. Dennis Cook (2018).エンベロープ入門：多変量統計における効率的な推定のための次元削減. Wiley. p. 7.

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